第7章压杆稳定

第7章压杆稳定7.1概述稳定性是指杆件保持其原有平衡形式的能力。物体的平衡分为：稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡细长轴向受压杆件FFcr时，稳定平衡F＝Fcr时，压杆的直线平衡形式由稳定过渡到不稳定,处于临界状态,称Fcr为临界力或临界载荷。FFcr时，不稳定平衡稳定失效、失稳或屈曲柱——主要承受轴向压缩载荷的杆件两端铰支的细长杆的临界力设杆在压力F下处于微弯平衡状态考虑x截面处，有轴力F力和弯矩7.2细长压杆的临界力kxCkxCxvvkxvEIFkFvxMxvEIFvxMcossin)(0)()()()(2122挠曲线近似微分方程令得Euler方程其通解为积分常数C1、C2和k为待定常数积分常数C1、C2由两端铰支边界条件确定7.2细长压杆的临界力压杆的临界力Euler公式)sin()(,)3,2,1,0(0sin00sin0)(00100)0(122211221lxnCxvlEInFlnEIFknnklklCklClvCCCvcr22lEIFcr例7-1一端固支，另一端简支的压杆，试求其临界力。解：假设压杆失稳时的挠曲线如图示。此时挠曲线的某点C为一拐点（弯矩为零），因此B处反力FBy的矢向指向左方。压杆距离A端x截面的弯矩为)()(xlFFvxMByxlFFvvEIByEIFk2xlEIkFkxCkxCvBy221cossin挠曲线微分方程为方程的通解为其中EIFk2xlEIkFkxCkxCvBy221cossin其中压杆的位移边界条件为：在x=0处，v=0，v=0在x=l处，v=0由方程的通解和上述三个条件，分析得例7-1一端固支，另一端简支的压杆，试求其临界力。0cossin,0,0212122klCklCEIkFkClEIkFCByBy关于未知数C1、C2和FBy的齐次方程组，且要求C1、C2、FBy有非零解，即方程组的系数行列式应为0例7-1正切曲线与从坐标原点画出的45斜直线相交，交点的横坐标即是上式的最小非零根kl＝4.493，于是00cossin101022klklEIkkEIkl由此得tankl＝kl22227.0493.4lEIlEIFcr不同约束下细长压杆临界力的Euler公式不同约束下压杆临界力求解方法1.解挠曲线近似微分方程，定边界条件，求Fcr。2.类比法，用前边结果，求Fcr。Euler公式的一般形式μl为有效长度，对不同约束压杆的长度因数μ不同22)(lEIFcr一端自由，一端固定＝2.0两端固定＝0.5一端铰支，一端固定＝0.7两端铰支＝1.0一端自由一端固支μ＝2两端铰支μ＝1一端铰支一端固支μ＝0.7两端固支μ＝0.5例7-2变截面悬臂式压杆，AB和BC两段的刚度分别为4EI和EI，试求其临界力。解：在F力作用下杆件微弯后，其C端挠度设为。挠曲线近似微分方程为压杆的位移边界条件为：在x=0处，v2=0，v2=0在x=l处，v1=在x=l/2处，v1=v2，v1=v222114,vFvEIvFvEI22222121,44kvkvkvkvkxCkxCv2cos2sin211kxCkxCvcossin432上两式的通解是引入符号k2＝F/(4EI)后上两式改写为上两式的通解是7.2细长压杆的临界力例7-2上两式的通解是齐次方程组(9)的C1、C2和有非零解，其系数行列式可定出积分常数C3＝0，C4＝－，于是kxvcos12可得出0)2/sin(sin2cos20)2/cos(cossin02cos2sin212121klklCklCklklCklCklCklC(9)0)2/sin(sin2cos2)2/cos(cossin02cos2sinklklklklklklklkl2)2/tan(tanklkllEIF23.14上式展开后化简，得到确定临界力的方程，故可利用试算法解出此方程的最小根是kl＝1.23，于是222281056lEIlEIFcr..故7.2细长压杆的临界力7.3临界应力总图7.3临界应力总图7.3.1Euler公式的适用范围定义：临界应力——在临界力作用下压杆横截面上的应力。2222222)/()()(ilElEiAlEIAFcrcril22EcrAIiPcrE22为压杆的惯性半径（对失稳弯曲中性轴的）定义：柔度（长细比）Euler公式Euler公式在弹性范围内适用PPPEE2柔度≥p时，称为大柔度杆，临界应力可用Euler公式计算则有7.3.2临界应力的经验公式，三类压杆A）大柔度杆，柔度大于或等于某个极限值p时，压杆将发生弹性屈曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正应力不超过材料的比例极限，这类压杆称为大柔度杆或细长杆。柔度≥p，临界应力可用Euler公式计算cr临界应力总图bacrbacrbacrbacrbacr7.3.2临界应力的经验公式，三类压杆B）中柔度杆，s≤p，利用直线型公式计算cr临界应力总图式中，a和b为与材料性能有关的常数(单位:MPa)，对塑性材料bacrbacrbacrbacrbacrbacrbassC）小柔度杆，s，此类杆件一般不发生屈曲（失稳）现象塑性材料σcr=σs，屈服破坏。脆性材料σcr=σb，脆断破坏。临界应力总图bacrbacrbacrbacrbacr7.3.2临界应力的经验公式临界应力总图bacrbacrbacrbacrbacrCcrba0211)123~0(,00668.02352cr另一种方法是将压杆分为细长压杆和非细长压杆，非细长压杆临界应力可用抛物线型经验公式计算a1和b1为与材料性能有关的常数。由上式算得的cr单位是MPa。例如Q235钢压杆在弹塑性阶段的临界应力公式是7.4压杆稳定条件与合理设计7.4.1压杆稳定条件][stcrcrstnFFn][stcrnFF安全系数法压杆工作稳定安全系数[nst]为规定稳定安全因数][)(][][)(][stcrstcrstnnAF][)()(stcrn定义:稳定因数（折减系数）为稳定因数法的稳定安全条件为或][)(])[(][APANst＝稳定许用应力[σst]=φ(λ)[σ]7.4.2稳定因数法折减系数法7.4压杆稳定条件与合理设计1.先计算柔度2.判断压杆类型，根据和3.选择适当公式计算Fcr或σcra)λλP细长杆Euler公式b)λsλλP中长杆直线型经验公式c)λλs短粗杆σcr=σs塑性材料σcr=σb脆性材料4.稳定计算PPEbassilbacrAlEIAFcrcr22)(压杆稳定计算步骤一、合理地选用材料–细长压杆的临界应力与材料的弹性模量E有关，E较大的材料会获得较大的临界应力，会提高压杆的稳定性。但是，由于各种钢材的弹性模量E相差不大，选择优质钢材与普通钢材相比，并不能提高压杆的稳定性。–非细长压杆的临界应力和材料的强度有关，选择强度较高的优质材料，会明显地起到提高压杆稳定性的作用。il22)(lEIFcr22EcrAIi7.4.3提高压杆稳定性的措施7.4压杆稳定条件与合理设计二、选择合理的截面形状由柔度的计算公式可以看出，提高截面惯性半径i的数值就能降低柔度的数值。在不增加截面面积的情况下，应将材料尽可能布置得远离形心，因而圆环形截面较实心圆截面合理；用四根角钢构成一个综合截面时，图a的方式较图b的方式更加合理。7.4压杆稳定条件与合理设计三．改善压杆的约束条件为降低压杆的长度系数，对于两端均有约束的压杆，两端固定压杆的长度系数小于两端铰支压杆，前者的稳定性明显高于后者。四．减少压杆的自然长度图a所示的长度为的两端铰支压杆，在其中点处增加一个铰支座，如图b所示，后者的柔度将是前者柔度的一半。例7-3一连杆，材料为Q235钢，承受的轴向压力为F＝120kN，取稳定安全因数nst＝2，试校核连杆的稳定性。解：设连杆在xy面内失稳，两端为铰支，长度系数＝1，此时截面以z轴为中性轴，惯性半径及长细比是3.5432.179401mm,32.173212/3zzzzilhbhbhAIi例7-3一连杆，材料为Q235钢，承受的轴向压力为F＝120kN，取稳定安全因数nst＝2，试校核连杆的稳定性。例7-3一连杆，材料为Q235钢，承受的轴向压力为F＝120kN，取稳定安全因数nst＝2，试校核连杆的稳定性。在xz面内失稳，曲柄销与滑块销的约束近于固支端，长度系数＝0.5，此时截面以y轴为中性轴，于是zyyyy..il.bAIi6122788050mm227321由于yz，故连杆在xz面内失稳先于在xy面内失稳，所以应以y来求临界力。因为y＝61123，所以用式(7-8)计算临界应力：cr＝235－0.00668×612=210MPastcrnFF63.21012025602103所以，满足稳定性要求。此例题中，如果要求连杆在xy和xz两平面内失稳时的临界力相等，就必须使y＝z亦即AIlAIlyz/5.0/1由于l1和l相差不多，上式近似为Iz≈4Iy，可见，为使连杆在两个方向抵抗失稳的能力接近相等，在截面设计时，应大致保持Iz≈4Iy这一关系。