第八讲 不定积分的概念和性质 第一类换元积分法

第八讲不定积分的概念和性质微分法:)?()(xF积分法:)()?(xf互逆运算第一类换元积分法一、不定积分的概念及性质二、第一类换元积分法1、原函数与不定积分的概念机动目录上页下页返回结束定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间I上的一个原函数.则称F(x)为f(x)1)原函数一、不定积分的概念及性质问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理1.存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数机动目录上页下页返回结束定理2.原函数都在函数族(C为任意常数)内.证:1)又知])()([xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0为某个常数C即0)()(CxFx属于函数族.)(CxF机动目录上页下页返回结束即定义2.在区间I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;(P183)若则(C为任意常数)C称为积分常数不可丢!例如,xexdCexxxd2Cx331xxdsinCxcos记作机动目录上页下页返回结束2)不定积分的概念3)不定积分的几何意义:的原函数的图形称为xxfd)(的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.yxo0x机动目录上页下页返回结束的积分曲线.例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为12xy机动目录上页下页返回结束yxo)2,1(从不定积分定义可知:xdd)1(xxfd)()(xf2、基本积分公式dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF利用逆向思维xkd)1((k为常数)Cxkxxd)2(Cx111xxd)3(Cxln时0x机动目录上页下页返回结束)1(])ln([)ln(xxx14)积分运算与微分运算间的互逆关系21d)4(xxCxarctanxxdcos)6(Cxsinxx2cosd)8(xxdsec2Cxtan或Cxcotarc21d)5(xxCxarcsin或Cxcosarcxxdsin)7(Cxcosxx2sind)9(xxdcsc2Cxcot机动目录上页下页返回结束xxxdtansec)10(Cxsecxxxdcotcsc)11(Cxcscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln2shxxeexCxchxxdch)15(Cxshxxdsh)14(2chxxeex机动目录上页下页返回结束☆☆例2.求解:原式=xxd34134Cx313例3.求解:原式=xxdsin21Cxcos21134xC机动目录上页下页返回结束3、不定积分的性质xxfkd)(.1xxgxfd)]()([.2推论:若则xxfkxxfiniid)(d)(1xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0(k机动目录上页下页返回结束例4.求解:原式=xexxd)25)2[()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2C机动目录上页下页返回结束例5.求解:原式=xxd)1(sec2xxxddsec2Cxxtan例6.求解:原式=xxxxxd)1()1(22xxd112xxd1xarctanCxln机动目录上页下页返回结束例7.求.d124xxx解:原式=xxxd11)1(24xxxxd11)1)(1(222221dd)1(xxxxCxxxarctan313机动目录上页下页返回结束第二类换元法第一类换元法基本思路:机动目录上页下页返回结束设,)()(ufuF可导,CxF)]([)(d)(xuuuf)()(xuCuF)]([dxFxxxfd)()]([则有二、第一类换元法1、第一类换元法定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式uufd)()(xu)(d))((xxf(也称配元法即xxxfd)()]([,凑微分法)机动目录上页下页返回结束例1.求解:令,bxau则,ddxau故原式=muuad1a1Cumm111注:当时机动目录上页下页返回结束22)(1d1axxa例2.求解:,axu令则xaud1d21uuda1Cuaarctan1想到公式21duuCuarctan)(ax机动目录上页下页返回结束例3.求21duu想到Cuarcsin解:2)(1daxax)(d))((xxf(直接配元)xxxfd)()]([2)(1)(daxax机动目录上页下页返回结束例4.求解:xxxdcossinxxcoscosdxxxsindcosxxsinsind机动目录上页下页返回结束类似Caxaxaln21例5.求解:221ax))((axax)()(axaxa21)11(21axaxa∴原式=a21axxaxxdda21axax)(da21axlnaxlnCaxax)(d机动目录上页下页返回结束常用的几种凑微分形式:xbxafd)()1()(dbxaa1xxxfnnd)()2(1nxdn1xxxfnd1)()3(nxdn1nx1万能凑幂法xxxfdcos)(sin)4(xsindxxxfdsin)(cos)5(xcosd机动目录上页下页返回结束xxxfdsec)(tan)6(2xtandxeefxxd)()7(xedxxxfd1)(ln)8(xlnd例6.求xln21xlnd解:原式=xln2121)ln21(dx机动目录上页下页返回结束例7.求.d3xxex解:原式=xexd23)3d(323xexCex332例8.求.dsec6xx解:原式=xdxx222sec)1(tanxtandxxxtand)1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC机动目录上页下页返回结束例9.求.1dxex解法1xeeexxxd1)1(xdxxee1)1(dxCex)1ln(解法2xeexxd1xxee1)1(dCex)1ln()]1(ln[)1ln(xxxeee两法结果一样机动目录上页下页返回结束xxsin11sin1121例10.求解法1xxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21机动目录上页下页返回结束xxtansec解法2xxtansec)tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx同样可证xxdcscCxxcotcscln或Cx2tanln(P196例16)机动目录上页下页返回结束222d)(2123xax例11.求.d)(23223xaxx解:原式=23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax23)(2222axa)(d22ax机动目录上页下页返回结束)2cos2cos21(241xx例12.求解:224)(coscosxx2)22cos1(x)2cos21(24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(212341xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xx机动目录上页下页返回结束思考与练习1.若d)(ln2xxfx提示:xexeln)(lnxfx1Cx221机动目录上页下页返回结束2.若是xe的原函数,则xxxfd)(ln提示:已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10机动目录上页下页返回结束3.若;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为则的一个原函数是().;cos1)(xC.cos1)(xD提示:已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)(??或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx机动目录上页下页返回结束4.求下列积分:提示:)1(1)1(1)1(2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x机动目录上页下页返回结束5.求不定积分解：)1(2xxee机动目录上页下页返回结束6.已知22221d1d1xxBxxAxxx求A,B.解:等式两边对x求导,得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120ABA2121BA机动目录上页下页返回结束7.下列各题求积方法有何不同?xx4d)1(24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxx22214)4(dxxxx2121机动目录上页下页返回结束8.求提示:法1法2法310)x10dx10110(x10dx101作业目录上页下页返回结束