概率论与数理统计教案第二章

1概率论与数理统计教学教案第二章随机变量及其分布授课序号01教学基本指标教学课题第二章第一节随机变量及其分布课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点随机变量的定义教学难点随机变量分布函数的运算参考教材高教版、浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题大纲要求理解随机变量的定义；理解分布函数的定义和性质；理解离散型随机变量和连续型随机变量的概念；熟练掌握随机变量分布函数的求解。教学基本内容一、基本概念：1、在随机试验E中，是相应的样本空间，如果对中的每一个样本点，有一个实数X与它对应，那么就把这个定义域为的单值实值函数XX称为（一维）随机变量。2、设X是一个随机变量，对于任意实数x，称函数xXPxF,x为随机变量X的分布函数。3、设E是随机试验，X为随机变量，若X的取值范围（记为X）为有限集或可列集，此时称X为（一维）离散型随机变量.4、若一维离散型随机变量X的取值为12,,,,nxxx，称相应的概率,1,2,iiPXxpi2为离散型随机变量X的分布律（或分布律）且满足（1）非负性01,2,ipi，；（2）正则性11iip..5、设E是随机试验，是相应的样本空间，X是上的随机变量，Fx是X的分布函数，若存在非负函数fx使得dxFxftt，则称X为（一维）连续性随机变量，fx称为X的概率密度函数，满足：（1）xxf,0；（2）1dxxf。二、定理与性质1、分布函数xF有如下性质：（1）对于任意实数x，有10xF，1lim,0limxFxFxx；（2）xF单调不减，即当21xx时，有21xFxF；（3）xF是x的右连续函数，即000limxFxFxx。2、连续型随机变量具有下列性质：（1）分布函数xF是连续函数，在xf的连续点处，xfxF；（2）对任意一个常数,,0ccPXc，所以，在事件aXb中剔除Xa或剔除Xb，都不影响概率的大小，即()()()()PaXbPaXbPaXbPaXb.注意的是，这个性质对离散型随机变量是不成立的，恰恰相反，离散型随机变量计算的就是“点点概率”。（3）对任意的两个常数,ab，baPaXbfxdx。三、主要例题：例1设一盒子中装有10个球，其中5个球上标有数字1，3个球上标有数字2，2个球上标有数字3。从中任取一球，记随机变量X表示为“取得的球上标有的数字”，求X的分布函数xF。例2设随机变量X的分布律为X-1023概率0.20.40.4求（1）-0.7PX；（2）X的分布函数Fx。例3设连续型随机变量X的密度函数为23010xxfx其他求（1）0.5PX，（2）X的分布函数Fx。授课序号02教学基本指标教学课题第二章第二节常用的离散分布课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点常用离散分布的分布律教学难点二项分布分布律的求解参考教材高教版、浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题大纲要求熟练掌握常用离散型随机变量分布律的构造及概率的求解教学基本内容一、基本概念：1，伯努利（Bernoulli）试验：设对一随机试验E，只关心某一事件A发生还是不发生，即该随机试验只有两种可能的试验结果：A和A，则称这样的随机试验叫伯努利（Bernoulli）试验.2，二项分布,Bnp：记随机变量X表示在n重伯努利试验中A事件发生的次数，则X的取值为0,1,2,,n，相应的分布律为：1,01,0,1,,.nkknPXkpppknk称随机变量X服从参数为,np的二项分布，记为,XBnp.3，01分布1,Bp：二项分布,Bnp中，当1n时1,XBp，即有11,01,0,1kkPXkpppk.44，泊松分布P：设随机变量X的取值为0,1,2,,,n，相应的分布律为,0,1,,!xPXxexx其中0.称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为XP.5，超几何分布,,HNMn：设有N件产品，其中有()MMN件是不合格品.若从中不放回地抽取()nnN件，设其中含有的不合格品的件数X取值为max(0,),,min(,)nMNnM，相应的分布律为,max(0,),,min(,)MNMknkPXkknMNnMNn则X服从参数为n，N和M的超几何分布，记为,,XHNMn，其中n，N和M均为正整数.6，几何分布()Gep：在伯努利试验中，记每次试验中A事件发生的概率为p.设随机变量X表示A事件首次出现时的试验次数，则X的取值为1,2,,,n，相应的分布律为11,01,1,2,,,kPXkpppkn称随机变量X服从参数为p的几何分布，记为~()XGep.7，负二项分布(,)NBrp:在伯努利试验中，记每次试验中A事件发生的概率为p.设随机变量X表示A事件第r次出现时的试验次数，则X的取值为,1,,,rrrn，相应的分布律为11,01,,1,,,1krrkPXkpppkrrrnr称随机变量X服从参数为,rp的负二项分布，记为~NB(,)Xrp.其中当=1r时，即为几何分布.二、定理与性质：1，泊松定理：在n重伯努利试验中，记A事件在一次试验中发生的概率为np，如果当n时，有nnp，则lim1!knkknnnnppekk．三、主要例题：例1某人向同一目标重复射击5次，每次命中目标的概率为0.8，求（1）此人能命中3次的概率；（2）此人至少命中2次的概率。5例2某课程有两种不同的考核方式。第一种，学生在一学期内要参加四次独立的小测验，每次测验的及格率为0.8，四次中至少要有三次及格，考核通过。第二种，学生只需在学期末参加一次期末考试，考核通过率也为0.8，试问哪种考核方式更受到学生的青睐？例3设随机变量X有分布律30,1,2,!kcPXkkk，求c的值，并求解2PX.例4设某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个投保人在一年内死亡的概率为0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，试求在未来一年中这1000个投保人中死亡人数不超过10人的概率．例5设~()XGep，则对任意正整数m和n，证明()()PXmnXmPXn授课序号036教学基本指标教学课题第二章第三节常用的连续分布课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点正态分布教学难点常用连续型随机变量概率求解参考教材高教版、浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题大纲要求熟练掌握常用连续型随机变量密度函数的构造及概率的求解教学基本内容一、基本概念：1、均匀分布设X为随机变量，对任意的两个实数,()abab，概率密度函数为1,,0,axbfxba其它，则称随机变量X服从区间,ab上的均匀分布，记为,XUab.2，均匀分布的分布函数若,XUab，则相应的分布函数为0,,,1,.xaxaFxaxbbaxb3、指数分布设X为随机变量，概率密度函数为e,0,00,xxfx其它，则称随机变量X服从参数为的指数分布，记为XE.4、指数分布的分布函数若XE，则相应的分布函数为0,01e,0.xxFxx由此得到，若XE，0ab，则eeabPaXb。75，正态分布设X为随机变量，概率密度函数为2221e,2πxfxx则称随机变量X服从参数为()和20的正态分布，记为2,XN.6，标准正态分布当0,1时，相应的正态分布称为标准正态分布，记为0,1XN.其概率密度函数和分布函数分别为221e,ˆ2πxfxxx22-1ˆed=()2πtxFxtxx二、性质1，若~0,1XN，则PaXbba；若2~,XN，则baPaXb.其中x的值，当0x时可从正态分布表直接查得；当0x时，可用公式xx1求得x的函数值.,2，标准正态分布的分位数：当~0,1X时，满足概率表达式()PXu..三、主要例题：例1设随机变量1,4XU，求（1）事件2X的概率；（2）Y表示对X作3次独立重复观测中事件2X出现的次数，求2PY.例2设随机变量XE，则对任意实数,0st，证明()()PXstXsPXt例3设随机变量0,1XN，借助于标准正态分布的分布函数表，求下列事件的概率（1）1.22=1.220.8888PX，（2）1.22=1-1.22=1-1.2210.88880.1112PXPX，8（3）1.22=1.2211.2210.88880.1112PX，（4）11.22=1.2211.22[11]PX=0.8888[10.8413]=0.7301（5）1.22=1.221.22=1.221.22PXPX。1.22[11.22]=0.8888[10.8888]=0.7776例4设随机变量1,4XN，借助于标准正态分布的分布函数表，求下列事件的概率（1）3-13-13=0.841322PX，（2）3-13=1-3=1-10.84130.15872PXPX，（3）313=1210.97720.02282PX，（4）311113=1[11]22PX=0.8413[10.8413]=0.6826（5）31313=33=22PXPX。1[12]=0.8413[10.9772]=0.8185例5设随机变量0,1XN，c为何值，满足=0.95PXc9授课序号04教学基本指标教学课题第二章第四节随机变量函数的分布课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点随机变量函数的分布构造教学难点连续型随机变量函数的密度函数求解参考教材高教版、浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题大纲要求熟练掌握随机变量函数的分布律或密度函数求解教学基本内容一、基本概念：1，一维离散型随机变量函数的分布设X为一维离散型随机变量，分布律为1,2,iiPXxpi，ygx为任一函数，则随机变量YgX的取值为1,2,igxi，，相应的分布律为:,1,2,ikkiikiiigxyPYyPXxgxypk.2，一维连续型随机变量函数的分布设X是一维连续型随机变量，fx为相应的密度函数，XgY的分布函数与概率密度函数求解的一般步骤：10（1）由随机变量X的取值范围X确定随机变量Y的取值范围Y；（2）对任意一个Yy，求出()dyyGFyPYyPgXyPXGf