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学习改变命运,思考成就未来!联系电话:62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级精英班第十讲教师版Page95名校真题测试卷10(数论篇一)时间:15分钟满分5分姓名_________测试成绩_________1(05年人大附中考题)有____个四位数满足下列条件:它的各位数字都是奇数;它的各位数字互不相同;它的每个数字都能整除它本身。2(05年101中学考题)如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零,那么所得的三位数是原来的数的9倍,问这个两位数是__。3(05年首师附中考题)211+2121202+2121212113131313212121505=__。4(04年人大附中考题)甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数,并且满足:甲×甲=乙+乙=丙×135.那么甲最小是____。5(02年人大附中考题)下列数不是八进制数的是()A、125B、126C、127D、128【附答案】1【解】:62【解】:设原来数为ab,这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得:100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。3【解】:周期性数字,每个数约分后为211+212+215+2113=14【解】:题中要求丙与135的乘积为甲的平方数,而且是个偶数(乙+乙),这样我们分解135=5×3×3×3,所以丙最小应该是2×2×5×3,所以甲最小是:2×3×3×5=90。5【解】:八进制数是由除以8的余数得来的,不可能出现8,所以答案是D。学习改变命运,思考成就未来!联系电话:62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级精英班第十讲教师版Page96第十讲小升初专项训练数论篇(一)一、小升初考试热点及命题方向数论是历年小升初的考试难点,各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多,题型多样,变化众多,所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括:整数的整除性,同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题,数论在各种杯赛中都会占不小的比重,而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。二、2007年考点预测2007年的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论,命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点,大题则需综合运用数的整除,质数与合数,约数倍数以及整数的分拆等方法,希望同学们全面掌握数论的几大知识点,能否在考试中取得高分解出数论的压轴大题是关键。三、基本公式1)已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地,若(a,b)=1,则有ab|c。[讲解练习]:若3a75b能被72整除,问a=__,b=__.(迎春杯试题)2)已知c|ab,(b,c)=1,则c|a。3)唯一分解定理:任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即n=p11a×p22a×...×pkak(#)其中p1p2...pk为质数,a1,a2,....ak为自然数,并且这种表示是唯一的。该式称为n的质因子分解式。[讲解练习]:连续3的自然树的积为210,求这三个数为__.4)约数个数定理:设自然数n的质因子分解式如(#)那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)所有约数和:(1+P1+P12+…p11a)(1+P2+P22+…p22a)…(1+Pk+Pk2+…pkak)[讲解练习]:1996不同的质因数有__个,它们的和是__。(1996年小学数学奥林匹克初赛)5)用[a,b]表示a和b的最小公倍数,(a,b)表示a和b的最大公约数,那么有ab=[a,b]×(a,b)。[讲解练习]:两个数的积为2646,最小公倍数为126,问这两个数的和为__。(迎春杯刊赛第10题)6)自然数是否能被3,4,25,8,125,5,7,9,11,13等数整除的判别方法。[讲解练习]:3aa1能被9整除,问a=__.(美国长岛数学竞赛第三试第3题)希望考入重点中学?奥数网是我们成就梦想的地方!学习改变命运,思考成就未来!联系电话:62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级精英班第十讲教师版Page977)平方数的总结:小生初四个考点:1:平方差A2-B2=(A+B)(A-B),其中我们还得注意A+B,A-B同奇偶性。[讲解练习]:82-72+62-52+42-32+22-12=__。2:约数:约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为3的是质数的平方。[讲解练习]:1~100中约数个数为奇数个的所有数和为__。3:质因数分解:把数字分解,使他满足积是平方数。[讲解练习]:a与45的乘积一个完全平方数,问a最小是__。4:平方和。8)十进制自然数表示法,十进制和二进制,八进制,五进制等的相互转化。9)周期性数字:abab=ab×101[讲解练习]:2005×20062006-2006×20052005=__。四、典型例题解析1数的整除【例1】(★★★)将4个不同的数字排在一起,可以组成24个不同的四位数(4×3×2×1=24)。将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话,第二个是5的倍数;按从大到小排列的话,第二个是不能被4整除的偶数;按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这24个四位数中最大的一个。【解】:不妨设这4个数字分别是abcd那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数,因此b=0或5,注意到bcd,所以b=5;从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数;所以c是偶数,c<b=5,c=4或2从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间,所以a=d+4;因为ab,所以a至少是6,那么d最小是2,所以c就只能是4。而如果d=2,那么abdc的末2位是24,它是4的倍数,和条件矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3所以这24个四位数中最大的一个是7543。【例2】(★★★)一个5位数,它的各个位数字和为43,且能被11整除,求所有满足条件的5位数?[思路]:现在我们有两个入手的选择,可以选择数字和,也可以选择被11整除,但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字,而现在没有,所以我们选择先从数字和入手【解】:5位数数字和最大的为9×5=45,这样43的可能性只有9,9,9,9,7或9,9,9,8,8。这样我们接着用11的整除特征,发现符合条件的有99979,97999,98989符合条件。【例3】(★★★)由1,3,4,5,7,8这六个数字所组成的六位数中,能被11整除的最大的数是多少?公式需牢记做题有信心!学习改变命运,思考成就未来!联系电话:62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级精英班第十讲教师版Page98【解】:各位数字和为1+3+4+5+7+8=28所以偶数位和奇数位上数字和均为14为了使得该数最大,首位必须是8,第2位是7,14-8=6那么第3位一定是5,第5位为1该数最大为875413。[拓展]:一个三位数,它由0,1,2,7,8组成,且它能被9整除,问满足条件的总共有几个?【例4】(★★)一个学校参加兴趣活动的学生不到100人,其中男同学人数超过总数的4/7,女同学的人数超过总数的2/5。问男女生各多少人?【来源】:06年理工附入学测试题【解】:男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的3/7,这样女生的范围在2/5~3/7之间,同理可得男生在4/7~3/5之间,这样把分数扩大,我们可得女生人数在28/70~30/70之间,所以只能是29人,这样男生为41人。2质数与合数(分解质因数)【例5】(★★★)2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几?【解】:先分析1×2×3×4××10的积的末尾共有多少个0。由于分解出2的个数比5多,这样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。而能分解出5的一定是5的倍数。注意:5的倍数能分解一个5,25的倍数分解出2个5,125的倍数能分解出3个5……最终转化成计数问题,如5的倍数有[10/5]=2个。2005=5×401684=2×2×171375=3×5×5×5前三个数里有2个质因子2,4个质因子5,要使得乘积的最后4位都是0应该有4个质因子2和4个质因子5,还差2个质因子。因此□里最小是4。[拓展]:2005×684×375×□最后4位都是0,且是7的倍数,问□里最小是_____【例6】(★★★)03年101中学招生人数是一个平方数,04年由于信息发布及时,04年的招生人数比03年多了101人,也是一个平方数,问04年的招生人数?【解】:看见两个平方数,发现跟平方差相关,这样我们大胆的设03年的为A2,04年的为B2,从中我们发现04年的比03年多101人,这样我们可以列式子B2-A2=101此后思路要很顺,因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开,所以B2-A2=(A+B)(A-B)=101,可见右边的数也要分成2个数的积,还得考虑同奇偶性,但101是个质数,所以101只能分成101×1,这样A+B=101,A-B=1,所以A=50,B=51,所以04年的招生人数为51×51=2601。[拓展]:一个数加上10,减去10都是平方数,问这个数为多少?(清华附中测试题)学习改变命运,思考成就未来!联系电话:62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级精英班第十讲教师版Page993约数和倍数【例7】(★★★)从一张长2002毫米,宽847毫米的长方形纸片上,剪下一个边长尽可能大的正方形,如果剩下的部分不是正方形,那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复,最后剪得的正方形的边长是多少毫米?【解】:边长是2002和847的最大公约数,可用辗转相除法求得(2002,847)=77所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。辗转相除示例:2002÷847=2…308求2个数的最大公约数,就用大数除以小数847÷308=2…231用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止308÷231=1…77用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止231÷77=3最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数【例8】(★★★)一根木棍长100米,现从左往右每6米画一根标记线,从右往左每5米作一根标记线,请问所有的标记线中有多少根距离相差4米?【解】:100能被5整除,所以每5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。这样我们都以从左往右作,可见转化成讨论5,6的最小公倍数中的情况,画图可得有2根距离为4米,所以30,60,90里各有2条,但发现最后96和100也是距离4米,所以总共2×3+1=7。[拓展]:在一根长木棍上,有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成十等份;第二种将木棍分成十二等份;第三种将木棍分成十五等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断,那么木棍总共被锯成多少段?【例9】(★★★)1、2、3、4…2008这2008个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的积?【解】:最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数,这样我们发现除2以外都是奇数质因数,可见我们只要找需要多少个2,所以只要看1~2008中2ˇn谁最大,可见2ˇ10=1024,所以为10个2。【例10】(★★★★)有15位同学,每位同学都有编号,它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数,2号说:“这个数能被2整除”,3号说“这个数能被3整除”,……,依次下去,每位同学都说,这个数能被他的编号数整除,1号作了一一验证,只有编号相邻的两位同学说得不对,其余同学都对,问:(1)说得不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请求出这个数。(写出解题
本文标题:10小升初专项训练 数论篇(1)
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