第九讲―点式空间群

第九讲空间群(I)：点式空间群复习：点对称操作、7种晶系、32种点群、14种布拉菲格子360o/n(n=1,2,3,4,6)1(E,L1)2(C2,L2)3(C3,L3)4(C4,L4)6(C6,L6)1(i,C)2(σ,P),m3(S65,Li3)4(S43,Li4)6(S35,Li6)++,+_,旋转轴，n旋转反演轴，n点对称操作1(E)2(C2)3(C3)4(C4)6(C6)1(i)2(σ),m3(S65)4(S43)6(S35)(C41,C42,C43,C44)(C61,C62,C63,C64,C65,C66)(C31,C32,C33)n=1n(iCn),Sn=σCn(σh,σv,σd)S4(43),S42(42),S43(4),S44(E)点对称操作!!!(C21,C22)S6,S62(C3),S63(i),S64(C32),S65,S66(E)35,34,33,32,31,36S3,S32(C32),S33(σh),S34(C3),S35,S36(E)65,64,63,62,6,66对称条件晶系特点四个三次轴三斜单斜正交四方三方六方立方1(E)或1(i)2(C2)或2(m)两个2(C2)或2(m)4(C4)或4(S43)3(C3)或3(S65)6(C6)或6(S35)a≠b≠c,≠≠a≠b≠c,==90o≠a≠b≠c,===90oa=b≠c,===90oa=b≠c,==90o,=120oa=b=c,===90oa=b=c,==菱形a=b≠c,==90o,=120o全对称点群12/mmmm4/mmm6/mmmm3m3m点群各符号的顺序晶系在国际符号中的位置123三斜单斜正交四方三方六方立方只用一个符号第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴2或2沿a2或2沿b2或2沿c4或4沿c2或2沿a和b2或2沿a±b3或3沿c2或2沿a、b和a+b6或6沿c2或2a、b和a+b3或3沿1112或2沿1102或2a、b和a+b2或2沿a、b和a+b4、4、2或2沿1001(L1)m(P)1(C)42m(Li42L22P)2(L2)2/m(L2PC)222(3L2)mm2(L22P)mmm(3L23PC)4(Li4)422(L44L2)4/mmm(L44L25PC)4mm(L44P)4/m(L4PC)4(L4)xyxyxy62m(Li63L23P)6(Li6)622(L66L2)6/mmm(L66L27PC)6mm(L66P)6/m(L6PC)6(L6)23(3L24L3)m3(3L24L33PC)432(3L44L36L2)m3m(3L44L36L29PC)3m(Li33L23P)3(L3)3m(L33P)32(L33L2)43m(3Li44L36P)3(Li3)xyxy32种点群及其点对称操作从旋转点群推导32种点群点群的熊夫利斯符号11种纯旋转群：123462223242262223432C1C2C3C4C6D2D3D4D6TO循环点群二面体点群立方点群11种中心对称点群：m3m3mS2C2hS6C4hC6hD2hD3dD4hD6hThOh12/m34/m6/mmmm3m4/mmm6/mmm10种新子群：m3m3m12/m34/m6/mmmm3m4/mmm6/mmmC1hS4C3hC2vC3vC4vD2dC6vD3hTdmmm2463m4mm42m43m6mm6m2推导32种点群的熊夫利斯方案熊夫利斯符号五种循环群Cn(5种)Cnh=Cn×{E,σh}(5种)Cnv=Cn×{E,σv}(4种,C1v=C1h)非真旋转Sn(3种，n=2,4,6)Dn=Cn×{E,C2[100]}(4种)Dnh=Cnh×{E,d}(4种)Dnd=S2n×{E,C2[100]}(n=2,3共2种)立方点群(无主轴）5种:T,Th,Td,O,Oh2223242262212346m2/m64/m6/mm2/m64/m6/mmm23m4mm6mmmmm6m24/mmm6/mmmmmm6m24/mmm6/mmm13413442m3m42m3m1(C1)m(C1h)1(Ci)42m(D2d)2(C2)2/m(C2h)222(D2)mm2(C2v)mmm(D2h)4(S4)422(D4)4/mmm(D4h)4mm(C4v)4/m(C4h)4(C4)62(D3h)6(C3h)622(D6)6/mmm(D6h)6mm(C6v)6/m(C6h)6(C6)23(T)m3(Th)432(O)m3m(Oh)3m(D3d)3(C3)3m(C3v)32(D3)43m(Td)3(S6)32种点群符号23(3L24L3)432(43,3L44L36L2)m3(2/m3,3L24L33PC)m3(2/m3,3L24L33PC)43m(3Li44L36P)43m(3Li44L36P)xy010111111111111100010100001110110110110011101101011xy010111111111111111111111100010010100100001110110110110110110110011101101101011011TThTdOOhTetragonalOctahedralyxXXyxxXXxyxyxy010111111111111100010100001110110110110011101101011xy010111111111111100010100001110110110110011101101011xy010111111111111111111111100010010100100001110110110110110110110011101101101011011m3m(4/m32/m,3L44L36L29PC)m3m(4/m32/m,3L44L36L29PC)点群各符号的顺序晶系在国际符号中的位置123三斜单斜正交四方三方六方立方只用一个符号第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴2或2沿a2或2沿b2或2沿c4或4沿c2或2沿a和b2或2沿a±b3或3沿c2或2沿a、b和a+b6或6沿c2或2a、b和a+b3或3沿1112或2沿1102或2a、b和a+b2或2沿a、b和a+b4、4、2或2沿100第八讲14种布拉菲格子旋转对称性晶系、参考轴初基P单胞(6)有心化新的点阵(有心8种)满足点阵条件+晶系不变P点阵中高对称位置加心(体心I,全面心F,单面心A,B或C双面心)14种布拉菲点阵旋转对称性六方格子特殊心菱形(三方)单胞ABXXXX双面心不满足点阵条件！三斜晶系单斜晶系三斜P单斜P单斜B单斜C=P不是新点阵单斜B=I=F=Ab轴为唯一轴:B=P，C=I=F=A正交P正交C正交I正交F正交晶系正交C=A=B≠P?立方P立方I,bcc立方F,fcc四方I四方P四方晶系立方晶系四方C=P≠A≠B四方F=I单面心破坏4个3次对称性！非点阵非点阵六方晶系三方菱形晶系六方P三方R底面心：正交侧面心：非点阵+c/2体心：非六方点阵+c/2(1/3,2/3,0)：P+2c/3+c/3±(1/3,2/3,2/3)：R有心化±(1/3,2/3,1/3)：R+2c/3+c/3abc正定向+c/3+2c/3abc反定向六角单胞有心化后，已不具有6次对称性，却导出有3次对称性的菱形初基单胞。R点阵可由两种轴系表示：R晶系、六角晶系a=b≠c,==90o,=120oa=b=c,==菱形R单胞有心化面心体心R单胞只有P格子不同轴长和轴间角点对称条件晶系点群四个三次轴三斜单斜正交四方三方六方立方1(E)或1(i)2(C2)或2(m)两个2(C2)或2(m)4(C4)或4(S43)3(C3)或3(S65)6(C6)或6(S35)布拉菲点阵PP,BP,C,I,FP,IPP,I,FP1(C1),1(Ci)m(C1h),2(C2),2/m(C2h)222(D2),mm2(C2v),mmm(D2h)42m(D2d)4(S4),422(D4),4/mmm(D4h),4mm(C4v),4/m(C4h),4(C4),3m(D3d)3(C3),3m(C3v),32(D3),3(S6),622(D6),6/mmm(D6h),6mm(C6v),6/m(C6h),6(C6),62(D3h)6(C3h),23(T),m3(Th),432(O),m3m(Oh)43m(Td),第九讲点式空间群空间群：所谓结晶学空间群就是能使三维周期物体（无限大晶体）自身重复的几何对称对称操作的集合，构成数学意义上的群。晶体宏观对称性是晶体结构（原子排列对称性）即微观对称的反映。晶体的宏观外形是作为一个连续整体来看的有限图形，而晶体的微观结构是不连续排列的原子在三维空间无限展开。宏观对称性的点群中对称要素必须交于一点，只有方向的概念。微观对称性中对称要素无须交于一点，要引入平移和位置的概念。点式空间群：由全部作用于同一个公共点上的对称操作完全确定，或者说仅由点对称操作和平移对称操作组合而产生。۞螺旋轴或滑移面不是其基本对称元素。۞点式空间群在单胞中一定至少有一个位置具有与空间群点群相同的位置对称性晶系点群布拉菲点阵73种点式空间群三斜单斜正交四方三方六方立方PPPPPPP1,1m,2,2/m222,mm2,mmm42m,4,422,4/mmm4mm,4/m,4,3m3,3m,32,3,622,6/mmm6mm,6/m,6,62m,6,23,m3,432,m3m43m,P1,P1Pm,P2,P2/mP222,Pmm2,PmmmP42m,P4,P422,P4/mmm,P4mm,P4/m,P4,P31m,P3,P3m1,P312,P3,P23,Pm3,P432,Pm3mP43m,Bm,B2,B2/mC222,Cmm2,Cmmm,I222,Imm2,ImmmF222,Fmm2,FmmmAmm2BCIFIP4m2I42m,I4,I422,I4/mmm,I4mm,I4/m,I4,I4m2RR3mR3,R3m,R32,R3,P321,P3m1P31m,P6m2,P6,P622,P6/mmm,P6mm,P6/m,P6,P62mIFI23,Im3,I432,Im3mI43m,F23,Fm3,F432,Fm3mF43m,六方晶系42m(Li42L22P)62m(Li63L23P)6m2(Li63P3L2)4m2(Li42L22P)xyxyxyxyxyxy30o45o三方晶系3(L3)xyxy3m(L33P)xyxyxyxy32(L33L2)xyxy3(L3C)xyxy3m(L33L23PC)3m131m3213123m131m晶系点群布拉菲点阵73种点式空间群三斜单斜正交四方三方六方立方PPPPPPP1,1m,2,2/m222,mm2,mmm42m,4,422,4/mmm4mm,4/m,4,3m3,3m,32,3,622,6/mmm6mm,6/m,6,62m,6,23,m3,432,m3m43m,P1,P1Pm,P2,P2/mP222,Pmm2,PmmmP42m,P4,P422,P4/mmm,P4mm,P4/m,P4,P31m,P3,P3m1,P312,P3,P23,Pm3,P432,Pm3mP43m,Bm,B2,B2/mC222,Cmm2,Cmmm,I222,Imm2,ImmmF222,Fmm2,FmmmAmm2BCIFIP4m2I42m,I4,I422,I4/mmm,I4mm,I4/m,I4,I4m2RR3mR3,R3m,R32,R3,P321,P3m1P31m,P6m2,P6,P622,P6/mmm,P6mm,P6/m,P6,P62mIFI23,Im3,I432,Im3mI43m,F23,Fm3,F432,Fm3mF43m,非点式对称操作۞螺旋轴：11种，21；31、32；41、42、43；61、62、63、64、65۞滑移面：a、b、c；n；d点对称操作：r’=Rrr’=x’a+y’b+z’cr=xa+yb