分析力学第四章

第四章微振动简谐振动：弹簧振子在平衡位置附近的往复运动。微振动：系统在平衡位形(势能极小值)附近的微小振动。势能在附近作泰勒展开，只保留到二阶小量：系统的势能U(q)在平衡位置具有最小值，则只要系统存在平衡位置（位形），就会发生微振动。§1.4.1无阻尼的微振动一、自由振动方程考虑一个最简单的情况：一维系统，忽略阻尼。设q为广义坐标。系统的拉格朗日函数：注：a(q)展开到零阶小量设是系统的平衡位置，在附近展开L，则代入拉格朗日方程，得略去m:等效质量k:等效倔强系数二、自由振动方程的解积分常数：A—振幅；—初相位由初始条件确定。保守系能量守恒振动方程解运用指数解的进行运算：解的复数形式（指数形式）条件：线性运算才可以先用指数解运算，最后再取实部。如果那么能量？能量三、受迫振动方程的解系统处在随时间变化的外场中：在平衡位置附近展开外场：忽略运动方程运动方程则运动方程降阶为齐次方程的通解找特解：令C＝C(t)代入（1），得(1)mitFdtdCtie)(通解特解补充例题例1：初始时刻振子停在平衡位置不动。在时间内],0[t以后的振动情况。求施以恒力,tf0,00xxt时，＝且代入将],0[],0[0tftF解：00X][)(20titititieemfdtemifeX取实部:四、受迫振动方程的能量转移iAeX0假定在初始时刻振子不振动,外力作用在有限时间间隔里,则作用后振子获得的总能量可计算为:ttA,,00例2：初始时刻振子停在平衡位置不动。在时间内],0[t能量。以后外力转移给振子的求施以恒力,tf解法1：运用解法2：结果一致!由例1——按本征频率的振动和按强迫力频率的振动的叠加选初始条件使，则积分下限为零。例3：周期性外场求振子的运动。解：§1.4.2阻尼振动共振一、无阻尼的共振出发点：改写为：1.振幅增到一定程度，微振动的假设已不再成立；2.实际运动存在阻尼，振幅不会随时间无限增大。共振：,振动的振幅将随时间的增长而增大为什么振幅无穷大没有被观测到？二、阻尼振动方程的解阻尼的作用：使机械运动的能量耗散，转化为热能，使机械运动停止(无外力时)。周期性策动力介质阻尼振子的弹力运动方程受力分析：1.振动系统，不再是保守系，不能引入势能函数；2.办法：在运动方程中加进阻力项：解得：阻尼使频率下降且振幅按指数衰减：初始条件决定通解：求通解齐次方程：策动力＝0阻尼存在找特解运动方程三、有阻尼情况下的共振复数形式的方程:X的两个可能频率:本征频率(阻尼,衰减)和迫动频率,解1.足够长时间后，完全按强迫力的频率振动，振动的相位落后于强迫力的相位()；2.当时：振幅并不随时间t无限增长。运动方程总结阻尼振动四、通过共振时能量吸收和相位变化接近共振时：足够长t,忽略第一项相位变化对迫动率的依赖:P63图1(a)单位时间从迫动力所吸收的能量为克服阻尼所做的功:时间平均:P63图1(b)共振吸收三维空间中的矢量112222uuuueee123uuuUSUU即1112131212223233132330uuu1112132122233132330(1,2,3)aa3个本征值每个本征值对应一个本征矢U。数学补充：本征值方程、本征值、本征矢量33的矩阵333231232221131211S非0解的条件本征值方程§1.4.3多自由度的耦合振动广义坐标第i个振子对自己平衡位置的偏离。:ix系统的自由度数：s2211111()222ssiiiiijijiijLmxkxxx拉格朗日函数：振子之间的耦合目标：定义新的广义坐标（简正坐标）使L退耦合为2211(,)('')2saaLLQQmQkQP：退耦合有什么好处？Q新广义坐标描述系统的第种集体振动模式：（多振子系统的协调运动）2'/'akm一、弱耦合的二振子系统由拉格朗日方程求221012022021()xxxkmmxxx设1122Re[]Re[]ititxCexCe假定了两个振子以同一频率振动（集体振动模式）一般性思路：12xx和220220()0()非零解条件：本征方程相应的本征矢有11111122和12CC系统的两个集体振动模式：（简正频率）运动方程1211221111ReRe[]1122ititititxCeeexCe201122220CCCC2210220/(2)/kmkm112211111122xQQx拉格朗日函数耦合项消失(退耦)：222211221111(2)2222LmQkQmQkQ1212Re[]Re[]ititQAeQBe定义简正坐标：12/(2)/kmkm两个集体振动的频率：可以直接读出。则退耦合的思路：三、多自由度耦合振子的集体振动模式一般的，对于有s个自由度的振动系统，拉格朗日函数为：2111122ssLmxkxx二次型势能存在极小值＝且kkk,0拉格朗日方程10(1,2,)smxkxs设Re[](1,2,)itxCes代入运动方程得：s),1,(21CCmks2111122ssLmxkxx一般性思路：2,mkk＝令s),1,(1CCks(1,2,)iis——系统有s个本征频率(集体振动模式)对应的本征矢记为)(iV0212222111211sssssskkkkkkkkk,0kkk＝且方程有的s个正实根是关于的s次代数方程2)(kK矩阵的本征值方程非0解条件对应s),1,(1CCks()Re[]itQAe采用简正坐标，拉格朗日退耦合成为s个独立振动：()22()2111122ssaaaaaaaLQQ表示第个集体振动模式简正坐标s个质点都是这s个简正模式的线性叠加：,s),(ixi1叠加系数（振幅比例）决定于)(iV本征矢siiQx1)()(V集体振动的频率可以直接读出。退耦合的思路：2111122ssLmxkxx简正坐标是分子内所有原子质量加权坐标的线性组合，表征的是一套分子内部运动的组合而这种组合一定是符合分子所属的对称性群的一个对称类的。画出一个分子可能的结构，就能够根据这个结构求算出分子的简正坐标，通过考查分子的简正坐标可以了解分子内部运动的能量，可以预测分子在红外光谱和拉曼光谱中的特征吸收峰。简正坐标在原子分子物理中的应用：(compareFouriertransform);Inthissense,thenormalmodesaretheelementaryvibrationsofthelattice.Althoughnormalmodesarewave-likephenomenainclassicalmechanics,theyacquirecertainparticle-likepropertieswhenthelatticeisanalysedusingquantummechanics(seewave-particleduality.)