考研数学线性代数4

线性代数昆明理工大学数学系2009.122第四节行列式按行（列）展开余子式和代数余子式行列式按行（列）展开在计算行列式中的运用一、余子式和代数余子式定义：在n阶行列式中，划去元素所在的第i行和ija第j列，剩下的n-1阶行列式记作ijM子式，(1)ijjijiMAija的代数余子式。称为元素，称为元素的余ija而111213212223313233aaaDaaaaaa12M21233133aaaa13M21223132aaaa33M11122122aaaa23M11123132aaaa例如，三阶行列式各元素的余子式和代数余子式分别为：11M22233233aaaa111111(1)AM2223113233aaMaa12121212(1)AMM1313AM2323AM3333AM由定义可知，当元素所在的（行数+列数）为偶数时，代数余子式和余子式相等，为奇数时，代数余子式和余子式相差一个符号。引理：在n阶行列式D的第i行所有元素中，除元素其余元素都为零，则ija外，ijijDaA证明：例如，对于如下行列式123200156D按行列式的定义，2532266D第二行只有第一个元素不为0，21212122(1)AM232656D且二、行列式按行（列）展开定理：设n阶行列式111212122212.....................nnnnnnaaaaaaDaaa则有按第i行展开式：1122...iiiiininDaAaAaA（i=1，2，…，n）按第j列展开式：1122...jjjjnjnjDaAaAaA（j=1，2，…，n）证明：例如，下述行列式按第2行、第3列分别展开为：120123250211A222A233A21M222M23(3)M按第2行展开：1022012(3)25按第3列展开：233A12(3)252050推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即1122...0ijijinjnaAaAaA1122...0ijijninjaAaAaA()ij()ij证明：也可以这样理解上述推论：212223105024aaa2121aA2222aA2323aA221504a2310()02a也就是说，左边的行列式按第2行展开，就得到（1）式。(1)反之，（1）式可以还原到左边的行列式。若取213a224a331a则（1）式还原为：341051024210524a等价例如容易看到，如果取21310aa23334aa22322aa则（1）式还原为：021054024这个行列式有两行相等，因此它的值等于0。0212223105024aaa221504a2310()02a210524a推论中的两个式子等于0，就是因为它们还原之后，有两行（列）相等。利用行列式的展开式，可以将计算n阶行列式化为计算n－1阶行列式。对于数字元素的行列式，经常将某行（列）的元素除一个元素外都化为零，再按该行（列）展开，达到降阶的目的。三、在计算行列式中的运用例1、计算行列式解：2310421121214321D例2、设3040222207005322D求：31323334AAAA1、D中第三行元素代数余子式的和2、D中第四行元素余子式的和：41424344MMMM解：例3.证明n阶（n1）范德蒙行列式12222121111211...1.....................nnnnnnnxxxxxxVxxx1()ijnijxx213231121()()()...()()...()nnnnnxxxxxxxxxxxx前项下标大于后项下标证明：n阶范德蒙行列式等于2(1)2nnnC个形如ijxx的因子的乘积。例如1234422221234333312341111xxxxVxxxxxxxx42()ijijxx213141324243()()()()()()xxxxxxxxxxxx是246C项的乘积当1x2xnx，，…，中有两个数相等时，范德蒙行列式等于0，所有数互不相等时，其值才不等于0。例4.计算n阶行列式12........................nabbbbabbDbbba(iba，i=1，2，…，n)解：利用加边法计算，添加一行一列，即121...0...0.....................0...nbbbbabbbbabbbbba添加第一行和第一列后，行列式阶数变成n+1121...0...0.....................0...nbbbbabbbbabbbbba21rr31rr...11nrr...1bbbb11ab00...0102ab0...0..................1000...nab1211ccab002ab0...0..................1000...nab...11babbbbb1ab00...01002ab0...0..................1000...nab...11babbbbb1ab00...011321ccab002ab0...0..................1000...nab...211iibabbbbb1ab00...00...111nnccab002ab0...0..................0000...nab...11niibabbbbb1ab00...001211()()...()nniibabababab证明：先证i=j=1的情形，设1121222120...0..................nnnnnaaaaDaaa根据行列式定义，有121212(...)12...(1)...nnnPPPPpnpPPPDaaa222(1...)1121...(1)...nnnPPpnpPPaaa222(...)112...(1)...nnnPPPnpPPaaa11111111aMaA除11p外，第一行全为0。再证一般情形，设11111111111...........................0...00...0...........................jjjnijnnjnjnjnnaaaaaaDaaaaa将D中第i行依次与第i-1行，i-2行，…，1行相交换，再再将得到的行列式的第j列依次与第j-1列，j-2列，…，11D列相交换，设得到的行列式为。则中1行1列的元1Dija素为。1D11M中1行1列元素的余子式等于D中i行j列元素的ijM余子式，由前面证过的结论，有111ijijijDaMaM因为1D是由D经过（i-1）+（j-1）次行、列的交换得到的，所以有(1)(1)1(1)(1)(1)ijijijijijijijijijDDaMaMaA证毕。证明：111211212...............0...00...0...00..................niiinnnnnaaaaaaDaaa根据第三节行列式性质5，D等于n个行列式之和，即11121112...............0...0...............ninnnnaaaaDaaa11121212...............0...0..................ninnnnaaaaaaa1112112...............00..................ninnnnnaaaaaaa根据引理，就得到第i行展开式1122...iiiiininDaAaAaA按列的展开式同理可证，证毕。证明：根据定理，将D按j行展开，有1122...jjjjjnjnaAaAaA111111..............................niinjjnnnnaaaaaaaa第i行第j行在等式两边，将1ja2ja,,…,jna依次换做1ia2iaina,,…,,1jA2jAjnA,,…,（不含第j行元素）得1122...ijijinjnaAaAaA111111..............................niiniinnnnaaaaaaaa第i行第j行0证明：对阶数n用数学归纳法，当2n时，有2211211Vxxxx所以结论成立。设结论对n-1阶范德蒙行列式成立，即设2322223222223111()nnijnijnnnnxxxxxxxxxxx对n阶范德蒙行列式，从第n行开始，后行减去前行的1x倍，得2131122133112222213311111...10...0()()...()...............0()()...()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxVxxxxxxxnx按第一列展开，再提取各列的公因式，得：23213112222311...1...()()()...............nnnnnnnxxxVxxxxxxxxx右端的行列为n-1阶范德蒙行列式，由归纳假设，得213112()()...()()nnijnijVxxxxxxxx1()ijnijxx即结论对n阶范德蒙行列式也成立。由归纳法，该等式对一切大于等于2的自然数都成立。（证毕）2310421121214321D解：第4列比较简单，并且还有一个0，所以我们对23rr43rr2310211021212200134231(1)21122021rr231040220行作运算，使第4列除一个元素外，其余元素都是0，具体计算如下22023104013(1)104228解：31323334AAAA113011402222532203040222207005322D41424344MMMM41A42A43()A44A3040222207011011283040222207005322D