浙教版九年级数学下册第二章

2.1【知识梳理1：切线的判定】1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线2.切线判定的三种方法：（1）和圆只有一个公共点的直线（2）圆心到直线的距离等于圆的半径的直线（3）切线判定定理例题讲解例1下列说法中，不正确的是（）A.与圆只有一个交点的直线是圆的切线B.经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线D.垂直于半径的直线是圆的切线例2如图，AB是⊙O的直径，下列条件中，不能判定直线AT是⊙O的切线的是（）A.AB＝4，AT＝3，BT＝5B.∠B＝45°，AB＝ATC.∠B＝55°，∠TAC＝55°D.∠ATC＝∠B第2题第3题例3如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC经过AB的中点D，CE∥AB，点F在⊙O上，连结OA，CF，BF，则下列结论中，不正确的是（）A.∠F＝12∠AOCB.AB⊥BFC.CE是⊙O的切线D.AC︵＝BC︵例4如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于点E，CE＝DE，过点B作BF∥CD，交AC的延长线于点F，求证：BF是⊙O的切线.【变式训练】1.如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A.点(0，3)B.点(2，3)C.点(5，1)D.点(6，1)(第1题)(第2题)2.如图，已知∠ABC＝90°，O为射线BC上一点.以点O为圆心，12BO长为半径作⊙O.当射线BA绕点B按顺时针方向旋转______________(不超过360°)时与⊙O相切.3.如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径作⊙O，分别与BC，AD交于点E，F.（1）求证：四边形BEDF为矩形.（2）若BD2＝BE·BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由.4.如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OD⊥AB于点D.以点O为圆心，OD长为半径的圆交OA于点E，在BA上截取BC＝OB，连结CE.求证：CE是⊙O的切线.5.如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(不与点A，B重合)，AD⊥CD.（1）若BC＝3，AB＝5，求AC的长.（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线.【知识梳理2：切线的性质】1.切线的性质：经过切点的半径垂直于切线2.只要知道以下其中两个性质就可以推出第三个：①过圆心；②过切点；③垂直于切线例题讲解例1如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，且BC=OB，CD切⊙O于点D.则∠A=（）A.15°B.30°C.60°D.75°第1题第2题例2如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D.若OD＝2，tan∠OAB＝12，则AB的长是（）A.4B.23C.8D.43例3如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于点T，连结AT，AC⊥PQ于点C，交⊙O于点D.（1）求证：AT平分∠BAC.（2）若AO＝2，AT＝23，求AC的长.例4如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＋BC＝8，O是斜边AB上一点，以点O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E.（1）当AC＝2时，求⊙O的半径.（2）设AC＝x，⊙O的半径为y，求y关于x的函数表达式.【变式训练】1.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连结AC.若∠A＝30°，PC＝3，则BP的长为_________.第1题第2题2.如图，半圆O与等腰直角三角形ABC的两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB上.若BG＝2－1，则△ABC的周长为__________3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A.133B.92C.4313D.25第3题第4题4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝43.若动点D在线段AC上(不与点A，C重合)运动，过点D作DE⊥AC交AB边于点E.（1）当点D运动到线段AC的中点时，DE＝___________.（2）若点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE＝__________时，⊙C与直线AB相切.5.如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，F是DA延长线上的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为E.（1）求证：CE是⊙O的切线.（2）若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径.6.如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D，A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB的延长线交于点E.（1）求证：∠1＝∠2.（2）若OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，求AG的长.【综合例题讲解】例1如图，公路MN与公路PQ在点P处交会，且QPN＝30°，在点A处有一所中学，AP＝160m.假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受噪音影响，那么拖拉机在公路交会处沿PN方向行驶时，学校是否会受噪音影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，且已知拖拉机的速度为18km/h，则学校受影响的时间为多少秒？例2如图，在平面直角坐标系中，原点为O，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(－1，0)，以AB的中点P为圆心，AB长为直径作⊙P交y轴正半轴于点C.（1）求经过A，B，C三点的抛物线所对应的函数表达式.（2）设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式.（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论.【变式训练】1.如图①，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC.（1）试判断△ABC的形状，并说明理由.（2）如图②，若线段AB，DE的延长线交于点F，∠C＝75°，CD＝2－3，求⊙O的半径和BF的长.2.如图，射线QN与等边三角形ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t(s)，以点P为圆心，3cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上)，请求出t可取的一切值2.2知识要点：切线长定理】1.切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等2.注意切线和切线长两个不同的概念【例题讲解】例1如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是（）A.4B.8C.43D.83例1图变式1图【变式训练】1.如图，PA，PB，CD分别与⊙O相切于点A，B，E，若PA＝7，则△PCD的周长为_________2.如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D.若⊙O的半径为r，△PCD的周长为3r，连结OA，OP，则OAPA的值是_________变式2图变式3图3.如图，⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是___________.例2如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连结OP与⊙O交于点C，连结AC，BC.求证：AC＝BC.【变式训练】1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，EF⊥AB，垂足为F.（1）求证：DE＝12BC.（2）若AC＝6，BC＝8，求S△ACD∶S△EDF的值.2.如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F，G两点，且与AB，AC分别相切于点D，E，DE∥BC，连结DF，EG.（1）求证：AB＝AC.（2）若AB＝10，BC＝12，求当四边形DFGE是矩形时⊙O的半径.3.如图，已知正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点(不与点M，C重合)，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E.求四边形CDFP的周长.【综合例题讲解】1.如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，BE∥CO.（1）求证：BC是∠ABE的平分线；（2）若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长．2.如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于点N.（1）求证：∠ADC＝∠ABD；（2）求证：AD2＝AM·AB；（3）若AM＝185，sin∠ABD＝35，求线段BN的长．2.3【知识要点：三角形的内切圆】1.三角形内、外心的区别名称确定方法图形性质外心三角形_____________的交点内心三角形_____________的交点2.注意“接”与“切”，“内”与“外”的区别，任意一个三角形都有________的内切圆和外接圆，但圆有__________个外切三角形和内接三角形.解题小技巧：（1）已知△ABC的面积为S，内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则有：S=12（a+b+c）r（2）已知Rt△ABC两直角边为a，b，斜边为c，则该直角三角形的内切圆半径：r=12（a+b+c）例题讲解例1给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式训练】1.下列说法中，不正确的是()A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等例2如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB＝15，AC＝9，BC＝12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（）A.16B.π6C.π8D.π5例2图变式1图【变式训练】1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，D是斜边AB的中点，则tan∠ODA＝（）A.33B.32C.3D.2例3如图，在平面直角坐标系中，有一正方形AOBC.反比例函数y＝kx的图象经过正方形AOBC对角线的交点，半径为4－22的圆内切于△ABC，求k的值.【变式训练】1.如图，⊙O是以∠ACB为直角的△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F.（1）填空：当_____________时，EF∥AB（填上符合题目要求的一个条件即可）.（2）当EF∥AB时，设⊙O的半径r＝1，DE，AC的延长线交于点G，求GF的长.2.如图，在△ABC中，AC＝BC，I为△ABC的内心，O为BC上一点，过B，I两点的⊙O交BC于点D，tan∠CBI＝13，AB＝6.（1）求线段BD的长.（2）求线段BC的长.【链接中考】1.△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（）A．120°B．125°C．135°D．150°2.一个钢管放在V形架内，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm，∠MPN=60，则OP=________.3.如图，在△ABC中，，cosB．如果⊙O的半径为cm，且经过点B、C，那么线段AO=cm．4..如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，点O为△ABC的内心，M为斜边AB的中点，求OM的长【综合例题讲解】例1如图，在△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝α(定值)，⊙O的圆心O在AB上，并分别与AC，BC相切于点P，Q.（1）求∠POQ的度数(用含α的代数式表示).（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与⊙O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断∠DOE的度数是否保持不变，并说明理由.（3）在（2）的条件下，如果AB＝m(m为已知数)，cosα＝35，设AD＝x，DE＝y，求y关于x的函数表达式（并指出自变量x的取值范围）.5cmABAC3510例2