第四章 随机过程中的平稳过程

陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月第四章平稳过程4.1平稳过程的基本概念4.2平稳过程相关函数的性质4.3平稳过程的各态历经性4.4平稳过程的谱密度4.5平稳过程的谱分解4.6线性系统中的平稳过程陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月随机过程可分为平稳和非平稳两大类,严格地说,所有信号都是非平稳的,但是,平稳信号的分析要容易得多,而且在电子系统中,如果产生一个随机过程的主要物理条件在时间的进程中不改变,或变化极小,可以忽略,则此信号可以认为是平稳的.如接收机的噪声电压信号,刚开机时由于元器件上温度的变化,使得噪声电压在开始时有一段暂态过程,经过一段时间后,温度变化趋于稳定,这时的噪声电压信号可以认为是平稳的。陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月4.1平稳过程的基本概念1、严平稳过程定义4.4.1设随机过程{)(tX,Tt}，1t，2t，…，Ttn的任意τ，有),,,,,,(2121nnxxxtttF；),,,,,,(2121nnxxxtttF；则称{X(t),t∈T}为严(强、狭义）平稳过程，或称{X(t),t∈T}具有严平稳性。若对任意n，任意Ttttn,,21，以及使陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月严平稳过程的特点1）证严平稳过程)(tX的一维概率密度)(xtf；与t无关，二维概率密度仅与时间差有关，而与时间起点无关。),,(2121xxttf；21tt)()(xtfxtf；；若令t，得)()0()(xfxfxtf；；即一维概率密度)(xtf；与t无关。同理有一维分布函数也与t无关，即)0()(xFxtF；；一维对任意的τ，必有陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月对于二维概率密度，有证二维),,(2121xxttf；),,(2121xxttf；若令2t，得),,(2121xxttf；),0,(2121xxttf；),(21xxf；其中21tt同理),,(2121xxttF；),(21xxF；二维分布函数也仅与时间差有关，而与时间起点无关，即21tt陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月2）若严平稳过程存在二阶矩，则证（2）相关函数仅是时间差的函数：记（1）均值函数为常数：mtXEtm)]([)(21tt()(,)()RRstRts只对连续型的情况dxxtxftXEtm)()]([)(；mdxxxf)(陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月(,)[()()]RstEXsXt1212(,,)xxdFstxx；1212(0,,)xxdFtsxx；()XR()XRts其中ts陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月2、宽平稳过程定义2设随机过程{)(tX，Tt}，如果它满足：（1）)(tX是二阶矩过程；mtXEtm)]([)(（3）相关函数(,)Rst仅依赖ts，即(,)[()()]RstEXsXt()R则称{X(t),t∈T}为宽（弱、广义）平稳过程，简称宽平稳过程（2）均值函数为常数，即陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论(一、二阶矩)的范围内讨论问题，因此划分出广义平稳随机过程来。而相关理论之所以重要，是因为在实际中，一、二阶矩能给出有关平稳随机过程平均功率的几个主要指标，比如，如果随机过程如果代表噪声电压信号，那么在相关理论范围内就可以给出直流分量、交流分量，平均功率及功率在频域上的分布(我们将在后面讨论功率谱密度)等。另外，在电子系统中经常遇到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言，它的任意维分布都只由它的一、二阶矩来确定，广义平稳的正态随机过程必定是严格平稳的。因此，在实际中，我们通常只考虑广义平稳性，今后除特别声明外，平稳性指的是广义平稳。陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月当T为整数集注2注1严平稳过程不一定是宽平稳过程。平稳时间序列因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。或{tn，n=0,1,2,…}时则称)(tX为宽平稳过程也不一定是严平稳过程。因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间而推移。说明注3正态过程的严平稳与宽平稳是等价的。(定理4.4.1)陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月因为均值函数m(t)=m协方差函数即表示协方差函数仅依赖于τ，而与t无关，与相关函数相同。(,)cov[(),()]CttXtXt{[()()][()()]}EXtmtXtmt2{[()()][()][()]EXtXtmEXtmEXtm2),(mttR2()Rm()C注4利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程的平稳性。陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月例1设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布的随机变量。试问X(t)是否平稳？解、0}{}{)}({AtEtAEtXE212212121}{)}()({),(ttAEtttXtXEttRX所以X(t)是非平稳的。陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月例2且2(0,),1,2,kXNk解因为1,()[]0XnnmnEX2,0,(,)[}0XmnmnmnRmnEXXmn，，注在科学和工程中，例中的过程称为“白噪声”，它是实际中最常用的噪声模型。设{Xn,n=1,2,…}是相互独立同分布的随机变量序列，{,1,2,}nXn试讨论的平稳性。{,1,2,}nXn所以，是一个平稳随机序列。陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月例3其中T={1，2，…}，η是在[0，1]上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机序列的平稳性。)(tX解设随机序列{ttX2sin)(，Tt}，的密度函数为其它,010,1)(xxf所以02sin)]([10txdxtXE),(ttRtxdxxt2sin)(2sin1000021，当，当故)(tX是平稳随机序列。注该例中的过程是宽平稳的，但不是严平稳的陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月例4211{,1,2,}[}0,[]0()[]0,,(),,{,1,2,}(),}knkklkkkkjtkkkknXnEXEXXklEXXEXbbYtXetnYtt设是随机变量序列，，令是两两不相等的实数序列，试讨论{的平稳性。解11()[()]=0kkjtYkkjtkkmtEYtEXeEXe陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月()11[()]11[()]111(,)[()()](kllklkkjtjtYklkljttklkljttklkljkYkRttEYtYtEXeXeEXXeEXXebeR){(),}Ytt所以，具有平稳性。陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月例5{(),0}1poisson{(),0}0,(()1)(()1)1/2,{(),0}XttNtttPXtPXtXtt设是只取两个值的过程，其符号的改变次数是一参数为的过程且试讨论的平稳性。解11()[()]11022XmtEXt(,)[()()]{()()1}{()()1}XRttEXtXtPXtXtPXtXt陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月00()2()21kkPNkPNk00()2()21kkPNkPNk221002!21!kkkkeekk0!kkek2()XeeeR{(),0}Xtt所以，是平稳过程。陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月定理4.2.14.2平稳过程相关函数的性质1、相关函数的性质证221(0)[()]0XXREXtm）{(),0}()XXttR设是复平稳过程，则具有性质：222(0)[()()][()][()]0XXXREXtXtEXtDXtmm证2)()()XXRR()[()()]=[()()]()XXREXtXtEXtXtR陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月证由许瓦兹不等式得3)()(0)XXRR()|[()()]||()()|XREXtXtEXtXt112222()()EXtEXt1122(0)(0)XXRR(0)XR注说明相关函数()XR在0时取得最大值陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月证1212114)()1,,,,,,()0XnnnnklXklklRntttTRtt具有非负定性，即及复数，有1111()[()()]nnnnklXklklklklklRttEXtXt1111()()()()nnnnkkllkkllklklEXtXtEXtXt21()0nkkkEXt陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月推论4.2.121(0)[()]0XREXt）{(),0}()XXttR设是实平稳过程，则具有性质：2)()()XXRR3)()(0)XXRR1212114)()1,,,,,,()0XnnnnklXklklRntttTRtt具有非负定性，即及复数，有陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月定理4.2.2000{(),}()(),{(),}XttTXtTXttTTXttTT若平稳过程满足条件：，是一个常数，则称是周期为的周期平稳过程。{(),}XttT设是周期平稳过程，则其相关函数也是周期函数，且周期相同。定理4.2.3{(),}{(),}()0()XXXttTXttTRR设是平稳过程，则均方连续的充要条件是：在处连续，此时，是连续函数陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月证200()()2(0)()XXEXtXtRRtt0()0XRtT设在处连续，则对于任意的0()ttXtT令，知在上均方连续。00()()0XXtttttR反之，设在处连续，则在上式中令，即知在在连续。0其次，对于任意的，2200220220()()[()(()())][()][()()](0)[()()]XXXRREXtXtXtEXtEXtXtREXtXt陕西师范大学物理学与信息技术学院———《随机过程》2008年12月定理4.2.4{(),}