差分模型 -

差分模型杨瑞琰1998年12月，中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平，其中贷款利率如下表所列:中国人民银行调整后的存、贷款利率(当贷款期处于表中所列相邻年限之间时，利率为对应相邻两数中较大者.)一、问题和分析贷款期限半年1年3年5年5年以上利率(%)6.126.396.667.207.56上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整，公布新的利率表和还款表上海个人住房商业性贷款利率再次降低个人住房商业抵押贷款年利率表个人住房商业抵押贷款(万元)还款表贷款期限1年2年3年4年5年利率(%)6.1206.2556.3906.5256.660贷款期年12345月1224364860月还款额到期一次还清444.3560305.9896237.2649196.4118本息总额10612.0010664.5411015.6311388.7111784.71个人住房商业抵押贷款年利率表和个人住房商业抵押贷款还款表是如何根据中央银行的贷款利率水平制定的？分析一下年利率和月还款额表问题和分析贷款期限1年2年3年4年5年利率(%)6.1206.2556.3906.5256.660贷款期年12345月1224364860月还款额到期一次还清444.3560305.9896237.2649196.4118本息总额10612.0010664.5411015.6311388.7111784.71以商业贷款10000元为例进行分析。一年期贷款的年利率是6.12%，到期一次还本付息总计10612.00元，这个比较容易理解。但二年期贷款的年利率是6.255%，月还款数444.3560元，为本息总额10664.54元的1/24，这后面的两个数字是怎样产生的呢？是根据本息总额定出月还款数还是正好相反（实际上，数字6.255%和10664.54之间的关系并非一目了然！）？为了把这个问题解释清楚，必须逐月进行分析，下面考虑贷款是逐月等额还款的常见情形。二、建立差分模型建模分析设贷款后第k个月时欠款余数为Ak，月还款额m元，则由Ak变化到Ak+1，除了还款数外，还应考虑利息，所以Ak-Ak+1=m-rAk从而得到差分方程形式的数学模型Ak+1=(r+1)Ak-m(k=0,1,…)其中r为月利息，它是年利息按月平均r=0.06255/12=0.0052125另外显然有A0=10000建立数学模型月还款额的确定令Bk=Ak-1-Ak，(k＝1，2，...)推得Bk+1=Ak–Ak+1＝(1+r)(Ak-1–Ak)＝(1+r)Bk(等比关系)从而Bk+1=B1(1+r)k利用以上关系导出Ak=A0(1+r)k-[(1+r)k-1]m/r对二年期k=24，可得m=444.346(用MATLAB软件计算)，总数10664.54与公布数字一致。三、问题的分析求解年利率如何得到从前面分析知：还款额表的制定与年利率表密切相关。那么，年利率是怎样制定的呐？比较中国人民银行公布贷款利率与上海住房商业贷款，有两个数字相同6.12％、6.66％，但年限不同。中间年限如2，3，4年的利率如何得出(建议作图，从而得到线性插值)任务：制定住房商业性贷款利率表和还款表（25年）还款周期越短越好吗如果逐年还款，对二年期贷款，用公式Ak=A0(1+r)k-[(1+r)k-1]m/r得年还款额为5473.867元,这里r应为年利率。本息总额10947.63元，比逐月还款本息总额10664.54元多。任务：讨论还款周期问题（保证还款总额最少）实验任务分析购房贷款方案的合理性肖未来夫妇准备申请商业贷款10万元用于购置住房，每月还款880.66元，25年还清。房产商介绍的一家金融机构向他们提出一个新的建议：贷款10万元，每半月还款440.33元，22年后还清全部贷款，但贷款时要预付4000元钱。肖未来夫妇回家后仔细商量认为，虽然预付费用不少，可是减少三年还款期意味着减少还款近1万6千元，而每月多跑一趟不算什么，金融机构的条件似乎更优惠。实验任务：分析这两种方案的优劣养老保险的几份合同某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投保，月养老金1056元；若45岁起投保，月养老金420元.仔细分析交保险费所得利率和调查人群的寿命分布和平均寿命以及开始领取养老金之后逐月的余额情况。(注意：结果显然依赖于投保人寿命)四、养老保险问题这样投保养老合适吗？设投保人在投保后第k个月所交保险费及利息的累计总额为Fk，那么，相应的数学模型为分段表示的差分方程Fk+1=Fk(1+r)+p,k=0,1,…,NFk+1=Fk(1+r)-q,k=N+1,…,M其中p、q分别为60岁前所交月保险费和60岁起所领月养老金的数目(元)，r是所交保险金获得的利率，N,M分别是自投保起至停交保险费和至停领养老金的时间(月)。显然M依赖于投保人的寿命，假定某人的最终寿命是75(岁)（统计平均值），以25岁起投保为例，则有P=200，q=2282；N=420，M=600这时差分方程的解Fk=F0(1+r)k+[(1+r)k-1]p/r,k=0，1，…，NFk=FN(1+r)k-N+[(1+r)k-1]q/r,k=N+1，…，M在前式取k=N，后式取k=M，且注意F0=FM=0，消去FN，(1+r)M-(1+q/p)(1+r)M-N+q/p=0记x=1+r，代入数据x600-12.41x180+11.41=0(利用Newton算法，在MATLAB软件中计算)x=1.0048517573991575524r=0.0048517573991575524任务：计算35岁和45岁起点投保的利息（0.00461和0.00413）某保险公司推出结合养老的寿险计划，合同规定：40岁男性投保人每年交保险费1540元，交费期20年至60岁，则在他生存时期，45岁时(投保满5年)可获返还补贴4000元，50岁时可获返还补贴5000元，其后每隔5年可获增幅为1000元的返还补贴；而在投保人去世或残废时，其受益人可获保险金20000元。实验任务：若该投保人的寿命为76岁，其交保险费所获得的实际年利率是多少？若该投保人的寿命为74岁，其交保险费所获得的实际年利率又是多少？投保养老受益分析总额$540万元的支付基金，放置在A城的公司和B城的公司。合同规定：周末结算时总额仍为$540万。每过一周A城公司基金10％→B城公司A城公司←B城公司基金12％A城公司初始基金额A0＝$260万，而B城公司初始基金额B0＝$280万。实验任务：试分析资金流动的趋势？是否会出现资金低于警戒数字¥220(万)？五、金融公司资金流向建立差分模型设第k周末结算时，A城公司和B城公司支付基金数分别为ak和bk(单位:万元)，则得到差分方程组ak+1=0.9ak+0.12bkbk+1=0.1ak+0.88bk观察数据(12周，利用MATLAB软件)KAkbkKakbk1267.600272.4007288.477251.5232273.528266.4728289.812250.1883278.152261.8489290.854249.1464281.758258.24210291.666248.3345284.572255.42811292.299247.7016284.766253.23412292.793247.207实验任务：观察可以发现，A城公司基金数在逐步增加，但增幅逐步变小；B城公司基金数变化则正好相反。这自然地产生一个问题，ak是否有上界、bk是否有下界?ak和bk是否会小于220？矩阵形式的资金变化规律由此导出资金变化规律的表达式矩阵的特征值和特征向量为78.00017071.06402.07071.07682.0修改后的问题：根据两地公司的业务情况，该金融机构决定在每周末结算时，将A城公司的基金增加¥6万，相应地B城公司的支付基金减少¥6万。此时，机构中的一位职员(他曾就读于某大学数学系)向机构负责人建议，将增减数额改为¥5.5万（注意：这个任务还可以再作调整，例如每周末仅给B公司增加资金若干）。实验任务：机构负责人是否应该采纳这个建议，为什么？