向量法求线面角,二面角

第1页共14页利用空间向量解立体几何问题1、线面垂直第2页共14页别解：本题还可以证明向量A1C与平面DBE的法向量平行11.（2009安徽卷理）如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=2，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.第3页共14页（I）求二面角B－AF－D的大小；（向量法）以A为坐标原点，BD、AC、AE方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）设平面ABF的法向量1(,,)nxyz，则由1100nABnAF得202220xyyz令1z，得21xy，1(2,1,1)n同理，可求得平面ADF的法向量2(2,1,1)n。由120nn知，平面ABF与平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于2。14.（2009江西卷文）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，4PAAD，2AB．以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线PC与平面ABM所成的角；（3）求点O到平面ABM的距离．解：方法（一）：OAPBCMD第4页共14页（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影，所以PNM就是PC与平面ABM所成的角，且PNMPCDtantan22PDPNMPCDDC所求角为arctan22（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.因为在Rt△PAD中，4PAAD，PDAM，所以M为PD中点，22DM，则O点到平面ABM的距离等于2。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(0,0,4)P，(2,0,0)B，(2,4,0)C，(0,4,0)D，(0,2,2)M，设平面ABM的一个法向量(,,)nxyz，由,nABnAM可得：20220xyz，令1z，则1y，即(0,1,1)n.设所求角为，则22sin3PCnPCn，所求角的大小为22arcsin3.（3）设所求距离为h，由(1,2,0),(1,2,0)OAO，得：2AOnhn25.（2009全国卷Ⅰ文）(本小题满分12分)（注决：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，2AD，ONAPBCMDzxy第5页共14页2DCSD，点M在侧棱SC上，∠ABM=60。（I）证明：M是侧棱SC的中点；求二面角SAMB的大小。（同理18）（Ⅰ）设)0,0)(,,0(babaM，则)2,,0(),,2,2(),0,2,0(baSMbaBMBA，)2,2,0(SC，由题得SCSMBMBA//21,cos，即)2(22212)2(2)2(222babaa解之个方程组得1,1ba即)1,1,0(M所以M是侧棱SC的中点。法2：设MCSM，则)12,12,2(),12,12,0(MBM又oABMBAB60,),0,2,0(故oABMBABMB60cos||||，即22)12()12(214，解得1，所以M是侧棱SC的中点。（Ⅱ）由（Ⅰ）得)1,1,2(),1,1,0(MAM，又)2,0,2(AS，)0,2,0(AB，设),,(),,,(22221111zyxnzyxn分别是平面SAM、MAB的法向量，则0011ASnMAn且0012ABnMAn，即0220211111zxzyx且02022222yzyx分别令221xx得2,0,1,12211zyyz，即)2,0,2(),1,1,2(21nn，第6页共14页∴3662202,cos21nn二面角SAMB的大小36arccos。线面角1.线面角：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做斜线和这个平面所成的角（斜线和平面的夹角）.如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或直线在平面内，那么说直线和平面所成的角是零度的角.直线和平面所成的角的取值范围为[0,90]鞍，斜线和平面所成角的取值范围为(0,90)鞍.第7页共14页4.二面角：二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，其中直线、半平面分别叫做二面角的棱和面.一个平面垂直于二面角lab--的棱l，且与两个半平面的交线分别是射线OAOB、，O为垂足，则AOBÐ叫做二面角lab--的平面角.它决定着二面角的大小.其中平面角是直角的二面角叫做直二面有，相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.二面角的取值范围为[0,180]鞍.(1)定义法(垂面法)：过二面角内的一点作棱的垂面，垂面与二个半平面的交线形成所求平面角.(2)等价定义法：在二面角的棱上取一点(中点等特殊点)，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角.(3)三垂线法：先作(或找)出二面角的一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出平面角.(4)射影面积法：利用面积射影公式cosSSq=射投其中为平面角的大小，特点在于不需要画出平面角，也不需要找出棱，尤其适用于没有画出棱的二面角问题.(3)法向量法：建立空间直角坐标系后，分别求出两个平面的法向量nm,，利用公式||||,cosnmnmmm求出平面角或其补角的余弦值，再数形结合确定二面角的大小1、正方体中求二面角A1-BD-C1的大小第8页共14页第9页共14页第10页共14页45°异面直线成角（1）异面直线a、b所成的角：在空间中任取一点O，过点O分别引/a∥a，/b∥b，则/a，/b所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角。两条异面直线所成角的范围：(0,]2。求法：①把两条异面直线中的一条放入一个平面，另一条与这个平面有交点，过这个交点在平面内作第一条的平行线，则这两条直线所成的角为两条异面直线所成的角。然后解三角形得到。②运用向量：在直线a上取两点A、B，在直线b上取两点C、D，若直线a与b的夹角为，则cos|cos,|ABCD。第11页共14页例3、如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=2,PB⊥PD.求异面直接PD与BC所成角的余弦值；解法一：PO平面ABCD，POBD，又,2,2PBPDBOPO，由平面几何知识得：1,3,6ODPDPB（Ⅰ）过D做//DEBC交于AB于E，连结PE，则PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，四边形ABCD是等腰梯形，1,OCOD2OBOA，OAOB，5,22,2BCABCD，又//ABDC，四边形EBCD是平行四边形。5,2EDBCBECD，E是AB的中点，且2AE，又6PAPB，PEA为直角三角形，22622PEPAAE在PED中，由余弦定理得222354215cos215235PDDEPEPDEPDDE故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为21515解法二：PO平面ABCD，POBD，又PBPD，2,2BOPO，由平面几何知识得：1,2ODOCBOAO以O为原点，,,OAOBOP分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为(0,0,0)O，(2,0,0)A，(0,2,0)B，(1,0,0)C，(0,1,0)D，(0,0,2)P（Ⅰ）(0,1,2)PD，(1,2,0)BC，第12页共14页3,5,2PDBCPDBC。若PD与BC所成的角为，则cos|cos,|||PDBCPDBCPDBC21515。故直线PD与BC所成的角的余弦值为21515（2）直线a与平面角：斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影所成的锐角。直线与平面所成角的范围为：[0,]2。求法：①求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用三棱锥体积等量来求出斜线上一点到平面的距离。②运用向量：设n是平面的法向量，A、B是直线m上的点，如果直线m与平面所成的角为，则sin|cos,|ABn。例4、（07湖北•理）如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且第13页共14页AC=BC=a，∠VDC=20。当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围；解：（Ⅰ）以CACBCV，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则2(000)(00)(00)000tan222aaCAaBaDVa，，，，，，，，，，，，，，，设直线BC与平面VAB所成的角为，平面VAB的一个法向量为()nxyz，，，则由00nABnVD．得02tan0222axayaaxyaz，．可取(112cot)n，，，又(00)BCa，，，于是22sin||sin2||||22cotnBCanBCa，π02∵，0sin1∴，20sin2．又π02≤≤，π04∴．即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为π04，．（3）二面角l：从一条直线l出发的两个半平面所组成的几何图形，叫二面角l。二面角l的范围为[0,)。求二面角l大小：①找出二面角的平面角，然后利用解三角形来求出。②利用面积射影定理。③运用向量：从相交棱上一点（或两点）出发，找与相交棱方向向量n垂直的两个向量a、b，则a、b这两个向量所成的角的大小,ab等于二面角的大小。例5（06年全国Ⅱ）如图，在直三棱柱111ABCABC中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．设AA1＝AC＝2AB，求二面角A1－AD－C1的大小．解：（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．设(1,0,0)A，则(0,1,0)B，(1,0,0)C，1(1,0,2)A，(0,1,1)D，设M分AD的比为，则M1(,,)111，而(0,0,1)E，11(,,)111EM，(1,1,1)AD，由112(,,)(1,1,1)011111EMAD，2，所以121(,,)333ME，M122(,,)333;又1224(,,)333MA，(1,1,1)AD，1224(,,)(1,1,1)0333MAAD。由1111cos,2||||MAMEMAMEMAME，1,[0,]MAME，知1,3MAME，即二面角A1－AD－C1的大小为3。ADBCVxyzABCDEA1B1C1ABCDEA1B1C1Ozxy第14页共14页