一阶倒立摆模型建立与正确性分析

姓名：戴鹏指导老师：胡立坤成绩：学院：电气工程学院专业：自动化班级：自093------年------月-------日实验内容：一阶倒立摆模型建立与正确性分析其他组员：黄育尚【实验时间】2013年1月18日星期五【实验地点】综合楼702【实验目的】学会建立一阶倒立摆模型建立，并结合物理现象与数值结果分析模型的正确性。【实验设备与软件】MATLAB/Simulink【实验原理】对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难但是经过假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程下面我们采用其中的牛顿欧拉方法建立直线型一阶倒立摆系统的数学模型.微分方程的推导：在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一阶倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统.图一直线一阶倒立摆系统图参数大小摆杆质量m0.109kg小车质量M1.096kg摆杆转动轴心到摆杆质心的长度l0.25m摆杆绕其重心的转动惯量J0.0034kg.𝑚2摆杆与小车间的摩擦系数b10.001N.m.s.𝑟𝑎𝑑−1小车水平运动的摩擦系数b20.1N.m.s.𝑚−1摆杆与垂直向上的夹角φθ—π取小车质量M=1.096kg，摆杆质量m=0.109kg，摆杆与小车间的摩擦系数b1=0.001N.m.s.𝑟𝑎𝑑−1，小车水平运动的摩擦系数b2=0.1N.m.s.𝑚−1，摆杆转动轴心到摆杆质心的长度l=0.25m，加在小车上的力F，小车位置X，摆的角度θ摆杆惯量J。一．忽略摩擦摆杆绕其重心的转动方程为：Jθ̈=𝐹𝑦lsinθ—𝐹𝑥lcosθ（1）摆杆重心的水平运动可描述为：𝐹𝑥=m𝑑2𝑑𝑡2(x+lsinθ)（2）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为：𝐹𝑦—mg=m𝑑2𝑑𝑡2(x+lcosθ)（3）小车水平方向运动可描述为：F—𝐹𝑥=M𝑑2𝑥𝑑𝑡2（4）由式(2)和式（4）得到：（M+m）x+ml（cosθ∗θ̈—sinθ∗θ2）=F（5）由式（1）式（2）和式（3）得：J+m𝑙2θ̈+mlcosθ∗𝑥̈=mglsinθ（6）整理式（5）和式（6）得：{𝑥̈=(J+m𝑙2)F+lm(J+m𝑙2)sinθ∗θ2−𝑚2𝑙2gsinθcosθ(J+m𝑙2)(M+m)−𝑚2𝑙2cosθ2θ̈=mlcosθ∗F+𝑚2𝑙2sinθcosθ∗θ2−(M+m)mglsinθ𝑚2𝑙2cosθ2−(M+m)（J+m𝑙2）（7）若只考虑θ=0在其工作点附近（0*θ10）的细微变化，这时可近似认为θ̇=0，sinθ=θ，cosθ=1,J=𝑚𝑙23由此得到的简化近似模型为：{𝑥̈=(J+m𝑙2)F−𝑚2𝑙2gθ𝐽(M+m)+𝑚𝑀𝑙2θ̈=(M+m)𝑚𝑙𝑔θ−mlF𝐽(M+m)+𝑚𝑀𝑙2代入数值得本实验中倒立摆的简化模型：{𝑥̈=−0.73θ+0.89uθ̈=32.18θ−2.67u二．有摩擦定义逆时针转动为正方向。设摆杆的重心为（𝑥𝑔,𝑦𝑔）,则{𝑥𝑔=x−lsinφ𝑦𝑔=𝑙cosφ（1）根据牛顿定律建立系统垂直和水平运动力学方程：（1）摆杆绕其重心转动的力学方程为：Jθ̈=𝑁𝑦lsinφ+𝑁𝑥lcosφ−b1φ̇（2）式中，J为摆杆绕其重心的转动惯量：2312123JmLLml。这里，杆重力的转动力矩为0，小车运动引起的杆牵连运动的惯性力的转矩也为0。（1）摆杆重心的水平动力学方程为：22(sin)xdxlmNdt（3）（2）摆杆重心的垂直动力学方程为：22(cos)ydlmNmgdt（4）（3）小车的水平动力学方程为：222xdxdxMFNbdtdt（5）由式（3）、（5）得：22()cossinMmxxmlmlFb（6）由式（2）、（3）、（4）得：21()cossin0Jmlbmlxmgl（7）于是，设计u=F得单级倒立摆动力学方程为：222212222()sincossincoscos()()sinMmmglmlumlmlbxMmbJMmmlMml（8）222222212222()()sinsincos()cos()sinJmluJmlmlmlgJmlbxmlbxJMmmlMml（9）令()zxx，()Tyx，计及上表所给参数，则系统的状态空间表达式为：12zz222222433322143222223()()sinsincos()cos()sinJmluJmlmlzzmlgzzJmlbzmlbzzzJMmmlzMml（10）34zz2223343322314422223()sincossincoscos()()sinMmmglzmluzmlzzzmlbzzMmbzzJMmmlzMml（11）11yz23yz封装图为：Fcn内程序为：functiony=fcn(u,z2,z3,z4,J,M,m,g,l,b1,b2)%ThisblocksupportsanembeddablesubsetoftheMATLABlanguage.%Seethehelpmenufordetails.注意修改采样时间等参数：采样时间脉冲运行时间：y=[(J+m*l^2)*u-(J+m*l^2)*m*l*z4^2*sin(z3)+m^2*l^2*g*sin(z3)*cos(z3)-(J+m*l^2)*b2*z2-m*l*b1*z4*cos(z3)]/[J*(M+m)+m^2*l^2*power(sin(z3),2)+M*m*l^2];【实验内容、方法、过程与分析】1．实验内容完整地推导模型，并用MATLAB/Simulink对模型进行封装，结合物理现象与数值曲线从以下几个方面验证模型的正确性：（1）在没有摩擦情况下，当初始状态为(0000)T时，在10s时给小车为脉冲信号（面积为单位1），分析波形得到结论。图1-1图1-2当给一（面积为单位1）脉冲信号小车时，小车向右变加速运动，摆杆逆时针摆动，当角度超过π/2时，小车做减加速运动，超过π时，小车加速运动，继而摆杆角度继续增加超过3π/2，小车加速运动，但无摩擦情况下，小车和摆杆作为一个整体向右的动量不可能为零，摆杆一部分势能转化为动能，从而摆杆角度不能达到2π，当角度达到最大后角度开始减小，摆杆顺时针运动，在如上情况摆杆往复摆动，小车不断向右运动。（2）在没有摩擦情况下，当初始状态为(00π0)T时，在10s时给小车为脉冲信号（面积为单位1），分析波形得到结论。图2-1摆杆角度初值为π时，给小车一脉冲信号，小车往右运动，由于惯性，摆杆顺时针摆动，角度减小，小车减速运动，而脉冲信号给的能量有限，摆杆角度不能小到π/2,当摆杆顺时针摆到最高点时，摆杆改为逆时针摆动，角度不断增大，当大于π时，小车改为加速运动,摆杆逆时针摆到最高点时，摆杆改为顺时针摆动，角度减小，在无摩擦情况下，如上情况摆杆往复摆动，小车不断向右运动。（3）在没有摩擦情况下，当初始状态为(00π0)T时，在10s时给小车为阶跃信号（幅度为1），分析波形得到结论。摆杆角度初值为π时，给小车一阶跃信号，小车往右运动，由于惯性，摆杆顺时针摆动，此时摆杆速度最大，角度减小，小车减速运动，但阶跃信号给的能量有限，摆杆角度不能减小到0,当摆杆顺时针摆到最高点时，摆杆改为逆时针摆动，角度不断增大，但在无摩擦情况下，由于小车和摆杆作为一个整体的动量不为零，而小车的能量不可能全部转化为摆杆的能量，所以摆杆角度不会超过π，而是改为顺时针运动，如上情况摆杆往复摆动，小车不断向右运动。（4）在没有摩擦情况下，当初始状态为(0000)T时，在10s时给小车为阶跃信号（幅度为1），分析波形得到结论。摆杆角度初值为0时，给小车一阶跃信号，小车往右运动，由于惯性，摆杆逆时针摆动，角度增大，小车变加速运动，当角度超过π/2时，小车做减加速运动，超过π时，小车变加速运动，继而摆杆角度继续增加超过3π/2，小车加速运动，但无摩擦情况下，小车动量由恒定外力维持，摆杆角度达到2π，由于摆杆方向为逆时针，所以摆杆会越过原点，角度不断增大，如上情况摆杆不断逆时针摆动，小车不断向右运动。（5）在没有摩擦情况下，当初始状态为(000.010)T时，无外力作用下，分析波形得到结论。摆杆角度初值为0.01时，此时摆杆受重力作用，摆杆逆时针运动，摆杆角度增大，在没有摩擦的情况下，由于摆杆摆杆一部分势能转化为小车的动能，摆杆不能回到原始高度，即摆杆角度不能达到（2π-0.01），当达到最大时，摆杆改为顺时针运动，由此往复摆动。小车也在原来位置进行极小范围的左右往复移动。然而，系统模型的仿真图却显示在90s左右，小车往左边跑，而且摆杆角度在160s时出现飙升，这与客观实在不符。（6）在没有摩擦情况下，当初始状态为(00π20)T时，无外力作用下，（实际上这种情况相当于给摆杆加脉冲信号），分析波形得到结论。摆杆角度初值为π时，给摆杆一个20rad/s的逆时针初速度，摆杆逆时针摆动，由于摆杆的带动，小车往右运动摆杆逆时针摆动，角度增。与此同时，摆杆将一部分能量传给小车，在无摩擦的情况下，摆杆即使失去一小部分能量，然而由于摆杆的初速足够大，摆杆仍然角度超过2π，由此之后一直增大。小车和摆杆作为一个整体，当无外部因素的干扰情况下，给摆杆一个初速，即给小车和摆杆这一整体一个动量，根据牛顿第一定律，小车和摆杆这一整体不断向右运动，即小车不断向右移。然而，图6-1仿真图却显示，当经过100左右，小车速度减到，并反方向加速运动，这与客观规律不符。（7）在有摩擦情况下，当初始状态为(0000)T时，在10s时给小车为脉冲信号（面积为单位1），分析波形得到结论。当给一（面积为单位1）脉冲信号小车时，小车向右运动，摆杆逆时针摆动，小车做减加速运动，超过π时，小车加速运动，继而摆杆角度继续增加超过3π/2，小车加速运动，小车和摆杆作为一个整体向右的动量不可能为零，摆杆一部分势能转化为动能，从而摆杆角度不能达到2π，当摆杆达到最高时改为顺时针摆动，由此摆杆往复摆动。而由于摩擦的存在，此后摆杆的摆幅不断减小，最后为0，摆杆位于角度为π处。而小车的动能在运动过程中不断被摩擦消耗，小车减速运动，最后停止。（8）在有摩擦情况下，当初始状态为(00π0)T时，在10s时给小车为脉冲信号（面积为单位1），分析波形得到结论。摆杆角度初值为π时，给小车一脉冲信号，小车往右运动，由于惯性，摆杆顺时针摆动，此时摆杆速度最大，角度减小，小车减速运动，而脉冲信号给的能量有限，摆杆角度不能小到π/2,当摆杆顺时针摆到最高点时，摆杆改为逆时针摆动，角度不断增大，当大于π摆到最高点时，摆杆改为顺时针摆动，角度减小，由此摆杆往复运动。而由于摩擦的存在，此后摆杆的摆幅不断减小，最后为0，摆杆位于角度为π处。而小车的动能在运动过程中不断被摩擦消耗，小车减速运动，最后停止。（9）在有摩擦情况下，当初始状态为(00π0)T时，在10s时给小车为阶跃信号（幅度为1），分析波形得到结论。图9-2摆杆角度初值为π时，给小车一阶跃信号，小车往右运动，由于惯性，摆杆顺时针摆动，此时摆杆速度最大，角度减小，小车加速运动，而摆杆初速不够大以致使摆杆角度小到π/2,当摆杆顺时针摆到最高点时，摆杆改为逆时针摆动，角度不断增大，当摆杆角度达到π左右，摆杆的水平速度不大于小车速度，因而摆杆不会逆时针远离π位置，进而改为顺时针摆动，角度减小，由此摆杆往复运动。而由于摩擦的存在，此后摆杆的摆幅不断减小，最后为0，摆杆位于角度为π处。而小车由于外力的牵引，在运动过程中牵引力大于等于摩擦力，小车不断向右运动。（10）在有摩擦情况下，当初始状态为(0000)T时，在10s时给小车为阶跃信号（幅度为1），分析波形得到结论。摆杆角度初