压缩感知

压缩感知基本信息压缩感知（Compressedsensing），也被称为压缩采样(Compressivesampling)，稀疏采样(Sparsesampling)[1]，压缩传感。它作为一个新的采样理论，它通过开发信号的稀疏特性，在远小于Nyquist采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法完美的重建信号[2]。压缩感知理论一经提出，就引起学术界和工业界的广泛关注。他在信息论、图像处理、地球科学、光学/微波成像、模式识别、无线通信、大气、地质等领域受到高度关注，[3]并被美国科技评论评为2007年度十大科技进展。基本知识•现代信号处理的一个关键基础是Shannon采样理论：一个信号可以无失真重建所要求的离散样本数由其带宽决定。但是Shannon采样定理是一个信号重建的充分非必要条件。在过去的几年内，压缩感知作为一个新的采样理论，它可以在远小于Nyquist采样率的条件下获取信号的离散样本，保证信号的无失真重建。压缩感知理论一经提出，就引起学术界和工业的界的广泛关注。[4]•压缩感知理论的核心思想主要包括两点。第一个是信号的稀疏结构。传统的Shannon信号表示方法只开发利用了最少的被采样信号的先验信息，即信号的带宽。但是，现实生活中很多广受关注的信号本身具有一些结构特点。相对于带宽信息的自由度，这些结构特点是由信号的更小的一部分自由度所决定。换句话说，在很少的信息损失情况下，这种信号可以用很少的数字编码表示。所以，在这种意义上，这种信号是稀疏信号（或者近似稀疏信号、可压缩信号）。另外一点是不相关特性。稀疏信号的有用信息的获取可以通过一个非自适应的采样方法将信号压缩成较小的样本数据来完成。理论证明压缩感知的采样方法只是一个简单的将信号与一组确定的波形进行相关的操作。这些波形要求是与信号所在的稀疏空间不相关的。•压缩感知方法抛弃了当前信号采样中的冗余信息。它直接从连续时间信号变换得到压缩样本，然后在数字信号处理中采用优化方法处理压缩样本。这里恢复信号所需的优化算法常常是一个已知信号稀疏的欠定线性逆问题。历史背景•尽管压缩感知是由E.J.Candes、J.Romberg、T.Tao和D.L.Donoho等科学家于2004年提出的。但是早在上个世纪，相关领域已经有相当的理论和应用铺垫，包括图像处理、地球物理、医学成像、计算机科学、信号处理、应用数学等。•可能第一个与稀疏信号恢复有关的算法由法国数学家Prony提出。这个被称为的Prony方法的稀疏信号恢复方法可以通过解一个特征值问题，从一小部分等间隔采样的样本中估计一个稀疏三角多项式的非零幅度和对应的频率。而最早采用基于L1范数最小化的稀疏约束的人是B.Logan。他发现在数据足够稀疏的情况下，通过L1范数最小化可以从欠采样样本中有效的恢复频率稀疏信号。D.Donoho和B.Logan是信号处理领域采用L1范数最小化稀疏约束的先驱。但是地球物理学家早在20世纪七八十年代就开始利用L1范数最小化来分析地震反射信号了。上世纪90年代，核磁共振谱处理方面提出采用稀疏重建方法从欠采样非等间隔样本中恢复稀疏Fourier谱。同一时期，图像处理方面也开始引入稀疏信号处理方法进行图像处理。在统计学方面，使用L1范数的模型选择问题和相关的方法也在同期开始展开。•压缩感知理论在上述理论的基础上，创造性的将L1范数最小化稀疏约束与随机矩阵结合，得到一个稀疏信号重建性能的最佳结果。•压缩感知基于信号的可压缩性,通过低维空间、低分辨率、欠Nyquist采样数据的非相关观测来实现高维信号的感知，丰富了关于信号恢复的优化策略,极大的促进了数学理论和工程应用的结合[1]。它是传统信息论的一个延伸，但是又超越了传统的压缩理论，成为了一门崭新的子分支。它从诞生之日起到现在不过五年时间，其影响却已经席卷了大半个应用科学。主要应用•无线通信•认知无线电方向：宽带谱感知技术是认识无线电应用中一个难点和重点。它通过快速寻找监测频段中没有利用的无线频谱，从而为认知无线电用户提供频谱接入机会。传统的滤波器组的宽带检测需要大量的射频前端器件，并且不能灵活调整系统参数。普通的宽带接收电路要求很高的采样率，它给模数转换器带来挑战，并且获得的大量数据处理给数字信号处理器带来负担。针对宽带谱感知的难题，将压缩感知方法应用到宽带谱感知中：采用一个宽带数字电路，以较低的频谱获得欠采样的随机样本，然后在数字信号处理器中采用稀疏信号估计算法得到宽带谱感知结果。[5-6]•信道编码：压缩传感理论中关于稀疏性、随机性和凸最优化的结论可以直接应用于设计快速误差校正编码,这种编码方式在实时传输过程中不受误差的影响。在压缩编码过程中,稀疏表示所需的基对于编码器可能是未知的.然而在压缩传感编码过程中,它只在译码和重构原信号时需要,因此不需考虑它的结构,所以可以用通用的编码策略进行编码.Haupt等通过实验表明如果图像是高度可压缩的或者SNR充分大,即使测量过程存在噪声,压缩传感方法仍可以准确重构图像。•阵列信号处理•波达方向估计：目标出现的角度在整个扫描空间来看，是极少数。波达方向估计问题在空间谱估计观点来看是一个欠定的线性逆问题。通过对角度个数的稀疏限制，可以完成压缩感知的波达方向估计。[7]•波束形成：传统的自适应波束形成因其高分辨率和抗干扰能力强等优点而被广泛采用。但同时它的高旁瓣水平和角度失匹配敏感度高问题将大大降低接收性能。为了改进Capon波束形成的性能，这些通过稀疏波束图整形的方法限制波束图中阵列增益较大的元素个数，同时鼓励较大的阵列增益集中在波束主瓣中，从而达到降低旁瓣水平同时，提高主瓣中阵列增益水平，降低角度失匹配的影响。例如，最大主瓣旁瓣能量比，混合范数法，最小全变差。[8-10]•成像•运用压缩传感原理,RICE大学成功研制了\单像素压缩数码照相机。设计原理首先是通过光路系统将成像目标投影到一个数字微镜器件(DMD)上,其反射光由透镜聚焦到单个光敏二极管上,光敏二极管两端的电压值即为一个测量值y,将此投影操作重复M次,得到测量向量,然后用最小全变分算法构建的数字信号处理器重构原始图像。数字微镜器件由数字电压信号控制微镜片的机械运动以实现对入射光线的调整。由于该相机直接获取的是M次随机线性测量值而不是获取原始信号的N(M，N)个像素值,为低像素相机拍摄高质量图像提供了可能.。•压缩传感技术也可以应用于雷达成像领域,与传统雷达成像技术相比压缩传感雷达成像实现了两个重要改进:在接收端省去脉冲压缩匹配滤波器;同时由于避开了对原始信号的直接采样,降低了接收端对模数转换器件带宽的要求.设计重点由传统的设计昂贵的接收端硬件转化为设计新颖的信号恢复算法,从而简化了雷达成像系统。•模拟信息转换•对于带宽非常高的信号,例如雷达和通信信号处理系统涉及的射频信号,根据香农采样定理,要获得完整的信号信息,所采用的模数转换器必须有很高的采样频率.然而由于传感器及转换硬件性能的限制,获得的信号的带宽远远低于实际信号的带宽,存在较大的信息丢失.对此Kriolos等设计了基于压缩传感理论的模拟/信息转换器，利用压缩传感理论中测量信息可以得到完整信号的原理,首先获得原始信号的线性测量,再利用后端DSP重构原始信号或直接计算原始信号的统计数据等信息。•生物传感•生物传感中的传统DNA芯片能平行测量多个有机体,但是只能识别有限种类的有机体,Sheikh等人运用压缩传感和群组检测原理设计的压缩传感DNA芯片克服了这个缺点。压缩传感DNA芯片中的每个探测点都能识别一组目标,从而明显减少了所需探测点数量.此外基于生物体基因序列稀疏特性,Sheikh等人验证了可以通过置信传播的方法实现压缩传感DNA芯片中的信号重构。展望•非线性测量的压缩感知。讲压缩感知解决的线性逆问题推广到非线性函数参数的求解问题。广义的讲，非线性测量的压缩感知，可以包括以前的测量矩阵不确定性问题，量化误差问题，广义线性模型问题，有损压缩样本问题。•压缩感知在矩阵分解中的推广应用。主成分分析，表示字典学习，非负矩阵分解，多维度向量估计，低秩或高秩矩阵恢复问题。•确定性测量矩阵的设计问题。随机矩阵在实用上存在难点。随机矩阵满足的RIP是充分非必要条件。在实际中，稀疏表示矩阵和随机矩阵相乘的结果才是决定稀疏恢复性能字典。[11]•传统压缩感知是以稀疏结构为先验信息来进行信号恢复。当前最新进展显示数据中存在的其他的简单代数结果也作为先验信息进行信号估计。联合开发这些信号先验信息，将进一步提高压缩感知的性能。