《经济数学――微积分》10-3

一、微分方程在经济中的应用二、小结第三节一阶微分方程在经济学中的综合应用一、分析商品的市场价格与需求量(供应量)之间的函数关系例1某商品的需求量x对价格p的弹性为3lnp.若该商品的最大需求量为1200(即p=0时，x=1200)(p的单位为元，x的单位为公斤)试求需求量x与价格p的函数关系，并求当价格为1元时市场上对该商品的需求量.解3lnpdpdxxp由已知3lnxdpdx即分离变量解此微分方程dpxdx3ln两边积分得Cpxln3lnln3lnpCex12001200,0Cxp得，再由px31200)(4003120011公斤的需求量为元时，市场上对该商品当价格为x例2设某种商品，它的价格主要由供求关系决定，设供给量S与需求量D均是依赖于价格的线性函数),,,(为常数dcbadpcDbpaS,当供求平衡时，平衡价格dbcap，显然当供大于求即DS时，则价格p下降；当求大于供即SD时，则价格p上升.现若价格是时间t的函数p=p(t)，在时间t时，价格的变化率与此时刻的过剩需求量D-S成正比，即)(SDdtdp，其中α为大于0的常数，试求价格p与时间t的函数关系.(设初始价格0)0(pp)解)(SDdtdp由已知pdbcabpadpcdtdp)()()(即)()(capdbdtdp即))(()()(cdtetqepdttpdttp其通解为)()(),()(catqdbtp这里tdbtdbtdbeedbcacep)(α)(α)(α)(α)(α所以0pcedbcacetdbtdb)()(ppcpp00)0(代入上式，得由的函数关系为与时间故所求价格tppeppptdb)(0)(.,,即价格趋于平衡价格显然当ppt例3(逻辑斯谛曲线)在商品销售预测中，时刻t的销售量用x=x(t)表示，如果商品销售的增长速率dttdx)(正比于销售量x(t)及与销售接近饱和水平的程度)(tx之乘积(为饱和水平)求销售量函数x(t).解：程据题意，可建立微分方为比例因子其中ktxtkxdttdx)),()(()(kdttxtxtdx))()(()(:分离变量0txakdttdxtxtx)()(α1)(1α1)(α)()(ln11为任意常数CCkttxatx)()()(221为任意常数CeCetxtxktCkt从而可得通解为)(11)(22为任意常数CCeeCeCtxktktkt例4在某池塘内养鱼，由于条件限制最多只能养1000条.在时刻t的鱼数y是时间t的函数y=y(t)，其变化率与鱼数y和1000-y的乘积成正比.现已知池塘内放养鱼100条，3个月后池塘内有鱼250条，求t月后池塘内鱼数y(t)的公式.问6个月后池塘中有鱼多少？解：250,100),1000(30ttyyykydtdy由已知解此微分方程二、分析产量、收入、成本及利润之间的函数关系ktceyy10001000代入得将250,10030ttyykcec30002501000250100100010030003ln,91kC解得关系为月后鱼数与时间的函数即t33911000tyy333931000tty即个月后鱼塘中鱼数当放养6)(500393100022条y例5已知某厂的纯利润L对广告费x的变化率与常数A和纯利润L之差成正比，当x=0时L=Lo.试求纯利润L与广告费x之间的关系.解：00)(LLLAkdxdLX由题意列出方程两边积分分离变量,kdxLAdL)1(,ln)ln(11CCCeLACkxLAkx其中kxCeAL000LACLLx解得由初始条件函数关系为所以纯利润与广告费的kxeLAAL)(0例6某商场销售成本y和存储费用s均是时间t的函数，随时间t的增长,销售成本的变化率等于存储费用的倒数与常数5的和；而存储费用的变化率为存储费用的31，若当t=0时，销售成本y=0，存储费用S=10.试求销售成本与时间t的函数关系及存储费用与时间t的函数关系.解：SdtdSSdtdy3151由已知)2()1(得解)2(10100.3cStceSt解出时由的函数关系为于是存储费用与时间t310teS得将上式代入方程)1(51013tedtdy解此方程得000,5103113cytcteyt解出时由的函数关系为即销售成本与时间t.51033teyt例7在宏观经济研究中，发现某地区的国民收入y，国民储蓄S和投资I均是时间t的函数.且储蓄额S为国民收入的101(在时刻t)，投资额为国民收入增长率的31.若当t=0时，国民收入为5(亿元)，试求国民收入函数(假定在时刻t储蓄额全部用于投资).解：dtdyIyS31,101由已知dtdyyIS31101有当三、关于国民收入、储蓄与投资关系解此微分方程得550103cytceyt得时由tey1035即国民函数为为而储蓄函数和投资函数teIS10321例8某地区在一个已知的时期内国民收入y的增长率为101，国民债务D的增长率为国民收入的201，若t=0时，国民收入为5(亿元)，国民债务为0.1(亿元).试求国民收入及国民债务与时间t的函数关系.解：101dtdy由已知cty101所以得国民收入函数四、关于国民收入与国民债务问题，于是国民收入函数为得时由550cyt5101ty)5101(201201tydtdD又由已知12414001cttD解此方程得，故国民债务函数为得时由1.01.001cDt1014140012ttD例9某地区考察消费-投资-收入的关系时，得知消费、投资均是收入的线性函数，而收入对时间的变化率正比于过度需求.若111,,yIC分别表示在时刻t时，消费、投资、收入与它们各自均衡值yIC,,的偏差.若由统计资料分析得知)(21,41,3111111111yICdtdyyIyC，当t=0时，30y(亿元).若此地区流动收入的均衡值5y(亿元),试求流动收入函数.五、关于流动收入、流动消费和流动投资问题解：yyyyy10,5,3且于是流动函数为teyyyy)(0)(te)14131(21)53(5te24525)(21,41,3111111111yICdtdyyIyC)(751.410亿元时，则流动收入yt)(5亿元时，流动收入显然当yt)7128.2(e这里取)(2949.45,亿元时，则流动收入若此题中yt例10设在冷库中存储的某蔬菜有A(吨)，已发现其中有些开始腐败，其腐败率为未腐败的倍)10(，设腐败的数量为x(吨)，则显然它是时间t的函数，试求此函数.解：)(xAdtdx由解此微分方程得六、关于商品存储过程中的基本衰减问题dtxAdxtcexAλ即ACxt代入得时，00的函数关系为腐败数量与时间t)1(λteAx例11关于汽车维修成本问题某汽车公司在长期运营中发现每辆汽车的总维修成本y随汽车大修的时间间隔x的变化率等于总维修成本的2倍与大修的时间间隔之比减去常数81与大修时间间隔的平方之比.已知当大修时间间隔x=1(年)时，总维修成本y=27.5(百元).试求每辆汽车的总维修成本y与大修的时间间隔x的函数关系，并问每辆汽车多少年大修一次，可使每辆汽车的总维修成本最低？解：2812xxydxdy由已知七、在其他方面的应用2812xyxdxdy改写为代入通解公式)81(222Cdxexeydxxdxx)27(3ln2Cxeyx即：)27(32Cxx227Cxx215.271Cyx，解出时又由的函数关系为与大修的时间间隔即总维修成本xy22127xxy30272xxxy解得令.3,01543有最小值时，故因yxxy.3最低成本年大修一次可使总维修即每辆汽车例12某汽车公司的小汽车运行成本y及小汽车的转卖值S均是时间t的函数.若随时间的增长，小汽车的运行成本的变化率及转卖值的变化率分别为：SdtdSSdtdy31;2.已知t=0时y=0，而转卖值S=4.5(万元/辆).试求小汽车的运行成本及转卖值各自与时间的关系.解：SdtdSSdtdy312由已知)2()1(得解微分方程)2(5.45.40,3CStCeSt，得时由的函数关系为与时间汽车转卖值tS35.4teS得将此式代入方程)1(394tedtdy解此方程得1334Ceyt得时由00yt341C的函数关系为与时间即汽车运行成本ty).1(343tey例13关于消费者的收入与消费需求的关系问题：xy，消费者的收入为设消费者的需求量为dxdyyxxxdxydyx)(,)(即入的弹性为则需求量对消费者的收为平均弹性称于是有xxxdxxxydy)(ε)(ε,)(εdxxydy)(则解此微分方程得：为定常数若平均弹性)(xxcey为定常数若弹性函数)(xdxxydy:则有.cxy解此微分方程得：.3,15.0.时的消费需求量人收入为数关系，并求消费者个之间的函与个人收入求消费需求量费需求量时，消，且当消费者收入为比的平均弹性为率之对消费者个人收入增长测算：消费需求增长率经有关费者的个人收入条件下，需求量只与消时，发现在价格稳定的量如某地区研究消费需求xyeyxxy解：xceydxydy5.0,5.0有由,c1eeyx有：时，由:的函数关系为与个人收入即需求量xyxeey5.04.7,35.1eeyx时当.4.73时，消费需求约为即当消费者个人收入为二、小结1.理解函数关系；2.建立微分方程；3.确定初始条件；4.求解.掌握一类经济问题建立数学模型的方法：1、某商品的价格由供求关系决定，若供给量S与需求量D均是价格p的线性函数：pDpS431,若价格p是时间t(年)的函数。且已知在时刻t时，价格p的变化率与过剩需求D-S成正比，比例系数为2，试求价格p与时间t的函数关系，(设初始价格20p元时)，并问当t=0.3时价格应为多少？练习题2、已知商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数bppSSpapDD)(,)(2(a0,bo为常数)，价格p是时间t的函数且满足方程)()(pSpDKdtdp(K为正常数)且t=0时p=1试求：(1)需求量等于供给量时的均衡价格ep；(2)价格函数)(tp；(3)求)(limtpt。3、设市场上某商品的需求函数与供给函数分别为pppQd410和pppQs10522初始条件为21,500ttpp。试求在市场均衡条件sdQQ下该商品的价格函数)(tpp。4、已知需求的价格弹性21QE又当Q=0时p=100，试确定价格函数即将价格p表为需求Q的函数。5、某商场的销售额y随广告费x增加的增长率等于常数20减去广告费x，已知x=0时销售额y=25(万元)，试求销售额y与广告费x之间的关系，并求广告费x为多少万元时可获得最大销售额，最大销售额为多少万元？6、某经济开发区在分析过去活动的基础下，预计未来计划期内时刻t的国民储蓄额S为国民收入额y的0.20倍，而投资额正比于国民收入的增长率，比例系数为1，若当t0时，国民收入为3(亿元)，试求国民收入函数。并计算5年后国民收入为多少亿元?(假定时刻t的储蓄额全部用于投资)7、若某地区国民收