第七讲正弦定理和余弦定理

第七讲正弦定理和余弦定理考纲解读考点考纲内容分析预测利用正、余弦定理解三角形1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.从近五年的考查情况来看,该讲是高考的重点和热点,主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用,有时也与三角恒等变换等进行综合命题,既有选择题、填空题,也有解答题,分值5~12分.基础知识过关一、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容变形解决问题abcRABCRABC2sinsinsin()为的外接圆半径abcbcA2222cosbacacB2222coscababC2222cosaRAbRBcRCabcABCRRRabcABCabcaRABCA2sin,2sin,2sinsin,sin,sin222::sin:sin:sin2sinsinsinsin(1)(2)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边已知两边和其中一边的对角，求令一边和其他两角bcaAbcacbBacabcCab222222222cos2cos2cos2(1)(2)(3)已知三边求各角已知两边和它们的夹角，求第三边和其它角已知两边和其中一边的对角，求其他角和边A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解注意：在△ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理解三角形时,会出现解的个数不确定的情况,情况如下:基础知识过关一、正弦定理和余弦定理基础知识过关二、三角形的面积公式(1)已知三角形一边及该边上的高:(2)已知三角形的两边及其夹角:(3)已知三角形的三边:(4)已知三角形的三边及内切圆半径:S=𝟏𝟐ah(h表示边a上的高);S=𝟏𝟐absinC=𝟏𝟐acsinB=𝟏𝟐bcsinA;S=𝒑(𝒑−𝒂)(𝒑−𝒃)(𝒑−𝒄)(p=𝟏𝟐(a+b+c));S=𝟏𝟐r(a+b+c)(r表示三角形内切圆半径).基础知识过关三、三角形中常见结论在△ABC中,常有下列结论:(1)A+B+C=π.(2)大边对大角,大角对大边,如ab⇔AB⇔sinAsinB.(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(4)有关三角形内角的三角函数关系式:sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC;sin𝐴+𝐵2=cos𝐶2;cos𝐴+𝐵2=sin𝐶2.(5)在△ABC中,内角A,B,C成等差数列⇔B=π3,A+C=2π3.ABCABCabcabABBABCD611,,,,,22,cos()6666....6543、在中，角的对边分别为，若则等于例题：考点一、利用正弦定理、余弦定理解三角形CABCABCabcasinBcosCcsinBcosAbabBABCD12,,,,1,,()225....6336、在中，角的对边分别为，若且则例题：考点一、利用正弦定理、余弦定理解三角形AABCABCabcbaccaCABCD213,,,,,2,cos()2233....4444、在中，角的对边分别为，若则例题：考点一、利用正弦定理、余弦定理解三角形BABCABCabcbBaCcAB14,,,,2coscoscos,、在中，角的对边分别为，若则例题：考点一、利用正弦定理、余弦定理解三角形3ABCAcaCaABC31560,.7(1)sin(2)7,.、在中，求的值；若求的面积例题：考点一、利用正弦定理、余弦定理解三角形解：(1)在△ABC中,∠A=60°,c=37a,由正弦定理得sinC=𝑐sin𝐴𝑎=37×32=3314.(2)解法一因为a=7,所以c=37×7=3.由(Ⅰ)知sinC=3314,又c=37aa,且A=60°,所以CA,即C60°故cosC=1−sin2𝐶=1−(3314)2=1314.由A+B+C=180°可得B=180°-A-C,所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=sin60°×1314+cos60°×3314=437.所以△ABC的面积S=12acsinB=12×7×3×437=63.解法二因为a=7,所以c=37×7=3,由余弦定理得72=b2+32-2b×3×12,解得b=8或b=-5(舍去).所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×8×3×32=63.ABCABCabcAabcabcabcABCBcABCD21,,,,sin,()()3,()sin....、在中，角的对边分别为，若则的形状为直角三角形等腰非等边三角形等边三角形钝角三角形例题：考点二、判断三角形的形状CABCABCabccaBabAABCABCD22,,,,cos(2)cos,()....、在中，角的对边分别为，若则的形状为直角三角形直角三角形等腰直角三角形等腰或直角三角形例题：考点二、判断三角形的形状DABCABCabcbxyABaxyBAABCABCD23,,,,coscos0,coscos0()....、在中，角的对边分别为，且直线与平行，则的形状为锐角三角形等腰三角形直角三角形等腰或直角三角形例题：考点二、判断三角形的形状CABCABCabcABCasinABCBCaABC231,,,,.3(1)sinsin;(2)6coscos1,3,.、的内角的对边分别为，已知的面积为求若求的周长例题：考点三、与三角形周长、面积有关的问题23333ABCabcABCAABCAAbABC232,,,,4sincos3cos()sin33(1);(2)2,.、在锐角三角形中，分别为角的对边，且求的大小若求面积的取值范围例题：考点三、与三角形周长、面积有关的问题33(,23)2ABCabcABCAABCAAbABC232,,,,4sincos3cos()sin33(1);(2)2,.、在锐角三角形中，分别为角的对边，且求的大小若求面积的取值范围例题：考点三、与三角形周长、面积有关的问题33(,23)2ABCADBCABACABACBCABCBACABACABAD22233,3.(1)(2)4,.、在中，是边的中线，且的面积为求的大小及的值；若求的长例题：考点三、与三角形周长、面积有关的问题解：(1)在△ABC中,由AB2+AC2+AB×AC=BC2可得𝑨𝑩𝟐+𝑨𝑪𝟐−𝑩𝑪𝟐𝟐×𝑨𝑩×𝑨𝑪=-𝟏𝟐=cos∠BAC,故∠BAC=120°.因为S△ABC=𝟏𝟐AB×AC×sin∠BAC=𝟏𝟐×AB×AC×sin120°=𝟑,所以𝟏𝟐×AB×AC×𝟑𝟐=𝟑,解得AB×AC=4.所以𝑨𝑩·𝑨𝑪=|𝑨𝑩|×|𝑨𝑪|×cos120°=|𝑨𝑩|×|𝑨𝑪|×(-𝟏𝟐)=4×(-𝟏𝟐)=-2.ABCADBCABACABACBCABCBACABACABAD22233,3.(1)(2)4,.、在中，是边的中线，且的面积为求的大小及的值；若求的长例题：考点三、与三角形周长、面积有关的问题(2)解法一由AB=4,AB×AC=4得AC=1.在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC22AB×ACcos∠BAC=16+1-2×4×1×(-12)=21,得BC=21,由正弦定理𝐵𝐶sin∠𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐶sin∠𝐴𝐵𝐶,得sin∠ABC=𝐴𝐶sin∠𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶=1×3221=714.因为0°∠ABC60°,所以cos∠ABC=32114.在△ABD中,AD2=AB2+BD2-2AB×BDcos∠ABD=16+214-2×4×212×32114=134,得AD=132.ABCADBCABACABACBCABCBACABACABAD22233,3.(1)(2)4,.、在中，是边的中线，且的面积为求的大小及的值；若求的长例题：考点三、与三角形周长、面积有关的问题解法二由AB=4,AB×AC=4得AC=1.在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos∠BAC=16+1-2×4×1×(-𝟏𝟐)=21,得BC=𝟐𝟏,cos∠ABC=𝑨𝑩𝟐+𝑩𝑪𝟐−𝑨𝑪𝟐𝟐𝑨𝑩×𝑩𝑪=𝟏𝟔+𝟐𝟏−𝟏𝟐×𝟒×𝟐𝟏=𝟑𝟐𝟏𝟏𝟒,在△ABD中,AD2=AB2+BD2-2AB×BDcos∠ABD=16+𝟐𝟏𝟒-2×4×𝟐𝟏𝟐×𝟑𝟐𝟏𝟏𝟒=𝟏𝟑𝟒,得AD=𝟏𝟑𝟐.