第一章 第1讲 集合的含义与基本关系 【更多关注@高中学习资料库 加微信：gzxxzlk做每日一练】

第一章集合与逻辑用语第1讲集合的含义与基本关系考纲要求考纲研读1.集合的含义与表示．(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系．(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算．(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.1.集合是由元素组成的，从集合中元素的特征出发，可找到元素与集合及集合与集合之间的关系．2．对于集合的运算，可充分借助于韦恩(Venn)图或数轴的直观性．3．对于与集合运算有关的新概念问题，通过信息迁移构造出符合要求的情景是关键.1．集合的含义与表示互异性无序性(1)集合元素的三个特征：_______、________和________．(2)元素与集合的关系是_____或________，用符号“___”或“____”表示．∉描述法(3)集合的表示法：_______、_______、图示法．(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.确定性属于不属于∈列举法2．集合间的基本关系A⊆B⇔若a∈A，则a∈B(1)对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A⊆B或B⊇A.用符号表达即“_______________________”．(2)空集及其性质①空集是任何集合的______，其中“任何集合”当然也包括了∅，故有∅⊆∅.子集真子集②空集是任何非空集合的________，即∅A(而A≠∅)．(3)子集的有关性质①A＝B⇔________________.②A⊆B，B⊆C⇒______.A⊆C③若集合A有n个元素，则A的子集数为____.2nA⊆B且B⊆A3．集合的运算及其性质(1)集合的运算{x|x∈A且x∈B}①交集：A∩B＝_________________．②并集：A∪B＝_________________．③补集：∁UA＝_________________．(2)集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A、A∪A＝A、A∪B＝B∪A、A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅、A∩A＝A、A∩B＝B∩A、A∩B＝A⇔A⊆B；补集的性质：A∪∁UA＝U、A∩∁UA＝∅、∁U(∁UA)＝A、∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)、∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．{x|x∈A或x∈B}{x|x∈U且xA}1．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是()B2．集合A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则A∩B是()CA．(1，－1)B.x＝1y＝－1C．{(1，－1)}D．{1，－1}D4．设集合A＝{x|x3}，B＝{x|x2－5x＋40}，则A∪B＝()A．∅C．{x|－2x1}B．{x|3x4}D．{x|x1}3．(2012年湖南)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝()A．{0}B．{0,1}C．{－1,1}D．{－1,0,0}BB5．(2011届广东汕头水平测试)设全集U＝{0,1,2,3,4}，A＝{0,3,4}，B＝{1,3}，则(∁UA)∪B＝()A．{2}B．{1,2,3}C．{1,3}D．{0,1,2,3,4}解析：∵∁UA＝{1,2}，B＝{1,3}，∴(∁UA)∪B＝{1,2,3}．考点1集合间的基本关系例1：集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；(2)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．需m＋1≥－2，2m－1≤5，可得2≤m≤3.综上m≤3时有B⊆A.解析：(1)①当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝∅.满足B⊆A.②当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使B⊆A成立，(2)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立．即A∩B＝∅.①若B＝∅即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件．②若B≠∅，则要满足条件有：m＋1≤2m－1，m＋15，或m＋1≤2m－1，2m－1－2，解得m＞4.综上所述，有m＜2或m＞4.(1)空集是任何集合的子集，因此当B⊆A时需考虑B＝∅的情形；(2)当A∩B＝∅时也需考虑B＝∅的情形，如果当集合B不是空集，要保证B⊆A，可以利用数轴，这样既直观又简洁；(3)虽然本题的难度不大，但都需要分两种情况讨论，在(1)中解不等式组时需求交集，而最终结果又都要求两种讨论结果的并集，因此本题还是综合性很强的．【互动探究】1．(2011年安徽)设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数为()BA．57B．56C．49D．8D2．(2011年浙江)若P＝{x|x1}，Q＝{x|x1}，则()A．P⊆QB．Q⊆PC．∁RP⊆QD．Q⊆∁RP考点2集合的运算例2：设全集U＝{x|x≤20的质数}，M∩∁UN＝{3,5}，N∩∁UM＝{7,19}，(∁UM)∩(∁UN)＝{2,17}，求集合M与N.解析：如图D1，由(∁UM)∩(∁UN)＝{2,17}，可知M，N中没有元素2,17.图D1由N∩∁UM＝{7,19}，可知N中有元素7,19，M中没有元素7,19.由M∩∁UN＝{3,5}，可知M中有元素3,5，N中没有元素3,5.剩下的元素11,13不在M∩∁UN、N∩∁UM、(∁UM)∩(∁UN)三部分中，只能11∈(M∩N)，13∈(M∩N)．∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．集合问题大都比较抽象，解题时若借助Venn图进行数形分析，往往可将问题直观化、形象化，使问题灵活、直观、简捷、准确地获解，当然本题还要注意的就是1既不是质数也不是合数．【互动探究】3．(2012年湖北)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0x5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个4．(2012年全国)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝()A．0或B．0或3C．1或D．1或3mDB考点3与集合有关的新概念问题图1－1－1A．{x|0x2}B．{x|1x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2}D．{x|0≤x≤1或x2}例3：如图1－1－1所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x(x0)}，则A#B为()解析：A＝{x|y＝2x－x2}＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝3x(x0)}＝{y|y1}，则A∪B＝{x|x≥0}．A∩B＝{x|1x≤2}．根据新运算，得A#B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x2}，故选D.D根据图形语言可知定义的A#B可转化为A#B＝∁A∪B(A∩B)．所以需要求出和，借助数轴求出并集与交集．解题的关键是由图形语言把新定义运算转化为原有的普通运算解出．【互动探究】5．部分实数构成的集合A满足：①任两个不同元素的和仍然是A的元素；②任两个不同元素的积仍然是A的元素；③任一元素的n次幂仍然是A的元素(n∈N)．这样的有限集A有()BA．无限多个B．2个C．3个D．4个6．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为()A．0B．2C．3D．6D易错、易混、易漏1．不清楚集合元素的性质致误例题：(2011年广东教研室)若集合A＝{x|y＝1－x}．集合B＝{y|y＝lg(x－1)，x∈[2,11]}，则A∩B＝()A．(－∞，1]B．(－∞，1)C．[0,1]D．[0,1)正解：1－x≥0，x≤1；x∈[2,11]⇒1≤x－1≤10⇒0≤lg(x－1)≤1.A∩B＝[0,1]．故选C.C【失误与防范】对于集合问题，首先要确定集合的元素是什么(数集、点集或某类图形)，然后确定处理此类问题的方法．本题很容易错误地认为是求两函数定义域的交集，实际上集合A是函数y＝1－x的定义域，集合B是函数y＝lg(x－1)，x∈[2,11]的值域．1．对连续数集间的运算，要借助数轴的直观性，进行合理转化；对离散数集间的运算，要借助Venn图，这是数形结合思想的具体体现．2．本小节的重点是交集与并集的概念．只要结合图形，抓住概念中的关键词“且”、“或”，理解它们并不困难．可以借助代数运算帮助理解“且”、“或”的含义：求方程组的解集是求各个方程的解集的交集，求方程(x＋2)(x＋1)＝0的解集，则是求方程x＋2＝0和x＋1＝0的解集的并集；求不等式组的解集是求各个不等式的解集的交集，求不等式(x＋2)(x＋1)0的解集，则是求x＋20，x＋10和x＋20，x＋10的解集的并集．1．注意利用分类讨论的思想解决集合之间的关系和含有参数的问题．如在A⊆B的条件下，须考虑A＝∅和A≠∅两种情况，要时刻注意对空集的讨论．2．在集合的运算过程中要注意集合元素具有互异性．3．属于符号“∈”、不属于符号“∉”，它们只能用在元素与集合符号之间；包含关系符号“”“⊇”、包含于(被包含)关系符号“”或“⊆”，它们只能用在两个集合符号之间．对此，必须引起充分注意，不能用错，不要出现把a∈{a}表示成a⊆{a}或a{a}之类的错误；又如{0}是含有一个元素的集合，∅是不含任何元素的集合，因此，有∅⊆{0}，不能写成∅＝{0}或∅∈{0}．