第三章矩阵的初等变换及线性方程组习题课

线性代数习题课第三章矩阵的初等变换与线性方程组（第行的倍加到第行上，记作）.一、内容提要（一）初等变换定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:（i）对调两行（对调两行，记作）；ji,jirr（ii）以数乘某一行中的所有元素（第行乘，记作)0kikkri（iii）把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去；kjkijikrr（记号：“”换为“”）矩阵与列等价；记作；若矩阵经过有限次初等列变换变成矩阵，则称阵与等价；记作；矩阵与行等价；记作；若矩阵经过有限次初等变换变成矩阵，则称矩定义2若矩阵经过有限次初等行变换变成矩阵，则称注（1）将定义中“行”改为“列”，称为矩阵的初等列变换；rcABABBAr~ABBABAc~AABBBA~（2）初等行变换与初等列变换统称为初等变换．（二）初等矩阵1．定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为E2．三种初等矩阵，，.),(jiE)]([kiE)](,[kjiE行列式：，，.1|),(|jiEkkiE|)]([|1|)](,[|kjiE逆矩阵：,,.1),(jiE),(jiE1)]([kiE)]1([kiE1)](,[kjiE)](,[kjiE作用：“左乘变行，右乘变列．”初等矩阵．（三）矩阵的秩1．定义设矩阵中有一个不等于的阶子式，且所有A0rD阶子式（如果存在的话）全为,则称为的最高1r0DA阶非零子式．数称为矩阵的秩，记为.rA)(AR规定：零矩阵的秩为．02．性质（1）.},min{)(0nmARnm（2）.)()(ARART（3）若，则.BA~)()(BRAR（4）若可逆，则.QP,)()(ARPAQR3．求法（1）定义法；（四）线性方程组的解1．有非零解；0xAnmnAR)(2．有解，；即bxAnm)()(BRAR),(bAB（1）当时，有唯一解；nBRAR)()(bxAnm（2）当时，有无穷多解；nrBRAR)()(bxAnm（3）当时，无解．)()(BRARbxAnm3．通解的求法:初等行变换法．（2）利用初等行变换化为与之等价的行阶梯形矩阵．非零行的行数就是的秩．ABBA存在可逆阵、，使．（五）一些重要结论1．可逆（为初等矩阵，）．AlPPPA21iPli,,2,1nmnmBA~PQBPAQ2．逆矩阵的求法．),(),(1AEEA初等行变换二、典型例题举例（一）填空题【例1】给矩阵左乘一个初等方阵，相当于对施行一次相应的；给矩阵右乘一个初等方阵，相当于对施行一次相应的.nmAAAAnm分析本题是考查初等方阵的性质．解初等行变换；初等列变换．【例2】，，.2),(jiE2))(,(kjiE2))((kiE分析本题是考查初等方阵的定义及性质．解；；．E)]2(,[kjiE)]([2kiE【例3】设矩阵，,则逆矩阵.300041003A100010001E1)2(EA分析本题可利用初等行变换法求逆矩阵．解．10002121001可知，的任何阶子式均为，故此时，所以分析本题是考查矩阵和伴随矩阵秩之间的关系．由解．【例4】设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵的秩为.0*A2)(ARA300)(*AR0注与的秩的一般关系是.A*A1)(,01)(,1)(,)(*nARnARnARnAR【例5】设是矩阵，的秩，而，A34A2)(AR301020201B分析本题是考查矩阵秩的性质．因，所以可逆，010||BB)(ABR2)(AR解．2)(ABR*A.从而【例6】已知矩阵的秩为，矩阵的秩为，则1m1Am1Q1AQ的秩为.分析本题是考查列乘行形式的矩阵秩的性质．因，1)(AR，故与均至少有一个非零元，所以也至少有1)(QRAQAQ一个非零元，从而；又的各行元素对应成比例，1)(AQRAQ所以的任何阶子式均为，故.可见.AQ201)(AQR1)(AQR解．1注一般结论：设，均为非零列矩阵，则.TA1)(AR分析本题是考查初等方阵的性质及逆．由于与互为逆矩阵，所以，故应选.)A(AEA2))8(2,1()B(AAEE))6(2,1())6(2,1()C(AiEiEA))3(())3(()D(AAiE2))3((..【】..))6(2,1(E))6(2,1(EAEAAEE))6(2,1())6(2,1()B(解选.)B(【例2】设，是3阶初等方阵，则等于032410321F)2(3EFE)2(3)A(064410321.)B(410032321.)C(302140231.)D(032810621.【】【例1】设A是n阶方阵，则下列各式中正确的是（二）选择题知应选.矩阵的第三行，故应选.分析本题是考查初等方阵的性质．由于为用乘FE)2(32F)A(解选.)A(【例3】设线性方程组有唯一解，则必有bxA1555)A(1)(AR.)B(2)(AR.)C(5)(AR.)D(4)(AR.【】分析本题是考查线性方程组有唯一解的条件．由5)()(nBRAR)C(解选.)C(【例4】设为矩阵,为矩阵，若方程组A45b15bAx)A(1)(AR.)B(2)(AR.)C(4)(AR.)D(5)(AR.【】有无穷多解，则必有知应选.分析本题是考查线性方程组有无穷多解的条件．由：4)()(nBRAR)C(解选.)C(（三）计算题【例1】求矩阵的逆矩阵．113122214A分析本题A为具体的矩阵，故可采用初等行变换法求逆阵.),(~),(1AEEAr解100113010122001214)(EA110211010122021430~21232rrrr021430230540110211~13122rrrr021430211110110211~32rr614100211110101101~21233rrrr614100825010513001~所以.6148255131A首元所在列的原矩阵中寻找A的最高阶非零子式．将A化为行阶梯形矩阵，则与之等价的行阶梯形矩阵的非零行的行数就是A的秩．另外，可在阶梯形矩阵中非零行非零【例2】求矩阵的秩，并求一最高阶的非子式．4820322513454947513253947543173125A分析本题中A为具体的矩阵，故可采用初等行变换法求秩—解因所以53105310321043173125~A00002100321043173125~3)(AR因，所以即为一个最高阶的非零子式.025549475539475173125549475539475173125【例3】设矩阵与满足，其中AXXAAX2300041034A（1）求；（2）求.X)(XR分析本题为常规的解矩阵方程题型．一般方法是先将矩阵解（1）由，得；因XAAX2AXEA)2(300100041021034032)2(AEA300100052010041021~21122rrrr300100052010065001~所以.300052065X方程化为基本型，再用初等行变换法求未知矩阵．（2）因，所以.039||X3)(XR【例4】求解齐次线性方程组05105036302432143214321xxxxxxxxxxxx分析本题为解齐次线性方程组题．一般方法①将系数矩阵作初等行变换化为行最简形；②由判断解的情况；③由最简形得同解方程组；④选择非自由未知数，写出通解．)(AR解因5110531631121A040004001121~000001001021~同解方程组为0023421xxxx通解为，10010012214321ccxxxx.),(21Rcc【例5】设非齐次线性方程组.问取何值时，方程组有解；在方程组有解时，求出其通解．332143243214321xxxtxxxxxxxxt分析本题为解含参数的非齐次线性方程组题，是个很重要的典型题．一般方法①将增广矩阵作初等行变换化为行最简形；②由与的关系判断解的情况，由此得相应的取值；③由最简形得同解方程组；④选择非自由未知数，写出通解．),(bAB)(AR)(BR解因31110113211111)(tbAB311102111011111~t100002111011111~tt所以，当，即时，方程组才有解，此时01t1t同解方程组为，通解为000003111011111~B000003111042201~3422432431xxxxxx,003410120112214321kkxxxx.),(21Rkk【例6】设，，求.101110011AAXAX2X（教材P78,习题6）解由可得，因AXAX2AXEA)2(101101110110011011),2(AEA112110110110011011~022200110110121101~011100101010110001~由上述结果可知可逆，且.011101110)2(1AEAXEA2【例7】求解非齐次线性方程组.12222412wzyxwzyxwzyx(教材P.79,习题14(3))解111222122411112),(bAB020000100011112~000000100010112~所以，故原方程组有无穷多解.42)()(BRAR且同解方程组为,012wzxy令，，则得通解1cx2cz),(21Rcc,00100110002121ccwzyx).,(21Rcc【例8】问取何值时，非齐次线性方程组23213213211xxxxxxxxx（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？（教材P.80,习题16）解法1对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵),(bAB1111111),(2bAB3132~rrrr