考研数学线性代数3

线性代数昆明理工大学数学系2009.122第四节向量空间向量空间和子空间中的基变换和坐标变换nR一.向量空间和子空间定义1.设V是由n维向量组成的非空集合，如果对为空间V的基底，简称基。V中任意两个向量,,它们的和及数乘k仍然是V中的向量（称V关于加法及数乘封闭），则称V为向量空间。V的秩称为空间V的维数，V中的最大无关组称例1.全体n维向量组成的集合nR的维数为n，任意n个线性无关的向量都是它的一个基，显然关于加法及数乘是封闭的，故它是向量空间。由§3例2可知，它底。例2.组成的集合V，即考虑3R中第三个分量为零的所有三维向量所1212(,,)|,(0,)Vkkkk有对V中任意两个向量1212(,,),(,,)00kkkk，k为数，1122(,,),0kkkk12(,,0)kkkkk可见k及仍然是V中的向量，故V是向量空间。又12(1,0,0),(0,1,0)是V中两个线性无关向量，且对于V中任意向量12(,,0)kk，有1122,kk因此，12,是V的一个最大无关组，V的秩为2。换句话说，向量空间V是二维的，12,是V的一个基底。例3.组成的集合M，即考虑3R中第三个分量为1的所有三维向量所1212(,,)|,,1()Mkkkk对于M中向量12(,)1,kk，数乘122(2,22,),kkM故M不是向量空间。可见M关于数乘不封闭（实际上关于加法也不封闭），例4.只由零向量组成的集合0(0,...,0)V有基底的向量空间。，显然有0+0=0，0=0，故V是向量空间，称为零空间。因为只含零向量的向量组的秩为0，它没有最大无关组。因此，零空间的维数为0，它没有基底。零空间是唯一没定义2.设V是向量空间，1V是V的非空子集，若1V也是向量空间，则称1V是V的子空间。例如，例2的向量空间V是3R的二维子空间。又如，任意向量空间V都非空，设V，因为V关于线性运算封闭，故00V有零向量。因此，零空间{0}是任何向量空间的子空间。，即任何向量空间都含nR也是nR的子空间，nR及零空间称为nR中的平凡子空间。例5.设1,...,s是s个n维向量，它的一切线性组合组成的集合记作1(,...,)sV，即1111(,...,)...|,...,(,)ssssVkkkk对于1(,...,)sV中任意两个向量1111...,sssskkkk有1111(,...,)()...()sssskkkkV111(,...,)...ssskkkkkV故1(,...,)sV为向量空间，他是nR的子空间，称为由向量1,...,s生成的子空间。二.nR中的基变换和坐标变换个基底。nR中任意n个线性无关向量1,...,n都构成nR的一根据基底定义，它是nR中的最大无关组，性表示：(以下向量都是列向量)因此，nR中的任意向量，都可由基底1,...,n唯一线11...nnxx11(,...,)...snxx1(,...,)sx其中1(,...,)Tnxxx称为在基1,...,n中的坐标向量。设1,...,n是nR的另一组新基，它与旧基的关系为11112121212122221122............nnnnnnnnnnaaaaaaaaa（1）把这个关系写成矩阵等式为11(,...,)(,...,)nnA（2）其中111212122212.....................nnnnnnaaaaaaAaaaA称为由基1,...,n到基1,...,n的过渡矩阵。由§3定理8可知0A过渡矩阵A是关系式（1）的系数矩阵的转置矩阵。，故过渡矩阵是可逆矩阵。应当注意，设在新基1,...,n下表示成11...nnyy11(,...,)...nnyy1(,...,)ny其中1(,...,)Tnyyy是在新基1,...,n下的坐标向量。利用(2)式可以得到1(,...,)ny1(,...,)nAy又在旧基下的表达式为1(,...,)nx，因为在一个基下的表达式唯一，故得xAy总之，我们得到以下三个公式：(1)新旧基变换公式：11(,...,)(,...,)nnA(2)向量基中的坐标表示式：11(,...,)(,...,)nnxy(3)新旧坐标变换公式：x=Ay其中A是由基1,...,n到基1,...,n的过渡矩阵，公式中作是矩阵等式。所有向量,,,iixy都是列向量。因此，三个公式都可看例6.已知3R的两个基为1231111,0,0;1111231232,3,4143求基123,,到基123,,的过渡矩阵。解：例7.设n维向量空间nR有一个基为1,...,n个基为，另一112123123...12...nn又已知向量关于前一个基的坐标为(,1,...,2,1),nn求它关于后一个基的坐标。解：例8.（填空）已知三维向量空间的一个基为1(1,1,0)2(1,0,1)3(0,1,1)则向量(2,0,0)在上述基下的坐标为。解：解：设过渡矩阵为A，则123123(,,)(,,)A故有1123123(,,)(,,)A11111231002341111431122112201012302341143234010101解：1,...,n到1,...,n的过渡矩阵为111...1011...1001...1...............000...1A设在后一个基的坐标为1(,...,),Tnyyy则有121......1nynynAy故有1211......1nynynAy110...00011...00..................000...11000...011...1nn11...1在后一个基的坐标为12...1nyyy解：设所求坐标向量为123(,,)Txxxx，则有123[,,]TTTTx故有1123[,,]TTTx111021010011011121111021110111应填（1，1，-1）。