与反比例函数有关的面积问题(中考数学复习专题)

初三中考数学复习专题过反比例函数图象上一点作坐标轴的垂线，该垂线与坐标轴上一点（含原点）构成的三角形面积等于|k|.12模型一一点一垂线模型分析（第1题图）1.如图，过反比例函数y＝(x＞0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB＝2，则k的值为()A.2B.3C.4D.5kxC2.如图，在平面直角坐标系中，点D在函数y＝(x＞0)的图象上，DA⊥x轴于点A，点C为线段AD的中点，延长线段OC交函数y＝(x＞0)的图象于点E，EB⊥x轴于点B，若四边形ABEC的面积为1，则k的值为______．4kxkx（第2题图）【解析】∵点D、E都在反比例函数图象上，∴S△OAD＝S△EOB＝|k|，而△OAC是共用部分，∴S△ODC＝S四边形ABEC＝1，又∵C是AD的中点，∴S△ODC＝S△OAC＝1，∴S△AOD＝S△ODC＋S△OAC＝2，∴|k|＝2，∴k＝±4，又∵反比例函数图象在第一象限，∴k＝4.1212过反比例函数图象上一点作两条坐标轴的垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积等于|k|.模型二一点两垂线模型分析3.如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝(x0)的图象上，正方形ADEF的面积为9，且BF＝AF，则k值为()A.15B.C.D.17C【解析】设AO的长度为x，∵正方形ADEF的面积为9，∴正方形ADEF的边长为3，∴E(x＋3,3)，∵BF＝AF，∴BF＝×3＝5，∴B(x，8)，∵点B、E在反比例函数y＝（x0）的图象上，∴3(x＋3)＝8x，解得x＝，∴k＝×8＝.5353kx9595725kx（第3题图）714725534.如图，点A，B是双曲线y＝上的点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为________．6x（第4题图）【解析】由反比例函数系数k的几何意义可知，S矩形ODAE＝S矩形OMBN＝|k|＝6，而阴影部分矩形共用，∴S矩形EAKN＝S矩形KDMB＝6－2＝4，∴两个空白矩形面积的和为4＋4＝8.8过正比例函数与反比例函数的一个交点作坐标轴的垂线，两交点与垂足构成的三角形面积等于|k|.模型分析模型三原点一垂线5.如图，一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，点A的坐标为(6，2)，点B的坐标为(－4，n)，AE⊥x轴，直线AB交y轴于点C，过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接AD、BD、BE.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求四边形BEAD的面积．kx(第5题图)解：(1)∵反比例函数过点A，∴把A(6，2)代入y＝可得，k＝12，∴反比例函数的解析式y＝，∵点B在反比例函数上，∴n＝＝－3，∴B点的坐标为(－4，－3).又∵一次函数过A、B两点，∴将A、B两点坐标代入y＝kx＋b中，可得，解得，∴一次函数的解析式为y＝x－1；kx12x1242634abab121ab12(2)S四边形BEAD＝S△ABE＋S△DCB＋S△ADC，S△ABE＝AE·(xA－xB)＝×2×10＝10，∵S△DCB＝DC×(yC－yB)，S△ADC＝DC×(yA－yC)∴S△DCB＋S△ADC＝×DC×(yC－yB＋yA－yC)＝×DC×(yA－yB)，∵点C在直线AB上，∴当x＝0时，y＝－1，∴点C的坐标为(0，－1)，∴点D的纵坐标为－1，又∵点D在反比例函数上，∴D点的横坐标为－12，∴CD＝12，∴S四边形BEAD＝10＋×12×(2＋3)＝40，则四边形BEAD的面积为40.1212121212121212过反比例函数与正比例函数的交点作两条坐标轴的垂线，两垂线与相关线段围成的图形面积等于2|k|.模型四两点两垂线模型分析6.如图，直线y＝2(x－2)＋n经过原点，与反比例函数y＝的图象交于点A、B，过点A作AC垂直于x轴，交x轴与点D，过点B作BC垂直于y轴，交y轴与点E，AD与BE相交于点C，求：(1)n的值；(2)求四边形ODCE的面积．nx（第6题图）解：(1)∵直线y＝2(x－2)＋n经过原点，∴当x＝0时，y＝0，∴－4＋n＝0，∴n＝4；(2)由k的几何意义，可得S△ABC＝2|k|＝8，又∵S△AOD＝S△OBE＝|k|＝2，∴S四边形ODCE＝8－2×2＝4.12反比例函数与一次函数的交点和原点所构成的三角形面积，若两交点在同一支上，用减法；若两交点分别在两支上，用加法.模型五两点和一点模型分析7.如图，一次函数y1＝－2x＋8与反比例函数y2＝(x＞0)的图象交于点A(1，6)，B(3，n)两点，与x轴交于点D，与y轴交于点C，求△AOB的面积．kx(第7题图)解：∵点C，D为一次函数y1＝－2x＋8与坐标轴的交点，∴可得C(0，8)，D(4，0)；由点A(1，6)可得反比例函数解析式为y2＝，将B(3，n)代入y2＝中可得n＝2，∴点B(3，2)，∴OC＝8，OD＝4，S△COD＝OC×OD＝×8×4＝16，∵A(1，6)，∴S△AOC＝×8×1＝4，∵B(3，2)，∴S△BOD＝×4×2＝4，∴S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD＝16－4－4＝8.6x6x121212128.(2018潍坊)如图，直线y＝3x－5与反比例函数y＝的图象相交于A(2，m)，B(n，－6)两点，连接OA，OB.(1)求k和n的值；(2)求△AOB的面积．1kx(第8题图)解：(1)∵点B(n，－6)在直线y＝3x－5上，∴－6＝3n－5，解得n＝－，∴B(－，－6)，∵反比例函数y＝的图象也经过点B(－，－6)，∴k－1＝－6×(－)＝2，解得k＝3；1kx13131313(2)如解图，设直线y＝3x－5分别与x轴，y轴相交于点C、点D，当y＝0时，即3x－5＝0，x＝，∴OC＝，∵点A(2，m)在直线y＝3x－5上，∴m＝3×2－5＝1，即A(2，1)，∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝·OC·|yA－yB|＝××|1－(－6)|＝.5353531212356(第8题解图)两条双曲线上的两点的连线与一条坐标轴平行，求该两点与原点或坐标轴上点构成的图形面积，结合k的几何意义求解．模型六两曲一平行模型分析9.(2018宁波)如图，平行于x轴的直线与函数y＝(k1＞0，x＞0)，y＝(k2＞0，x＞0)的图象分别交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点．若△ABC的面积为4，则k1－k2的值为()A.8B.－8C.4D.－4A1kx(第9题图)【解析】如解图，设AB交y轴于点D，连接OB，OA，∵AB∥x轴，点C在x轴上，∴S△ABC＝S△ABO＝S△ADO－S△BDO＝k1－k2＝4，则k1－k2＝8.1212(第9题解图)2kx10.如图，点A是反比例函数y＝(x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝－的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则S▱ABCD为________．3x2x(第10题图)5【解析】设点A的纵坐标为b，∵点A在反比例函数y＝上，∴＝b，解得x＝，∵AB∥x轴，∴点B的纵坐标为－＝b，解得x＝﹣，∴AB＝－(－)＝，∴S▱ABCD＝·b＝5.2x2x2b3x3b2b3b5b5b思考题1.如图在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x0)的图象交矩形OABC的边AB于点D，边BC于点E，且BE＝2EC，若四边形ODBE的面积为6，求反比例函数的解析式．kx练习9题图3x解：如解图，连接OB，由题意知S△OCE＝S△AOD＝|k|,∵BE＝2EC，∴S△BOE＝2S△CEO＝|k|，∵S△AOB＝S△COB，∴S△BOD＝S△BOE＝|k|，∴S四边形ODBE＝2|k|＝6，∴|k|＝3(由图知k0)，∴k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝.12练习9题解图思考题2.如图，两个反比例函数y1=（其中k10)和y2=在第一象限内的图象依次是C1和C2，点P在C1上，矩形PCOD交C2于A、B两点，OA的延长线交C1于点E，EF⊥x轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为6，则为________1kxACEFx3