第七章(模态逻辑)课件

第七章模态逻辑第一节模态逻辑概述要点：模态及其种类模态命题及其特性模态逻辑及其范围模态与模态逻辑模态是英文modal的音译，源于拉丁词modalis,具有形态、样式等含义．模态是指客观事物或人们认识的存在和发展样式、情状、趋势等。模态逻辑研究含有模态词的命题的逻辑特性及其推理关系．模态的种类客观模态与主观模态逻辑模态与非逻辑模态狭义模态与广义模态客观模态与主观模态•客观模态是指客观事物本身的存在样式、情状和趋势等．例如“汽车速度必然不超过光速”等，这种命题所表达的都是客观事物存在的必然性或可能性，是客观事物在其发展过程中必定遵循的规律或可能显示出来的趋向．•主观模态是指人的认识中的确定性或不确定性．例如，“地球上可能来过外星人”等，这种命题所表达的都是不可改变的客观事实，只是说话者对这些事实可能确实把握，也可能把握不准．逻辑模态与非逻辑模态•逻辑模态是指逻辑上的必然性或可能性．如“２＋２＝５或者２＋２≠５是必然的”．逻辑上的必然性是指否定一个具有必然性的命题，必然会引起逻辑上矛盾．逻辑上的可能性是指逻辑上的不矛盾性，一切逻辑上不矛盾的东西都是可能的．如“太阳可能每天从西方升起”．•非逻辑模态是逻辑模态之外的模态，包括物理的模态、生物的模态和哲学的模态等．如“物体的速度必然不会超过光速”就是物理的模态，“人必然不能举起1万公斤的重物”则是生物的模态。狭义模态和广义模态•狭义模态是关于必然性与可能性等这类性质的模态，又称为真性模态(AlethicModality)，是关于真的性质的模态。通常所说的模态逻辑是关于狭义模态的模态逻辑。•广义模态是关于应该、允许、禁止等的道义模态，关于知道、相信等的认知模态，相应地有道义逻辑、认知逻辑等。模态的分类逻辑模态客观模态物理的非逻辑模态生物的哲学的狭义模态主观模态模态道义模态广义模态认知模态时间模态模态命题及其特性•模态命题是指，一个命题的断定中还含有模态的内容．否则称为非模态命题．•模态命题具有非真值函性．即由各种命题联结词联结原子命题所形成的复合命题的真值，是由组成该命题的原子命题的真值所惟一决定的。但是，含有模态词的命题的真值并不由其中的非模态命题的真值所完全决定。这一性质叫做非真值函项性，或者叫做内涵性。模态命题形式•命题形式是在一个命题中抽出某些内容后，只保留其位置的框架，包括代表那些具体内容的位置(即变项)以及联结这些位置的部件(即常项)。•模态命题形式也称命题的模态形式．一般地，对于任意命题，如果我们考虑到模态，并在有这部分内容时给出相应的形式表达，那么所得到的命题形式就是命题的模态形式。模态逻辑的范围•模态有广义和狭义的区分，模态逻辑相应地也有广义和狭义之别。•狭义模态逻辑，也称真性模态逻辑，是关于必然性和可能性的逻辑，或者说，是关于含有模态词“必然”、“可能”的命题及其推理的逻辑科学。通常说的模态逻辑就是狭义模态逻辑。•广义模态逻辑是关于各种广义模态词的逻辑，具体来说包括道义逻辑、认知逻辑、时态逻辑等。我们这里仅限于介绍模态逻辑和道义逻辑两个分支。而且，由于模态谓词逻辑和道义谓词逻辑比较复杂，所以，我们的考察也仅限于模态命题逻辑和道义命题逻辑。第二节模态命题及其推理要点：模态命题及其符号化基本模态命题推理复合模态命题推理直言模态命题推理模态命题的真值条件模态三段论模态命题•模态命题是真性模态命题的简称，它是反映事物情况存在的必然性和可能性等的命题。例如，“经济过热必然导致通货膨胀”“其他星球可能有人存在”•模态命题包含“必然”、“可能”等模态词。其中，包含“必然”的模态命题叫必然命题，包含“可能”的模态命题叫可能命题。•必然命题和可能命题都有肯定和否定的情况。基本模态命题必然肯定命题必然命题必然否定命题基本模态命题可能肯定命题可能命题可能否定命题必然肯定命题定义必然肯定命题是断定事物情况必然存在的命题。如，“生物体必然要进行新陈代谢”。逻辑形式：必然p“必然”可以用符号“□”来表示。所以，必然肯定命题的逻辑形式可以进一步写为：□p。必然否定命题定义必然否定命题是断定事物情况必然不存在的命题。如，“客观规律必然不以人的意志为转移”。逻辑形式：“必然非p”。也可以写为：□p。可能肯定命题定义可能肯定命题是断定事物情况可能存在的命题。如，“长期大量吸烟可能致癌”。逻辑形式：可能p。“可能”可以用符号“◇”来表示。所以，可能肯定命题的逻辑形式可以进一步写为：◇p。可能否定命题定义可能否定命题是断定事物情况可能不存在的命题。如，“强盗的儿子可能不是强盗”。逻辑形式：可能非p。也可以进一步写为：◇p。复合模态命题•对于基本模态命题来说，模态词只加在一个原子命题或其否定之上。其实，模态词还可以加在一复合命题之上，而且模态命题本身也可以用命题联结词并非()、析取(∨)、合取(∧)、蕴涵(→)、等值()等联结起来，构成更为复杂的命题。［思考］如何对下列命题进行符号化？(1)科学不可能是一个人的事业。(2)如果生物必然有死，那么生物不可能长生不死。(3)必然如果物体受到摩擦，那么它们就会生热。(4)液体沸腾原因可能是温度升高，也可能是压力下降。［分析］上述命题可分别符号化为：(1)◇p(2)□p→◇p(3)□(p→q)(4)◇p∨◇q叠置模态命题叠置模态命题是指对一个已含有模态词的命题再加上模态词。如，（１）永动机不可能制造出来是必然的。（２）张三不可能必然是小偷。上述命题可分别符号化为：(5)□◇p(6)◇□p基本模态命题之间的对当关系定义具有相同素材即具有相同命题变项的四种基本模态命题□p、□p、◇p、◇p之间在真假方面存在着必然的制约关系，即基本模态命题之间的真假对当关系。它包括矛盾关系、反对关系、下反对关系和从属关系。模态方阵四种基本模态命题□p、□p、◇p、◇p之间的真假对当关系，可以用一个正方图形来表示，这个正方图形叫做模态方阵。模态方阵图•□p反对□p•矛盾•从从•属属•矛盾•◇p下反对◇p••矛盾关系•存在于□p与◇p之间、□p与◇p之间。•具有矛盾关系的命题之间不能同真也不能同假，即当一个命题真时另一个命题假，当一个命题假时另一个命题真。[思考]张飞和李柏今年都报考了MBA，关于他们的考试有如下四个断言：（1）他们俩人至少有一个考上；（2）张飞并不必然考上；（3）李柏确实考上了；（4）并非张飞可能没考上。最后录取结果表明：这四个断言中有两个是真的，两个是假的。下面哪一个结果可以从上述条件推出：A．张飞考上了，李柏没考上。B．张飞和李柏都考上了。C．张飞和李柏都没考上。D．李柏考上了，张飞没考上。[分析]题干中的条件（2）“张飞不必然考上”和（4）“并非张飞可能没考上”之间具有矛盾关系，必然有一个是真的，一个是假的。“并非可能没考上”的意思就是“必然能够考上”。所以，条件（1）“张飞和李柏至少有一人考上”和（3）“李柏确实考上了”之间也必然有一真一假。这里，如果（3）是真的，则（1）也必然是真的。所以，（3）不能是真的，必然是假的。即李柏没考上，张飞考上了。所以,正确答案是A.反对关系•反对关系存在于□p与□p之间。•具有反对关系的命题之间不能同真，可以同假，即当一个真时另一个必假，当一个假时另一个真假不能确定。下反对关系•下反对关系存在于◇p与◇p之间。•具有下反对关系的命题之间不能同假，可以同真，即当一个假时另一个必真，当一个真时另一个真假不能确定。从属关系•从属关系存在于□p与◇p之间、□p与◇p之间。•具有从属关系的模态命题可以同真可以同假，即当必然命题真时可能命题一定真，当可能命题真时必然命题不能确定真假；当可能命题假时必然命题一定假，当必然命题假时可能命题不能确定真假。•如果再将实然命题考虑进来，模态方阵还可拓展为模态六角阵图。模态六角阵图□p反对□p从矛盾从属从从属p非p从属矛盾属从属属◇p下反对◇p模态六角阵图中的其他从属关系□p与p之间、p与◇p之间、□p与p之间、p与◇p之间都存在着从属关系.即•当必然命题真时实然命题一定真，当实然命题真时可能命题也一定真；•当可能命题假时实然命题一定假，当实然命题假时必然命题一定假；•当必然命题假时实然命题真假不能确定，当实然命题假时可能命题真假不能确定；•当可能命题真时实然命题真假不能确定，当实然命题真时必然命题真假不能确定。基本模态命题推理•矛盾关系推理•反对关系推理•下反对关系推理•从属关系推理矛盾关系推理根据矛盾关系，可以得到下列等值式(“”表示可以相互推出,带星号者为基本公式)：(1)□p◇p*(2)□p◇p(3)◇p□p*(4)◇p□p从属关系推理根据从属关系，可以得到下列推理形式：(5)□p→◇p*(6)□p→p*(7)p→◇p*(8)□p→◇p(9)□p→p(10)p→◇p(11)◇p→□p(12)◇p→□p反对关系推理根据反对关系，可以得到以下推理形式：(13)□p→□p(14)□p→□p下反对关系推理根据下反对关系，可以得到以下推理形式：(15)◇p→◇p(16)◇p→◇p基本模态命题推理公式的归约上述16个推理形式中，(1)、(3)、(5)、(6)、(7)可以被看成是最基本的，这些公式在现代模态逻辑系统中都被当作特征公理或重要定理。•公式(2)和(4)可分别通过运用假言易位规则而归结为(3)和(1)；•公式(8)、(9)、(10)可分别通过运用代入规则，即用p代入p而归结为(5)、(6)、(7)；•公式(11)和(12)可分别通过运用假言易位规则而归结为(5)和(8)；•公式(13)和(14)可分别通过运用等值置换规则，即分别运用(3)和(4)两个等值式对(13)和(14)进行置换而归结为(5)和(8)；•公式(15)和(16)可分别通过运用等值置换规则，即分别运用(1)和(2)两个等值式对(15)和(16)进行置换而归结为(8)和(5)。模态词□和◇的相互定义对于等值式(1)和(3)，可以分别看成是借助否定号对模态词□和◇的相互定义，可以分别用Df□和Df◇来称呼(Df是definition的缩写)。于是我们有(＝df的意思是“定义为”，相当于等值符号“”)：Df□：□p=df◇pDf◇：◇p=df□p模态词⊙（“偶然”）的定义这里，如果再用符号“⊙”表示模态词“偶然”，则⊙可借助于□或◇来定义，称为Df⊙。于是我们有：Df⊙：⊙p=df□p∧□pDf⊙：⊙p=df◇p∧◇p意思是：p是偶然的，当且仅当p不是必然的而且非p也不是必然的；或者，p是偶然的，当且仅当p是可能的而且非p也是可能的。D、T、T◇公式对于蕴涵式(5)、(6)、(7)，模态逻辑中分别称为D、T、T◇公式，这些公式在直观上都是成立的。它们是：D：□p→◇pT：□p→pT◇：p→◇pDc、Tc、Tc◇一般地，(5)、(6)、(7)的逆在直观上是不成立的，这三个在直观上不成立的公式分别称为Dc、Tc、Tc◇，即•Dc：◇p→□p意思是，若p是可能的，那么p是必然的。即可能性就是必然性。•Tc：p→□p意思是，若p是现实的，那么p是必然的。即凡是现实的都是必然的。•Tc◇：◇p→p意思是，若p是可能的，那么p是现实的。即凡可能的都会变为现实。复合模态命题推理复合模态命题推理的情况比较复杂，这里介绍１０个主要的复合模态命题推理．(1)□(p→q)→(□p→□q)该蕴涵式常被称为K公式。其意思是说，如果p蕴涵q是必然的，那么若p是必然的，那么q也是必然的。(2)(□(p→q)∧□p)→□q该蕴涵式是K公式的变形。意思是：若p蕴涵q是必然的，并且p是必然的，那么q也是必然的。•(3)(□(p→q)∧□q)→□p该蕴涵式是说，如果p蕴涵q是必然的，并且非q是必然的，那么非p是必然的。(4)(p⇒q)□(p→q)该等值式是对严格蕴涵模态词“⇒”的定义。其意思是：p必然蕴涵q，当且仅当p蕴涵q是必然的。(5)□(p→q)◇(p∧q)该等值式是对必然蕴涵命题的定义。其意思是：p蕴涵