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飞驰教育个性化辅导讲义知识点一:二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义:形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,才有意义.【例2】若式子13x有意义,则x的取值范围是.举一反三:1、使代数式221xx有意义的x的取值范围是2、如果代数式mnm1有意义,那么,直角坐标系中点P(m,n)的位置在()A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例3】若y=5x+x5+2009,则x+y=解题思路:式子a(a≥0),50,50xx5x,y=2009,则x+y=2014举一反三:1、若11xx2()xy,则x-y的值为()A.-1B.1C.2D.33、当a取什么值时,代数式211a取值最小,并求出这个最小值。已知a是5整数部分,b是5的小数部分,求12ab的值。若17的整数部分为x,小数部分为y,求yx12的值.知识点二:二次根式的性质【知识要点】1.非负性:是一个非负数.注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到.2.()()aaa20.注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式:23.aaaaaa200||()()注意:(1)字母不一定是正数.(2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替.(3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外.4.公式aaaaaa200||()()与()()aaa20的区别与联系(1)a2表示求一个数的平方的算术根,a的范围是一切实数.(2)()a2表示一个数的算术平方根的平方,a的范围是非负数.(3)a2和()a2的运算结果都是非负的.【典型例题】【例4】若22340abc,则cba.举一反三:1、已知直角三角形两边x、y的长满足|x2-4|+652yy=0,则第三边长为______.2、若1ab与24ab互为相反数,则2005_____________ab。(公式)0()(2aaa的运用)【例5】化简:21(3)aa的结果为()A、4—2aB、0C、2a—4D、4举一反三:3已知直角三角形的两直角边分别为2和5,则斜边长为(公式)0a(a)0a(aaa2的应用)【例6】已知2x,则化简244xx的结果是A、2xB、2xC、2xD、2x举一反三:2、化简2244123xxx得()(A)2(B)44x(C)-2(D)44x3、已知0a,化简求值:22114()4()aaaa3【例7】如果表示a,b两个实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简│a-b│+2()ab的结果等于()A.-2bB.2bC.-2aD.2a举一反三:实数a在数轴上的位置如图所示:化简:21(2)______aa.【例8】化简21816xxx的结果是2x-5,则x的取值范围是()(A)x为任意实数(B)1≤x≤4(C)x≥1(D)x≤1举一反三:若代数式22(2)(4)aa的值是常数2,则a的取值范围是()A.4a≥B.2a≤C.24a≤≤D.2a或4a【例9】如果11a2aa2,那么a的取值范围是()A.a=0B.a=1C.a=0或a=1D.a≤1举一反三:1、如果2693aaa成立,那么实数a的取值范围是().0.3;.3;.3AaBaCaDa2、若03)3(2xx,则x的取值范围是()(A)3x(B)3x(C)3x(D)3x【例10】化简二次根式22aaa的结果是(A)2a(B)2a(C)2a(D)2a1、把根号外的因式移到根号内:当b>0时,xxb=;aa11)1(=。知识点三:最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式:(1)最简二次根式的定义:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或因式.2、同类二次根式(可合并根式):几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式。【典型例题】【例11】下列根式中能与3是合并的是()1012aoba4A.8B.27C.25D.21举一反三:1、下列各组根式中,是可以合并的根式是()A、318和B、133和C、22abab和D、11aa和2、如果最简二次根式83a与a217能够合并为一个二次根式,则a=__________.知识点四:二次根式计算——分母有理化【知识要点】1.分母有理化定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。2.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下:①单项二次根式:利用aaa来确定,如:aa与,abab与,ba与ba等分别互为有理化因式。②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如ab与ab,abab与,axbyaxby与分别互为有理化因式。3.分母有理化的方法与步骤:①先将分子、分母化成最简二次根式;②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】【例12】把下列各式分母有理化(1)2525abba(2)5353举一反三:1、已知2323x,2323y,求下列各式的值:(1)xyxy(2)223xxyy知识点五:根式比较大小【知识要点】51、根式变形法当0,0ab时,①如果ab,则ab;②如果ab,则ab。2、平方法当0,0ab时,①如果22ab,则ab;②如果22ab,则ab。3、分母有理化法通过分母有理化,利用分子的大小来比较。4、分子有理化法通过分子有理化,利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时,经常运用如下性质:①0abab;②0abab8、求商比较法它运用如下性质:当a0,b0时,则:①1aabb;②1aabb【典型例题】【例13】比较35与53的大小。【例14】比较231与121的大小。【例15】比较76与65的大小。【例16】比较73与873的大小。已知:,求的值.二次根式和一元二次方程经典练习题1.把1aa的根号外的因式移到根号内等于。2.若1ab与24ab互为相反数,则2005_____________ab。3.若23a,则2223aa等于()A.52aB.12aC.25aD.21a4.若1a,则31a化简后为()A.11aaB.11aaC.11aaD.11aa65.计算:222112aa的值是()A.0B.42aC.24aD.24a或42a6.若x24y2=-x2y成立,则x、y符合的条件是()A.x≤0,y≠0B.x≤0,y为一切实数C.x<0,y≠0D.以上都不对7.若22mn和3223mn都是最简二次根式,则_____,______mn。8.已知0xy,化简二次根式2yxx的正确结果为()A.yB.yC.yD.y9.若12x,则224421xxxx化简的结果是()A.21xB.21xC.3D.-310.若2182102xxxx,则x的值等于()A.4B.2C.2D.411.若3的整数部分为x,小数部分为y,则3xy的值是()A.333B.3C.1D.312.若最简二次根式125aa与34ba是同类二次根式,则____,____ab。若最简二次根式23412a与22613a是同类二次根式,则______a。13、以-3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是.14、如果51222mxmx是一个完全平方式,则m_____.15、已知12xx,是一元二次方程224(35)60xmxm的两个实数根,且23||21xx,则m=__________.16、已知12xx,是方程04442aaxax的两实根,是否能适当选取a的值,使得)2)(2(1221xxxx的值等于45________________.17、关于x的二次方程)0(04)1(22mxmmx的两根一个比1大,另一个比1小,则m的取值范围是______________.18、已知二次方程010)32(2kxkkx的两根都是负数,则k的取值范围是____________.19、方程04)1(222mxmx的两个实根,且这两根的平方和比这两根之积大21,那么m=______________.20、一元二次方程052kxx的两实根之差是3,则______k.721、已知实数x满足01122xxxx,那么xx1的值是()(A)1或-2(B)-1或2(C)1(D)-222、关于x的方程0222ttxx的两实根满足2)1)(1(21xx,则114tt的值是()(A)-5(B)5(C)-9(D)-1523、已知a、b、c为△ABC的三边,试判断关于x的方程)(02)(2cbcbaxxcb的根的情况.24、已知12xx,是关于x的方程0)4(412kkkxx的两个实根,k取什么值时,1237(2)(2)4xx.25、已知关于x的方程220xkxkn有两个不相等的实数根1x、2x,且1212(2)8(2)150xxxx.(1)求证:0n.(2)试用k的代数式表示1x.(3)当3n时,求k的值.26、已知:21xx、是关于x的方程22210xaxa的两个实数根且122211xx,求a的值.27、已知关于x的一元二次方程241210xmxm.(1)求证:不论m为任何实数,方程总有两个不相等的实数根.(2)若方程两根为21xx、,且满足121112xx,求m的值.828、已知关于x的方程0141)1(22kxkx的两根是一个矩形两邻边的长.(1)k取何值时,方程在两个实数根;(2)当矩形的对角线长为5时,求k的值.29.200020013232______________。30.计算及化简:⑴.2ababababab(2)2aabbabaabaabbabbab31、已知:3232,3232xy,求32432232xxyxyxyxy的值。32、已知:1110aa,求221aa的值。33、已知:,xy为实数,且113yxx,化简:23816yyy。34、已知11039322yxxxyx,求的值。
本文标题:浙教版八年级数学下册-第1章-二次根式-知识点总结
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