第4章 数据分布特征的测定

第4章数据分布特征的测度4.1集中趋势的测度4.2离散程度的测度4.3偏态与峰态的测度4.1集中趋势的测度一.众数二.中位数和分位数三.均值四.众数、中位数和均值的比较集中趋势(centraltendency)1.一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度2.测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值3.不同类型的数据用不同的集中趋势测度值众数(mode)1.集中趋势的测度值之一2.出现次数最多的变量值3.不受极端值的影响4.可能没有众数或有几个众数众数(不唯一性)无众数原始数据:10591268一个众数原始数据:659855多于一个众数原始数据:2528283642421、由单项数列求众数某车间工人日产情日产量（件）人数（人）11501260139014251515合计2402.由组距数列计算•首先确定次数最多的组，即众数组，然后，用公式计算。dLM2110dUM2120下限公式：上限公式：中位数(median)1.排序后处于中间位置上的值Me50%50%2.不受极端值的影响1、由未分组资料计算中位数件）(5.122)1312(Me设有六个工人的日产量(件)依次排列为10、11、12，13、14、15、则：中位数位次＝（n+1）／2＝6+1／2＝3.5（1）由单项数列求中位数2、由分组资料计算中位数:例10：某生产车间120名工人生产某种零件的日产量如下表所示，计算该车间工人日产量的中位数。按日产量分组（件）工人数（人）累计次数（向上）20222426303233101225301815101022477795110120合计120—fmmfLMes122.由组距数列求中位数，下限公式：L为中位数所在组下限sm1为中位数所在组以前各组的累计次数（较小制）fm为中位数所在组的次数上限公式：fmmfUMes12U为中位数所在组上限为中位数所在组以后各组的累计次数（较大制）sm1从某单位抽查800户，取得人均收入资料如下表，计算该单位人均收入的中位数。人均收入（元）户数（户）较小累计（向上）较大累计400-500500-600600-700700-800800-900900-10001000以上54510043016842105501505807487908008007957506502205210合计800——中位数位次＝∑f／2＝800／2＝400，中位数组在700-800这一组中。由下限公式元）(14.75810043015040070012dfmSmfLMe由上限公式（元）14.75810043022040080012dfmSmfUMe四分位数(quartile)1.排序后处于25%和75%位置上的值QLQMQU25%25%25%25%四分位数未分组数据：4)1(341nQnQUL位置位置均值(mean)1.集中趋势的最常用的测度值2.一组数据的均衡点所在3.易受极端值的影响简单算术平均数(simplemean)nxnxxxxniin121加权算术平均数(weightedmean)设一组数据为：x1，x2，…，xn相应的频数为：f1，f2，…，fkniikiiikkkffxffffxfxfxx11212211(例题分析)（件）67.10330311011kiikiiiffxxffxfxfx(权数对均值的影响)P34甲组：考试成绩（x）:020100人数分布（f）：118乙组：考试成绩（x）:020100人数分布（f）：811)(8210810012010分甲ffxx)(1210110012080分乙fxfx算术平均数(数学性质)1.各变量值与均值的离差之和等于零2.各变量值与均值的离差平方和最小niixx12min)(niixx10)(调和平均数(harmonicmean)1.均值的另一种表现形式原来只是计算时使用了不同的数据！fxfxMMH调和平均数某日三种蔬菜的批发成交数据蔬菜名称批发价格(元)X成交额(元)Xf成交量(公斤)f甲乙丙1.200.500.801800012500640015000250008000合计—3690048000【例】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格（元）批发价格成交额成交额769.04800036900mH几何平均数(geometricmean)1.n个变量值乘积的n次方根2.适用于对比率数据的平均3.主要用于计算平均增长率nniinnmxxxxG121【例】一位投资者持有一种股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分别为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。%84.103%4.105%5.103%0.102%5.104421nnmxxxG平均收益率＝103.84%-1=3.84%众数、中位数和均值的比较众数、中位数和均值的关系左偏分布均值中位数众数对称分布均值=中位数=众数右偏分布众数中位数均值众数、中位数和均值的特点和应用1.众数不受极端值影响具有不唯一性数据分布偏斜程度较大时应用2.中位数不受极端值影响数据分布偏斜程度较大时应用3.平均数易受极端值影响数学性质优良数据对称分布或接近对称分布时应用分布离散程度的测度一、极差二、内距三、方差和标准差四、离散系数极差(range)1.一组数据的最大值与最小值之差2.离散程度的最简单测度值3.易受极端值影响4.未考虑数据的分布7891078910R=max(xi)-min(xi)内距(Inter-QuartileRange,IQR)1.也称四分位差2.上四分位数与下四分位数之差内距=Q3–Q13.反映了中间50%数据的离散程度4.不受极端值的影响5.可用于衡量中位数的代表性方差和标准差方差和标准差(VarianceandStandarddeviation)1.离散程度最常用的测度值2.反映了各变量值与均值的平均差异总体方差和标准差(PopulationvarianceandStandarddeviation)未分组数据：组距分组数据：NxNii122)(NfMKiii122)(样本方差和标准差(simplevarianceandstandarddeviation)未分组数据：组距分组数据：1)(122nxxsnii1)(122nfxMskiii样本方差P34自由度(degreeoffreedom)1.一组数据中可以自由取值的数据的个数2.当样本数据的个数为n时，若样本均值x确定后,只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值3.例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则x=5。当x=5确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他离散系数离散系数(coefficientofvariation)1.标准差与其相应的均值之比2.对数据相对离散程度的测度3.消除了数据水平高低和计量单位的影响4.用于对不同组别数据离散程度的比较vxsvs某管理局所属8家企业的产品销售数据企业编号产品销售额（万元）x1销售利润（万元）x21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0【例】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度结论：计算结果表明，v1v2，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度v1=536.25309.19=0.577)(19.309)(25.53611万元万元sxv2=32.521523.09=0.710)(09.23)(5215.3222万元万元sx计算分析题1.某厂400名职工工资如下按月工资分组（元）职工人数（人）450-550550-650650-750750-850850-950601001406040合计400根据上述资料计算该厂职工平均工资和标准差。解：职工人数f组中值xxf60100140604050060070080090030000600009800048000360001944000640005600086400019360004002720005440000fxx2)(（元）＝＝－＝标准差＝＝＝平均工资62.1164005440000ffxx680400272000fxfx22.某县去年年粮食产量资料如下：按单位面积产量分组（千克／公顷）播种面积比重3000以下3000-37503750-60006000以上0.050.350.400.20根据上表资料计算该县粮食作物平均单位面积产量。解：x26253375487571250.050.350.40.2131.251181.251950.001425.001.004687.5ffffx5.468720.0712540.0487535.0337505.02625ffxx3.某地甲、乙两个农贸市场三种主要蔬菜价格及销售资料如下：品种价格（元／千克）甲销售额(万元）乙销售额(万元）ABC0.300.320.3675.040.045.037.580.045.0比较该地区哪个农贸市场蔬菜平均价格高？并说明原因。解：325.05005.163xmm32.0500160xmm＝＝＝＝乙甲HH4.某工厂生产一批零件共10万件，为了解这批产品的质量，采取不重复抽样的方法抽取1000件进行检查，其结果如下，根据质量标准，使用寿命800小时及以上者为合格品。计算平均合格率、标准差及标准差系数。使用寿命（小时）零件数（件）700以下700-800800-900900-10001000-12001200-1400106023045019060合计1000％＝＝＝＝（＝）（＝＝＝平均合格率43.2793.02551.0x2551.093.0193.0p1p93.0100060190450230pV5、甲、乙两单位工人的生产资料如下：日产量（件人甲单位工人数（人）乙单位总产量（件）112030260120合计180150（1）哪个单位工人的生产水平高？（2）哪个单位工人的生产水平整齐？6.甲、乙两班同时对《统计学》课程进行测试，甲班平均成绩为70分，标准差为9.0分；乙班的成绩分组资料如下：计算乙班学生的平均成绩，并比较甲、乙两班哪个班的平均成绩更有代表性？7.有甲、乙两个品种的粮食作物，经播种实验后得知甲品种的平均产量为998斤，标准差为162.7斤；乙品种实验的资料如下：试研究两个品种的平均亩产量，以确定哪一品种具有较大稳定性，更有推广价值？8、下属三个企业销售利润率资料如表企业销售利润率%销售利润额（万元）甲乙丙71012506080要求计算三个企业的平均利润率。