第二篇积分变换1拉普拉斯变换

1第二篇积分变换内容要点拉普拉斯变换的概念拉普拉斯逆变换拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的应用第2章拉普拉斯变换2教学要求正确理解拉普拉斯变换的概念，知道拉氏变换的存在定理，会求一些常用函数的拉普拉斯变换，正确理解拉氏变换的线性、微分、积分、位移及延迟性质，了解初值定理与终值定理以及它们在计算拉氏变换中的应用。会用部分分式的方法及查表的方法求拉氏逆变换。掌握拉氏变换的卷积性质，会利用这一性质求一些函数的拉氏逆变换。会用拉普拉斯变换方法求解线性微分方程及微分方程组。重点：拉普拉斯变换的概念、性质、应用。难点拉普拉斯变换存在定理的证明。32.1拉普拉斯变换的概念由上章可知，需进行傅氏变换的函数应满足傅氏积分存在定理的两个条件，即(1)在任一有限区间上满足狄利克雷条件；(2)在无限区间上绝对可积．而傅氏变换存在两个缺点．缺点1：条件(2)过强．在实际应用中，许多函数不能满足条件(2)．(,)[案例]单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等，虽满足狄利克雷条件，但非绝对可积．因此，对这些函数就不能进行古典意义下的傅氏变换．尽管在上一节里，通过引入δ函数，在广义下对非绝对可积函数进行了傅氏变换，但δ函数使用很不方便.4缺点2：进行傅氏变换的函数须在上有定义．(,)[案例]在物理、无线电技术、机械工程等实际应用中，许多以时间t为自变量的函数在t＜0时是无意义的或者是无需考虑的.因此，对这些函数也不能进行傅氏变换．由此可见，傅氏变换的应用范围受到了极大的限制，必须引入一种新的变换．52.1.1拉普拉斯积分若时间函数f(t)在t0有定义，则f(t)的拉普拉斯积分的含复参变量s的广义积分为0)()(tdetfsFst可以预见，上述积分是收敛的。复频函数复频率1.拉普拉斯积分的概念60,10,0)(tttu例2.1求单位阶跃函数的拉普拉斯积分解积分)1(10sbbstestde在b→+∞时，当且仅当Re(s)0才有极限，因此)0)(Re(1)(0sstbstdetu7例2.2求的拉普拉斯积分atetf根据定义，,00dtedteetsstt当s时，该积分收敛，且,10sdtets解（其中α为任意复数）8例2.3求正弦函数的复频函数()sin)ftktkR(0000201sinsin1sincos0coscossin0stststststststktedtktdesektkektdtskektdtskektkektdts解则22200sinsinststkkktedtktedtss所以220sin0stkktedtRessk9同理可得220)j(0)j(0)j(0)j(0jj0j1j121j1j121dede21de)e(e21decoskssksksekseksttttkttkstkstkstksstktktst）这表示对实的0)Re(.)Re()(Re(skss10定理2.1若函数f(t)满足:1,在t0的任一有限区间上分段连续2,当t时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数M0及c0,使得|f(t)|Mect,0t则f(t)的拉普拉斯积分0de)()(ttfsFst在半平面Re(s)c上一定存在,右端的积分在Re(s)c1c上绝对收敛而且一致收敛,并且在Re(s)c的半平面内,f(s)为解析函数.2.拉普拉斯积分存在定理11MMectf(t)tO12证由条件2可知,对于任何t值(0t),有|f(t)est|=|f(t)|ebtMe(bc)t,Re(s)=b,若令bce0(即bc+e=c1c),则|f(t)est|Meet.所以00()ededsttMfttMtee根据含参量广义积分的性质可知,在Re(s)c1c上拉氏变换的积分不仅绝对收敛而且一致收敛.13在下式的积分号内对s求导,则200)(00dede)(ddee|e)(|de)(de)(ddeeebMtMtttfsMtMtttftttfttfststttcststst所以而由此可见,上式右端的积分在半平面Re(s)c1c内也是绝对收敛且一致收敛,从而微分与积分可以交换14因此得000de)(d]e)([ddde)(dd)(ddtttfttfsttfssFsststst这就表明,F(s)在Re(s)c内是可微的.根据复变函数的解析函数理论可知,F(s)在Re(s)c内是解析的.15G-函数(gamma函数)简介,在工程中经常应用的G-函数定义为mttmΓmt0,de)(01!)1(1ede)1()(dedeedede)1(00010000mmmtmmtmttttttmttmtmttmtmmtGGGG为正整数因此如而且利用分部积分公式可证明16例2.4求幂函数f(t)=tm(常数m1)的拉氏积分0dettstm22,de1dedej0100resuussusuttsRummsRumRstm再设为求此积分,若令st=u,s为右半平面内任一复数,则得到复数的积分变量u（u为复数）.因此,可先考虑积分17积分路线是OB直线段,B对应着sR=rRcos+jrRsin,A对应着rRcos,取一很小正数e,则C对应se=recos+jresin,D对应recos.考察R,e的情况.ODCAt(实轴)虚轴Bv18根据柯西积分定理,有101de1suusCDBCABDAmDABCDummODCAt(实轴)虚轴Bv19ODCAt(实轴)虚轴Bv11coscos11)1(de1de1de1mttuusuusmtmmRrRrummDAummeGss0e20010111de1de1de1de1uusuusuusuusummRsRsummCBummBCummeeODCAt(实轴)虚轴Bv1)1(mmGs21ODCAt(实轴)虚轴Bvsinjcoscos11de1de1rRrRrRummABummuusuus22|sin|0cos1sin0)jcos(1sinjcoscos1d|)jcos(e|||1d)jcos(ejde1jdd,jcosrRmrRmrRmvrRmrRrRrRummvvrRsvvrRsuusvuvrRu令23rRmrRmrRmrRmvvRrsvvrRsd)cos(e||1d|)jcos(e|||1|sin|022222cos1|sin|0cos124ABRRmmrRmmmrRmrRsrRsrRvrRv00dsec)cos(e||1dsec)cos(e||1dseccosd,tancos||021cos1||021cos12即上式令25同理CDmmrmrrrummDCummCDummrsuusuusuus00dsec)cos(e||1de1de1de100||021cos1sinjcoscos111eeeeeee即26)0)(Re(!de,)0)(Re()1(de)1(de1de10de1de11010101010101GGssmttmssmttsmttsuusuusttsmstmmstmmtmmummummtmm为正整数时当即故27当21m令x=u2，我们有,22100212Gduedxexux这就得G0)(0002222242221dvduedveduevuvu时28换成极坐标（ρ，φ），其中cosu最后这个积分变成deddedvduevu0200200)(0222221444sinv所以G21sdxexsx021得2017年5月2日星期二2930定义2.1设函数当时有定义，且广义积分)(tf0t0)(dtetfst数为s的函数在s的某一区域内收敛，则由此积分确定的参dtetfsFst0)()((2-3)叫做函数的拉普拉斯变换，记作)(sF)]([tf函数叫做变换的像原函数．)(tf2.1.2拉普拉斯变换函数F(s)也可叫做的像函数．)(tf31例2.5求函数的拉普拉斯变换chkttf因为2ktkteechkt解（其中k为任意复数）))Re()(Re()11(212220kskssksksdteeechktstktkt所以32采用同样的方法我们可得))Re()(Re(22kskskshkt由前面的例题，我们可得拉普拉斯变换公式：))Re()(Re(cos22kisksskt)0)(Re(1)(sstu))Re()(Re(1sset))Re()(Re(sin22kiskskkt)0)Re(,1()1(1Gsmsmtmm33例2.6求狄立克雷函数的拉氏变换。　　其他　　,00,1)(tt在具体求解运算之前，先把拉普拉斯变换中积分下限的问题加以澄清。若函数f(t)满足拉普拉斯积分存在定理，在t=0处有界，此时积分0dtetftfst中的下限取0+或0-不会影响其结果，但当f(t)在t=0处为δ函数，或包含了δ函数时，拉氏积分的下限就必须明确指出是0+还是0-，因为0dtetftfst称为0+系统，在电路上0+表示换路后的初始时刻；解340dtetftfst称为0-系统，在电路上0-表示换路后的初始时刻；00dtetftfsttf可以证明，当f(t)在t=0附近有界时，则000dtetfst即tftf注意：当f(t)在t=0处包含一个δ函数时000dtetfst即tftf35为此，将进行拉氏变换的函数f(t)，当t≥0时的定义扩大到当t0及t=0的任意一个领域。这样拉氏变换的定义0stftftedt应为0)(dtetftfst为书写方便，该定义仍写为原来的形式。即01ststttedttedt36解先对作拉氏变换t00111sststesdtedtett的拉氏变换为t0limtsets1lim0用罗必