人教版_数学_高一_必修一_1.3-7_一元二次不等式与分式不等式的解法.

含有一个未知数，且未知数最高次数为2的不等式。一元二次不等式的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。2axbxc2+axbxc2axbxc2axbxc常见形式：1,＞0(a＞0)2,＜0(a＞0)3,＞0(a＜0)4,＜0(a＜0)回顾：一元一次不等式的解法根据一次函数y=2x-8的图象，填空：当x时，y=0；当x时，y0；当x时，y0.解2x-80=444画图——求根——定范围1.已知函数y=x2-5x(1)画出函数的图像(2)当x取何值时，y=0;当x取何值是,y0;当x取何值时，y0?05xy25yxxyx0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象：1x2x02cbxax02cbxax21|xxxxx或21|xxxx大于取两边小于取中间a＞0，＞0画图——求根——定范围①由a的正负定开口画出对应函数y=ax2+bx+c的图象；对于ax2+bx+c0（a≠0）②求对应方程ax2+bx+c=0的根；③由不等式ax2+bx+c0的“不等号”选择x轴上方图象，写出对应的x的范围。(△)(a)②三个“二次”形式上的统一.例1：求不等式x2-4x+30的解集.【注】①化为一般式ax2+bx+c0(a≠0)；【练习】解不等式：（1）3x2-7x≤10（2）3x2+5x0(△)(a)求根——画图——定范围例2：求不等式4x2-4x+10的解集.②三个“二次”形式上的统一.【注】①化为一般式ax2+bx+c0(a≠0)；【练习】解不等式x2-x+10(△)(a)求根——画图——定范围判别式=b2-4ac000二次函数y=ax2+bx+c（a0）一元二次方程ax2+bx+c=0ax2+bx+c0的解集ax2+bx+c0的解集有两个相异的实根x1，x2x1x2有两个相等实根x1=x2没有实根{x|xx2或xx1}R{x|x1xx2}{x|x≠}ab2xyx1x2xyx1=x2xy(△)(a)求根——画图——定范围若ax2+bx+c=0（a0）有两不等实根x1x21、对于ax2+bx+c0（a0）,则取两边；2、不等式ax2+bx+c0解区间端点恰好是对应方程的根；对于ax2+bx+c0（a0）,则取中间.若方根有“一根”或“无根”，则用“图象法”解不等式，应注意“三个二次”形式上的统一..94.12的定义域求函数xxy2.若关于x的一元二次方程x2-(m+1)x-m=0有两个不等实根，求m的取值范围..b,312102.32axxbxax则的解集是若不等式-12-223230xx例：解不等式0322xx化正解一元二次不等式的基本步骤（2）求根——解对应一元二次方程；（3）定范围——根据对应的二次函数的大致图象及不等号的方向，写出解集.（1）化正——把二次项系数化成正数；；,02的取值范围为则实数的解集是若不等式探究：aRaxx41a对于不等式恒成立问题，主要考虑六条图象，通过交点数△和开口方向a去刻画.设数围对围22例:函f(x)=mx-mx-1.(1)若mx-mx-10的解集是φ,求m的取值范;(2)于x[1,3],f(x)-m+5恒成立,求m的取值范;]0,4[注：最高次项系数未定时,分”等于0”和”不等于0”两种情况.]3,1[,0643)21()(2xmxmxg即可时即可时恒成立时0)1(,00)3(,006,0gmgmm76m1.已知不等式＜0的解集为,求的解集.2xaxb21bxax＞0{x|2＜x＜3}2.已知一元二次不等式ax2＋bx+60的解集为{x│－2＜x＜3},求a－b的值.3.已知关于x的不等式＜0的解集为R，求实数m的取值范围21mxmx4.解关于x的不等式x2-8ax+7a2﹤0(a∈R)作业：1.求下列不等式的解集（1)＞15(2）＜0（3）（4）244xx2310xx90xx23540xx2131xx052cxax2.不等式的解集为,解不等式＜03.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2xcxa分式不等式定义•分子、分母都是整式，并且分母含有未知数的不等式叫做分式不等式.试解不等式：10.32xx分析：当且仅当分子与分母同号时，上述不等式成立.1x32x因此10,1320;xx或10,2320.xx不等式组(1)的解集是，不等式组(2)的解集是2(,)3(,1)所以，原不等式的解集为2(,1)(,).3试解不等式：分析：当且仅当分子与分母同号时，上述不等式成立，而两个数的商与积同号.因此，上述不等式可转化为10.32xx1x32x1320xx所以，原不等式的解集为2(,1)(,).3整式不等式试解不等式：10.32xx分析：当且仅当分子与分母同号时，上述不等式成立.1x32x1320xx•因此，上述不等式可转化为整式不等式解法比较分类讨论转化（化归）繁简需要解两个不等式组，再取这两个不等式组解集的并集通过等价转换，变成我们熟悉的、已经因式分解好了整式不等式C?思考：不等式的解所以，原不等式的解集为1032xx1032xx2,1,.3解：(1)(32)0xx320x•分式不等式•分式不等式的等价变形：)()(xgxf)()(xgxf0)(0)()(xgxgxf0f(x)·g(x)0，≥0练习.解下列不等式（1）0)1)(4(xx.（2）073xx.（3）0322322xxxx（4）、253xx1.4含绝对值的不等式解法先看含绝对值的方程|x|=2在数轴上表示如图：方程的解是:x=2或x=-2再看相应不等式|x|〈2与|x|〉2在数轴上表示如图：不等式|x|〈2的解集是：{x|-2x2}-202-202不等式|x|a(a0)的解集是{x|-axa}不等式|x|a(a0)的解集是{x|xa,或x-a}不等式|x|〉2在数轴上表示如下：不等式|x|〉2的解集是：{x|x-2}{x|x2}={x|x-2,或x2}-202例解不等式|x-500|≤5解：由原不等式可得-5≤x-500≤5各加上500，得495≤x≤505所以，原不等式的解集是{x|495≤x≤505}495500505练习：解下列不等式：(1)|x|5;(2)2|x|≤8;(3)|3x|12;(4)|x+4|9;(5)|x-2/3|1/3;(6)|x/2+1|≥2.Answer:(1){x|-5x5}(3){x|-4x4}(5){x|1/3x1}本页仅供参考