导数的概念及运算课件

第三章第一节导数的概念及运算行知书院高二文数学12.17重点难点引领方向重点：导数的概念、公式及运算法则，导数的应用难点：1.积商的导数公式．2．(理)复合函数的导数．基础梳理导学夯实基础稳固根基一、导数及有关概念1．函数的平均变化率一般地，已知函数y＝f(x)，x0、x1是定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商fx0＋Δx－fx0Δx＝______.称为函数y＝f(x)从x0到x1的平均变化率．ΔyΔx2．(1)平均速度设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，在t0到t0＋Δt这段时间内，物体运动的平均速度是v0＝ft0＋Δt－ft0Δt＝___.(2)瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt这段时间内的平均变化率ΔsΔt＝ft0＋Δt－ft0Δt趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度．ΔsΔt3．导数设函数y＝f(x)在x0处及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为Δx时，函数值相应地改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．如果当Δx趋近于0时，平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0处的瞬时变化率．函数在点x0处的瞬时变化率通常称为f(x)在x＝x0处的导数，又称函数f(x)在x＝x0处可导．一般地，函数y＝f(x)的导数f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)内可导．在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，这个函数称为函数f(x)的导数．4．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的___________．导数的物理意义：物体的运动方程s＝s(t)在点t0处的导数s′(t0)，就是物体在t0时刻的____________．切线的斜率瞬时速度二、导数公式1．常用的导数公式C′＝0(C为常数)；(xm)′＝mxm－1(x0，m≠0且m∈Q)；(xn)′＝nxn－1(n∈N＋)(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex，(ax)′＝axlna；(lnx)′＝1x；(logax)′＝1xlna.特别f(x)＝1x时，f′(x)＝－1x2，f(x)＝x时，f′(x)＝12x.2．两个函数的四则运算的导数[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．特别[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)；fxgx′＝f′xgx－fxg′xg2x(g(x)≠0)．3．(理)复合函数的导数y′x＝y′u·ux′(其中u是x的函数)疑难误区点拨警示1．导数公式(1)要注意公式的适用范围．如(xn)′＝nxn－1中，n∈N＋，若n∈Q且n≠0，则应有x0.(2)注意公式不要用混，如(ax)′＝axlna，而不是(ax)′＝xax－1.还要特别注意(uv)′≠u′v′，uv′≠u′v′.2．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数，不是变量．(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)．根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.3．要正确区分曲线y＝f(x)在点P处的切线，与过点P的曲线y＝f(x)的切线．[例]已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值，若过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程．解析：f′(x)＝3ax2＋2bx－3，由题意±1是方程f′(x)＝0的根，∴－2b3a＝0，－1a＝－1，故a＝1，b＝0.曲线方程为y＝x3－3x，点A(0,16)不在曲线上．设切点为M(x0，y0)，则y0＝x30－3x0.∵f′(x0)＝3(x20－1)，∴切线方程为y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．∵点A(0,16)在切线上，∴16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)，化简得x30＝－8，解得x0＝－2.∴切点为M(－2，－2)，切线方程为9x－y＋16＝0.点评：在求切线方程时很容易将A(0,16)理解为曲线y＝f(x)上的一点，得出如下错解：∵f′(x)＝3ax2＋2bx－3，k＝f′(0)＝－3，∴切线方程为y－16＝－3x，即3x＋y－16＝0.1．对函数求导时，一要熟记基本导数公式，特别是积、商、对数的导数公式要记准，二要遵循先化简后求导的原则．2．利用导数求曲线的切线方程求过某点的曲线的切线时，要先判断该点是否在曲线上，然后依据不同情况有针对性的解答．思想方法技巧(1)当点P(x0，y0)在曲线C上时，过点P的C的切线斜率k＝f′(x0)，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．(2)当点P(x0，y0)不在曲线C上时，常常是先设出切点，求出f(x)的导数利用切点在曲线上和切线过点P来求解．3．(理)复合函数求导法复合函数求导时，可依据“从外到内层层剥皮”的方法．[例1]若f′(a)＝A，则limΔx→0fa＋Δx－fa－ΔxΔx＝________.导数的概念考点典例讲练解析：原式＝limΔx→0fa＋Δx－fa＋fa－fa－ΔxΔx＝limΔx→0fa＋Δx－faΔx＋lim－Δx→0fa－Δx－fa－Δx＝A＋A＝2A.答案：2A设f(x)为可导函数，且满足limx→0f1－f1－2x2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2B．－1C．1D．－2解析：limx→0f1－f1－2x2x＝limx→0f1－2x－f1－2x＝－1，即y′|x＝1＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.答案：B[例2]已知点P在曲线y＝4ex＋1上，角α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A．[0，π4)B．[π4，π2)C．(π2，3π4]D．[3π4，π)导数的几何意义分析：曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率为该点处的导数y′|x＝x0，又倾斜角α与斜率关系为k＝tanα，∴tanα＝y′|x＝x0，由导函数的值域可求出倾斜角α的取值范围．解析：∵y′＝－4exex＋12，∴tanα＝－4exex＋12＝－4exex2＋2ex＋1＝－4ex＋1ex＋2，∵ex＞0，∴ex＋1ex≥2(当且仅当x＝0时取等号)，∴ex＋1ex＋2≥4，∴0＜4ex＋1ex＋2≤1，∴－1≤tanα＜0，∵α∈[0，π)，∴α∈[3π4，π)，故选D.答案：D(文)曲线y＝xsinx在点－π2，π2处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为()A.π22B．π2C．2π2D.12(2＋π)2解析：∵y′＝sinx＋xcosx，∴y′|x＝－π2＝－1，∴曲线y＝xsinx在点－π2，π2处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的面积为π22.故选A.答案：A点评：求曲线在某点处的切线方程，应先求该点处的导数值，得到切线斜率．再写出切线方程．[例3]设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2013(x)等于()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx导数公式及运算法则解析：f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，∴4为最小正周期，∴f2013(x)＝f1(x)＝cosx.答案：C(1)已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.(2)函数y＝cosx2(sinx2－cosx2)的导数为________．(3)(理)y＝ex＋1ex－1的导数为________．解析：(1)∵f′(x)＝2x＋3f′(2)，∴f′(2)＝4＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2.(2)∵y＝cosx2(sinx2－cosx2)＝cosx2sinx2－cos2x2＝12sinx－12(1＋cosx)＝12(sinx－cosx)－12，∴y′＝12(cosx＋sinx)＝22sin(x＋π4)．(3)(理)y′＝ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ex－12＝ex·ex－1－ex＋1·exex－12＝－2exex－12.答案：(1)－2(2)y′＝22sin(x＋π4)(3)(理)y′＝－2exex－12[例4](文)已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．综合应用解析：(1)∵f′(x)＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为13x－y－32＝0.(2)解法1：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，∴直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16，又∵直线l过原点(0,0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，整理得，x30＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．解法2：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0，又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x20＋1，解之得，x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x0＝±1，∴x0＝1y0＝－14，或x0＝－1y0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14.即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.(文)(2011·镇江模拟)曲线y＝13x3＋12x2在点F(1，56)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.4936B.49144C.4918D.4972解析：∵y′＝x2＋x，∴y′|x＝1＝2，∴k＝2；则函数y＝13x3＋12x2在点F(1，56)处的切线方程为y－56＝2(x－1)，与坐标轴的交点坐标为(0，－76)，(712，0)，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝12×|－76|×712＝49144.答案：B课堂巩固训练一、选择题1．(文)(2011·重庆文)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为()A．y＝3x－1B．y＝－3x＋5C．y＝3x＋5D．y＝2x[答案]A[解析]∵y′＝－3x2＋6x，∴曲线在点(1,2)处的切线的斜率k＝－3＋6＝3，∴切线方程为y－2＝3(x－1)．即y＝3x－1.2．(文)(2