一阶动态电路的三要素法

2、一阶动态电路的三要素法；重点：第14讲一阶动态电路的全响应及三要素法3、三要素法的应用。1、一阶动态电路的全响应；7.4一阶电路的全响应一、全响应的定义换路后由储能元件和独立电源共同引起的响应，称为全响应。换路后由储能元件和独立电源共同引起的响应，称为全响应。以上图为例，开关接在1位已久，uC（0-）=U0，电容为非零初始状态。t=0时开关打向2位进行换路，换路后继续有电源US作为RC串联回路的激励，因此t≥0时电路发生的过渡过程是全响应。利用求解微分方程的方法，可以求得电容电压uC全响应的变化通式为1)((e)0()(CtCCuutu）te二、全响应的变化规律结论：全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，或稳态响应与暂态响应的叠加。或曰：零输入响应和零状态响应是全响应的特例。上式还可写为tCCCCuuutue)]()0([)()(7.5一阶电路的全响应规律总结：通过前面对一阶动态电路过渡过程的分析可以看出，换路后，电路中的电压、电流都是从一个初始值f（0+）开始，按照指数规律递变到新的稳态值f（∞），递变的快慢取决于电路的时间常数τ。一、一阶动态电路的三要素初始值f（0+）稳态值f（∞）时间常数τ一阶动态电路的三要素二、三要素法的通式teffftf)]()0([)()(进一步推得：)()()()0(lnftffft由此式可以确定电路中电压或电流从换路后的初始值变化到某一个数值所需要的时间三、三要素法应用举例【例14-1】下图所示电路中，已知US=12V，R1=3kΩ，R2=6kΩ，R3=2kΩ，C=5μF，开关S打开已久，t=0时，S闭合。试用三要素法求开关闭合后uC、iC、i1和i2的变化规律即解析式。解：先求电压、电流的三要素。（1）求初始值uC（0+）=uC（0-）=0mA386262312)0(323211RRRRRUiSmA3262238)0()0(32312RRRiimA23238)0()0()0(21iiiC（2）求稳态值V863612)(212RRRUuSCmA346312)()(2121RRUiiS0)(Ci（3）求时间常数τk46363221213RRRRRRs102105104263RC（4）根据三要素法通式写出解析式V)e1(8)(50tCtumAe2)(50tCtimAe3434e)3438(34)(50501tttimAe3234e)3432(34)(50502ttti说明：上题也可以只求出电容电压uC的三要素，然后利用三要素法写出uC的解析式，再以uC的解析式为依据，求出其它电压、电流的解析式。【例14-2】下图所示电路中，开关转换前电路已处于稳态，t=0时开关由1位接至2位，求t≥0时（即换路后）iL、i2、i3和电感电压uL的解析式。解：先用三要素法计算电感电流iL（t）。（1）求电感电流的初始值iL（0+）iL（0+）=iL（0-）=20/2=10mA（2）求电感电流的稳态值iL（∞）开关转换后，电感与电流源脱离，电感储存的能量释放出来消耗在电阻中，达到新稳态时，电感电流为零，即iL（∞）=0（3）求时间常数τk10101020)1010(20Rs10101010733RL根据三要素法，可写出电感电流的解析式为iL（t）=0+（10×10-3–0）=10mAt710et710e【例14-3】下图（a）所示电路原处于稳定状态。t=0时开关闭合，求t≥0的电容电压uC（t）和电流i（t）。解：（1）计算初始值uC（0+）开关闭合前，图（a）电路已经稳定，电容相当于开路，电流源电流全部流入4Ω电阻中，此时电容电压与电阻电压相同，可求得uC（0+）=uC（0-）=4Ω×2A=8V（2）计算稳态值uC（∞）开关闭合后，电路如图（b）所示，经过一段时间，重新达到稳定状态，电容相当于开路，运用叠加定理求得V7V5V2V10444424444V22141411)(Cu（3）计算时间常数τ计算与电容连接的电阻单口网络的输出电阻，它是三个电阻的并联121414110Rs10F1010CR（4）将uC（0+）、uC（∞）和时间常数τ代入通式得：V)e7(7e78)(1010ttCtuAe5051A2)e7(102)(V10)(1010ttCtuti【例14-4】下图所示电路中，已知US1=3V，US2=6V，R1=R2=2Ω，R3=1Ω，L=0.01H，开关S打在1位时，电路处于稳态。t=0时开关由1位打向2位。试求：（1）iL、i1的变化规律并画出它们随时间变化的曲线；（2）换路后iL从初始值变化到零所需要的时间。解：（1）求iL（0+）A750122121223)0()0(322323211SRRRRRRRRUiiLL（2）求iL（∞）A252121226)(323212S1RRRRRUiA51122252)()(3221RRRiiL（3）求时间常数τS打在2位时，L两端的除源等效电阻为22222121213RRRRRRs00502010RL根据三要素法，写出电感电流的解析式为iL（t）=1.5+（-0.75-1.5）=1.5-2.25A0050te0050te由换路后的电路，根据KVL、KVL可列出下列方程i1（t）=i2（t）+iL（t）R1i1（t）+R2i2（t）=US2代入数据，联立解之得i1（t）=2.25-1.125Ate200iL、i1随时间变化的曲线如下图所示。iL从换路后的初始值-0.75A变化到0所需要的时间可得)()()()0(lnLLLLitiiits002051051750ln0050【例14-5】下图所示电路中，电感电流iL（0-）=0，t=0时开关S1闭合，经过0.1s，再闭合开关S2，同时断开S1。试求电感电流iL（t），并画波形图。解：本题属于包含开关序列的直流一阶电路的分析。对于这一类电路，可以按照开关转换的先后次序，从时间上分成几个区间，分别用三要素法求解电路的响应。（1）在0≤t≤0.1s时间范围内响应的计算在S1闭合前，已知iL（0-）=0，S1闭合后，电感电流不能跃变，iL（0+）=iL（0-）=0，处于零状态，电感电流为零状态响应。可用三要素法求解：A502010)(2SRUiLs1020221RL根据三要素公式得到iL（t）=0.5（1-）A（0.1s≥t≥0）te10（2）在t≥0.1s时间范围内响应的计算仍然用三要素法，先求t=0.1s时刻的初始值。根据前一段时间范围内电感电流的表达式可以求出在t=0.1s时刻前一瞬间的电感电流A3160)e1(50)10(1010Li在t=0.1s时，闭合开关S2，同时断开开关S1，由于电感电流不能跃变，所以有iL（0.1+）=iL（0.1-）=0.316A。此后的电感电流属于零输入响应，iL（∞）=0。在此时间范围内电路的时间常数为s0667020102212RRL根据三要素公式得到：Ae3160e)10()()10(15102ttLLiti（t≥0.1s）电感电流iL（t）的波形曲线如右图所示。在t=0时，它从零开始，以时间常数τ1=0.1s确定的指数规律增加到最大值0.316A后，就以时间常数τ2=0.0667s确定的指数规律衰减到零。本讲小结1、换路后由储能元件和独立电源共同引起的响应，称为全响应。零输入响应和零状态响应是全响应的特例。2、f（0+）、f（∞）和τ称为一阶电路的三要素。有了三要素，根据三要素法通式即可求出换路后电路中任一电压、电流的解析式f（t）。3、三要素法的通式为：teffftf)]()0([)()(本讲作业1、复习本讲内容；2、预习下一讲内容——二阶动态电路分析；3、书面作业：习题7-9，7-10，7-12。