2.1-平面向量的实际背景及基本概念

第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念1．了解平面向量的实际背景；2．掌握向量的几何表示；3．理解向量的有关概念；4．逐步培养学生观察、分析、综合和类比的能力和“知识重组”意识和“数形结合”能力.同学们都知道，数学是一门基础学科，是解决其它一些学科问题的有力工具.其实数学的很多理论是由其它学科的一些知识抽象而来的.成为理论后又反过来对其它学科起作用.比如同学们学习的物理，它与数学就有非常密切的关系.请同学们回忆在物理中学习过哪些既有大小又有方向的量？向量的物理背景与概念在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、力是既有大小又有方向的量，例如：物体受到的重力是竖直向下的（图2.1-1），物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图2.1-2），物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是向左的（图2.1-3），被压缩的弹簧的弹力是向右的（图2.1-4），并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大.我们可以对位移、力……这些既有大小又有方向的量进行抽象，形成一种新的量.这种量就是我们本章所要研究的——向量.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物理学中常称为矢量）.而把那些只有大小，没有方向的量如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等，称为数量,物理学中常称为标量.注意：数量与向量的区别，数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.向量的几何表示由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，而且不同的点表示不同的数量.对于向量，我们常用带箭头的线段——有向线段来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向.ABAB的长度，记作.有向线段：带有方向的线段叫有向线段.（如图）我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作,起点写在终点的前面.ABA（起点）B（终点）AB已知，线段AB的长度也叫做有向线段有向线段的三要素：起点、方向、长度.（知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就可以唯一确定.）③用字母，，等表示.abc向量的表示方法：几何表示：①用有向线段表示；字母表示：②用表示向量的有向线段的起点与终点字母表示如：;CDAB,问题1：“向量就是有向线段，有向线段就是向量.”的说法对吗？不对，①向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.ABABAB向量的长度（或称模）：向量的大小，也就是向量的长度（或称模）：记作.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作.0注意:与0的区别（及书写方法）.0②长度等于1个单位的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.例1如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km）.1:8000000AB解：表示A地至B地的位移，且AB240km.AC表示A地至C地的位移，且AC300km.相等向量与共线向量cba平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定与任一向量平行.0说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量平行，记作.cba,,cba////共线向量定义：平行向量也叫做共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量与相等，记作;abba（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定.问题2：两个向量是否可以比较大小？向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量、，或”这种说法是错误的.abbaba例2．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中与向量相等的向量.解：OACBDO;OAOBOC、、OBDCEO;OCABEDFO.1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相反的向量)不相等；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.ABCD(×)(×)(×)(×)2.下面几个命题：（3）若|a|=|b|，则a=b（2）若|a|=0，则a=0|a|=|b|a∥b（4）两个向量a、b相等的充要条件是（1）若a=b，b=c，则a=c.A．0B.1C.2D.3其中正确的个数是()（5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD是平形四边形的充要条件.CABCDFEM解：（1）DE、BF、FB、FA、AF、ED、MC（2）FB、AF、MC3.如图,D、E、F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形，请分别写出：（1）与CM模相等且共线的向量；（2）与ED相等的向量；4.在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？P零向量、单位向量概念：向量的概念:向量的表示方法：共线向量与平行向量关系：平行向量的定义：相等向量的定义：