一阶微分方程的解法

§9.2.1一阶微分方程一阶微分方程的一般形式.),(0),,(yxfyyyxF或我们只讨论几种特殊形式的一阶微分方程。一、可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()(1、已分离变量的微分方程.设函数)(yg和)(xf是连续的,方程两边同时积分dxxfdyyg)()(设函数)(yG和)(xF是依次为)(yg和)(xf的原函数,CxFyG)()(为微分方程的通解.分离变量法注：分离变量法的依据是不定积分中积分变量与被积函数变量必须一致。2、可分离变量的微分方程)()(ygxfdxdy(1)0)()()()(dyyQxPdxyNxM(1)式当g(y)0时，可转化为分离变量形式求解.或(2)(2)式当P(x)0,N(y)0时，可转化为分离变量形式求解.当g(y)=0或P(x)=0或N(y)=0时，要找回奇解。例1求微分方程.2的通解xydxdy解分离变量,2xdxydy两端积分,2xdxydy12lnCxy.2为所求通解xcey注1求解过程中左边对数未取绝对值的解释；注2通解结果中常数的形式和结构变化；注3求通解与求解微分方程的区别。(奇解)例2求解微分方程.12的通解xxydxdy解,12xxdxydy两端积分,12xxdxydyCxyln)1ln(21ln2.12为所求通解xcy.132yedxdyx求解微分方程例可分离变量得时当,012ydxeydyx21dxeydyx21两边同时积分得为任意常数CCeyxarcsin通解为解为原方程的两个奇解时当1,012yy1)1(1122yxyyxdxdy例4求定解问题2211xdxydyCxy两边同时积分2211xyC得通解解这是可分离变量的微分方程，分离变量得01122yydyxxdx(1)12yC以代入通解得：22112xy因此满足定解条件的特解为：22221)1)0011xydxyxdyxdxydyxy解：分离变量得（（　　　　　122212111ln21xdxydyCxyyCx两边积分　　　　　0)()(22dyyxydxxxy例5求微分方程的通解122211CyCxCe于是得到通解为　　　其中为人员常数00)()1(xtxxxxadtdxm例6求解logistic人口模型adtdxxxxxmm)(解这是可分离变量的初值问题。分离变量得()mmxdxadtxxx两边积分得：1lnln()mxxxatC即：()1matxxteC整理得：1CCe其中为任意常数0000()1(1)atmxtxCxex将初值条件代入上式得：　　　　　　0()0()1(1)mattmxxtxex所以特解为：　　　　　　).(,0)()(7txktxtxtN求积成正比，比例常数和未掌握新技术人数之数化率与已掌握新技术人连续可微变量），其变视为（将已掌握新技术的人数为任意时刻，在该人群的总人数为新技术的人进行的，设术是通过其中已掌握在某一个群中推广新技例)()(xNkxtx00xxtdtxNkxdx)(kNtkNtCeNCex100xNxC代入初始条件，得kNtkNtexxNeNxx000解思考题,02cos2cosyxyxdxdy,02sin2sin2yxdxdy,2sin2sin2dxxydy2cot2csclnyy为所求通解.求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdyky2为方程解。kyCx2,2cos22cot2csclnyy,2cos2Cx也是解，是微分方程的奇解。解)(xyfdxdy形如的微分方程称为一阶齐次方程.,xyu作变量代换,xuy即代入原式,dxduxudxdy),(ufdxduxu.)(xuufdxdu即可分离变量的方程,0)(时当uufxdxuufdu)(得二、齐次微分方程(可化为分离变量形式)2,1yuxduuxuudx解：令则原方程化为：　　　　　21(918)duxudx即：　　　　　　　　　22101ududxxu当时，分离变量得：2)(1xyxydxdy例8求解微分方程arcsinlnuxC两边积分：arcsinln()yuxyxCCx再将：代入上式的原方程通解为：　　　　为任意常数1uyxyx显然为(9-18)的解，即和均为原方程的奇解例9求解微分方程.0cos)cos(dyxyxdxxyyx，令xyu，则udxxdudy,0)(cos)cos(xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu,lnsinCxu.lnsinCxxy微分方程的解为解2222yxyxxyydxdy,1222xyxyxyxy,xyu令,udxxdudy则,1222uuuuuxu.2222xyydyyxyxdx例10求解微分方程解,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu.)2(123Cxuuu微分方程的解为.)2()(32xyCyxy,]1122)121(21[xdxduuuuu.0)()(11通解求方程例xdyxygydxxyf,xyu令,ydxxdydu则,0)()(xydxduxugydxuf,0)()]()([duugdxxuuguf,0)]()([)(duugufuugxdx.)]()([)(||lnCduugufuugx通解为解.)(122的通解求例yxdxdy解,uyx令1dxdudxdy代入原方程21udxdy,arctanCxu解得得代回,yxu,)arctan(Cxyx原方程的通解为.)tan(xCxy思考题方程)()()(2022xxydttyttyx是否为齐次方程?思考题解答方程两边同时对求导:x,222yxyyxy,22yyxyx,12xyxyy原方程是齐次方程.三*、可化为齐次的方程(可删)的微分方程形如)(111cybxacbyaxfdxdy为齐次方程.,01时当cc，令kYyhXx,（其中h和k是待定的常数）dYdydXdx,否则为非齐次方程.)(11111ckbhaYbXacbkahbYaXfdXdY2.解法1.定义,0,0:111ckbhacbkah令,0)1(11baba(2)有唯一一组解(h,k).(1)(2)，代回kyYhxX,求通解,11bbaa令),)((1cbyaxcbyaxfdxdy方程可化为,byaxz令，则dxdybadxdz).()(11czczfadxdzb,0b若可分离变量的微分方程.,0,01ab若),(1adxdzbdxdy)()(11cczfadxdzb可分离变量的微分方程.,01时当b,byaxz令可分离变量.,0)2(求通解,代回z=ax+by112211022abab解：因为,2121zxydzxdxz令将原方程化为　　　　　　2131zdzxz分离变量得：　　　的通解求微分方程1222yxyxdxdy例1325ln3139zzxC两边积分得：　　15ln33139zxyyxxyCC将代入上式，得原方程的通解为23其中为任意常数1122112011abab解：因为0021035023xyxyyxxy线性方程组的解为的解因此令代入原方程得：的通解求微分方程51xyxydxdy例14dd22ln()2arctanC解此齐次微分方程得通解为：222,33ln[(2)(3)]2arctan2()xyyxyCxC再将代入上式，得原方程的通解为为任意常数.31的通解求练习yxyxdxdy解,021111,0301khkh方程组,2,1kh.2,1YyXx令,YXYXdXdY代入原方程得，令XYu,11uudXduXu分离变量、积分得,)12(22cuuX,222CXXYY即代回，将2,1yYxX得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy方程变为)()(xQyxPdxdy,0)(xQ当上方程称为一阶线性齐次方程.上方程称为一阶线性非齐次方程.,0)(xQ当一、一阶线性微分方程的标准形式例如,2xydxdy,sin2ttxdtdx,32xyyy,1cosyy线性的;非线性的.§9.2.2一阶线性微分方程.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy齐次方程的通解为)1()(dxxPCey1.线性齐次方程二、一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)的通解求微分方程例0121xyy12)(xxp方程这是一阶齐次线性微分解为任意常数其中得通解：代入通解公式CxCCeydxx212)1()1().(2ln)2()()(220xfdttfxfxfx，求满足关系式若连续函数例2)()(xfxf解：yy202yydxcexfy2)(xce22ln)0(f2lncxexf22ln)(则2.线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy讨论:设y=f(x)是解,则,)()()()()(dxxPxfxQxfxdf变形积分,)()()()(lndxxPdxxfxQxf,)()()()(dxxpdxxfxQeexf非齐方程通解形式).()()()(xQxfxPdxxdf,)()()(dxxfxQexc记dxxpexcxfy)()()(解法1常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.设解为dxxPexcy)()(,)]()[()()()(dxxPdxxPexPxcexcy)(xcC得)()(xQyxPdxdy代入原方程和将yy),()()(xQexcdxxP,)()()(CdxexQxcdxxP积分得))(()()(CdxexQeydxxPdxxP非齐方程通解解法2一阶线性非齐次微分方程的通解(公式法):)2())(()()(CdxexQeydxxPdxxPdxexQeCedxxPdxxPdxxP)()()()(对应齐次方程通解非齐次方程特解对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和。.0)()()(的解的任意两解之差是证明yxPdxdyxQyxPdxdy的通解是)()(xQyxPdxdy.sin1的通解求方程xxyxy,1)(xxP,sin)(xxxQCdxexxeydxxdxx11sinCdxexxexxlnlnsinCxdxxsin1.cos1Cxx解例3的通解。求方程0)12(2)1(22dyxyydxy)1(21422yyxyydydx解])1(2[2214214cdyeyyexdyyydyyy)ln2()1(1222cyyy例42'2xyxyx