第十五章 第3讲 离散型随机变量及分布列 【更多关注@高中学习资料库 加微信：gzxxzlk做每日一

考纲要求考纲研读1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．3．了解条件概率和两个事件相互独立的概念.处理有关离散型随机变量的应用问题，关键在于根据实际问题确定恰当的随机变量，并明确随机变量所有可能的取值．离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．注意应用概率之和为1这一性质检验解答是否正确.第3讲离散型随机变量及分布列1．随机变量(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η…表示．离散(2)所有取值可以一一列出的随机变量称为____型随机变量．(3)随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做_____型随机变量.连续2．离散型随机变量的分布列一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时为了表达简单，也用等式______________________________表示X的分布列．P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，nXx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnX01P_______p3．离散型随机变量分布列的性质pi≥0(i＝1,2，…，n)(1)_____________________．(2)_____________________.4．常见的离散型随机变量的分布列(1)两点分布如果随机变量X的分布列为1－p其中0p1，称X服从_________，而称__________为成功概率．两点分布P＝p(x＝1)p1＋p2＋…＋pn＝1有X件次品，则随机事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝,(2)超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰k＝0,1,2，…，m(其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布，其分布列如下：X01…mPC0MCn－0N－MCnNCnMCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnNCkMCn－kN－MCnN(3)二项分布一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝______________(k＝0,1,2，…，n)．此时称随机变量X服从二项分布．记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．其分布列如下：X01…k…nPC0np0(1－p)nC1np1(1－p)n－1…Cknpk(1－p)n－k…Cnnpn(1－p)0Cknpk(1－p)n－k1．下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是()A.C.B.D.C3．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量x，则x所有可能取值的个数是()A．5B．9C．10D．252．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a13i，i＝1,2,3，则a的值为()A．1B.913C.1113D.2713DBξ678910P0.10.20.25x0.154．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：此射手“射击一次命中环数≥8”的概率为_____.好投进3个球的概率_____(用数值作答)．5．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球5次，恰0.7516解析：C35125＝516.考点1离散型随机变量的分布列的求法例1：从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．(1)记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；(2)记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解析：(1)记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A，基本事件总数n＝C15＋C25＋C35＋C45＋C55＝31.事件A包含的基本事件是{1,4,5}，{2,3,5}，{1,2,3,4}．事件A包含的基本事件数m＝3，所以p(A)＝mn＝331.(2)依题意，ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5.又p(ξ＝1)＝C1531＝531，p(ξ＝2)＝C2531＝1031，p(ξ＝3)＝C3531＝1031，p(ξ＝4)＝C4531＝531，p(ξ＝5)＝C5531＝131.故ξ的分布列为：ξ12345P53110311031531131从而E(ξ)＝1×531＋2×1031＋3×1031＋4×531＋5×131＝8031.【互动探究】1．某次选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；(2)该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望(注：本小题结果可用分数表示)．第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正解：方法一：(1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝45，P(A2)＝35，P(A3)＝25，∴该选手被淘汰的概率p＝P(A1＋A1A2＋A1A2A3)＝P(A1)＋P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)P(A3)＝15＋45×25＋45×35×35＝101125.(2)ξ的可能值为1,2,3，P(ξ＝1)＝P(A1)＝15；P(ξ＝2)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝45×25＝825；P(ξ＝3)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝45×35＝1225.∴ξ的分布列为ξ123P158251225∴E(ξ)＝1×15＋2×825＋3×1225＝5725方法二：(1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝45，P(A2)＝35，P(A3)＝25.∴该选手被淘汰的概率P＝1－P(A1A2A3)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)＝1－45×35×25＝101125.(2)同方法一．考点2超几何分布例2：从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛．(1)求参加辩论比赛的4人中有2名女生的概率；(2)设ξ为参加辩论比赛的女生人数，求ξ的分布列及数学期望．解题思路：ξ可能取值为0,1,2,3,4，分别求其对应概率，列表即可求得．解析：(1)P＝C25·C24C49＝1021.(2)ξ可能取值为0,1,2,3,4，P(ξ＝0)＝C45C49＝5126，P(ξ＝1)＝C35·C14C49＝2063，P(ξ＝2)＝C25·C24C49＝1021，P(ξ＝3)＝C15·C34C49＝1063，P(ξ＝4)＝C44C49＝1126.所求的分布列为：ξ01234P51262063102110631126∴E(ξ)＝0×5126＋1×2063＋2×1021＋3×1063＋4×1126＝11263.【互动探究】2．(2011年广东广州调研)某商店储存的50个灯泡中，甲厂生产的灯泡占60%，乙厂生产的灯泡占40%，甲厂生产的灯泡的一等品率是90%，乙厂生产的灯泡的一等品率是80%.(1)若从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，则它是甲厂生产的一等品的概率是多少？(2)若从这50个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，这两个灯泡中是甲厂生产的一等品的个数记为ξ，求E(ξ)的值．解：(1)方法一：设事件A表示“甲厂生产的灯泡”，事件B表示“灯泡为一等品”，依题意有P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.9，根据条件概率计算公式得P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.6×0.9＝0.54.方法二：该商店储存的50个灯泡中是甲厂生产的灯泡有50×60%＝30(个)，乙厂生产的灯泡有50×40%＝20(个)，其中是甲厂生产的一等品有30×90%＝27(个)，乙厂生产的一等品有20×80%＝16(个)，故从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡，它是甲厂生产的一等品的概率是P＝2750＝0.54.(2)ξ的取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝C223C250＝2531225，P(ξ＝1)＝C127C123C250＝6211225，P(ξ＝2)＝C227C250＝3511225.∴ξ的分布列为：ξ012P253122562112253511225∴E(ξ)＝0×2531225＋1×6211225＋2×3511225＝13231225＝1.08.概率都为—，某植物研究所分2个小组分别独立开展该种子的发芽考点3二项分布例3：已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的13实验，每次实验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次实验是失败的．(1)第一小组做了3次实验，记该小组实验成功的次数为X，求X的概率分布列及数学期望；(2)第二小组进行实验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．解析：(1)由题意，随机变量X可能取值为0,1,2,3，则X～B3，13，即P(X＝0)＝C03·1－133＝827，P(X＝1)＝C13·131·1－132＝49，P(X＝2)＝C23·132·1－131＝29，P(X＝3)＝C33·133＝127.∴X的概率分布列为：X0123P8274929127∴X的数学期望E(X)＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1.(2)第二小组第7次实验成功，前面6次实验中有3次失败，每次试验又是相互独立的，因此所求概率为P＝C36·133·1－133·13＝1602187.判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n次独立重复试验；②随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．【互动探究】3．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望E(ξ)．奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)＝P(B)＝P(C)＝16.P(A·B·C)＝P(A)P(B)P(C)＝16·562＝25216.(2)ξ的可能值为0,1,2,3，P(ξ＝k)＝Ck316k563－k(k＝0,1,2,3)．所以中奖人数ξ的分布列为：ξ0123P12521625725721216E(ξ)＝0×125216＋1×2572＋2×572＋3×1216＝12.易错、易混、易漏23．放回与不放回抽样的区别与联系例题：一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6.(1)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；(2)若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；(3)若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列．则所求概率为—.正解：(1)设先后两次从袋中取出球的编号为m，n，则两次取球的编号的一切可能结果(m，n)有6×6＝36种，其中和为6的结果有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种，536(2)每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率p＝C15C26＝13.所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为C23p2(1－p)＝3×13223＝29.(3)随机变量X所有可能的取值为3,4,5,6.所以，随机变量X的分布列为：P(X＝3)＝C33C36＝120，P(X＝4)＝C23C36＝320，P(X＝5)＝C24C36＝620＝310，P(X＝6)＝C25C36＝1020＝12.X3456P12032031012【失误与防范】此题