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第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).1M2M既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1M2,或a,若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a=b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作-a;规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,a∥b;记作二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.机动目录上页下页返回结束2.向量的减法三角不等式3.向量与数的乘法是一个数,规定:可见与a的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此定理1设a为非零向量,则(为唯一实数)证:“”.,取=±且再证数的唯一性.则a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b同向时则b与a同向,设又有b=a,“”则已知b=a,b=0a,b同向a∥ba,b反向x横轴y纵轴z竖轴定点o空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.即以右手握住z轴,当右手的四个手指从正向x轴以2角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向.三、空间直角坐标系1.空间直角坐标系的基本概念Ⅶxyozxoy面yoz面zox面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ•坐标面•坐标原点•坐标轴•卦限(八个)空间的点有序数组),,(zyx对应关系11特殊点的表示:)0,0,0(O),,(zyxMxyzo)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyB),0,(zxC坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点,A,B,C2.向量的坐标表示设点M则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,在空间直角坐标系下,任意向量r,都可以找到一点M,使得r=OM,称其为点M关于原点O的向径。四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:五、向量的模、方向角1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.记作方向余弦的性质:例1已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量作业P13习题8-11,4,5,15第二节数量积向量积一物体在常力F作用下沿直线从点1M移动到点2M,以s表示位移,则力F所作的功为cos||||sFW(其中为F与s的夹角)启示:向量a与b的数量积为ba(其中为a与b的夹角)实例两向量作这样的运算,结果是一个数量定义一、两向量的数量积记作故1、关于数量积的说明0)2(baba)(,0ba,0||a,0||b,0cos.ba2||)1(aaa)(,ba,0cos.0cos||||baba,0.||cos||||2aaaaa证证,2,22、数量积符合下列运算规律:(1)交换律:abba(2)分配律:cbcacba)((3)若为常数:)()()(bababa若、为常数:)()()(baba,kajaiaazyxkbjbibbzyx设ba)(kajaiazyx)(kbjbibzyx,kji,0ikkjji,1||||||kji.1kkjjii3、数量积的坐标表达式cos||||baba,||||cosbaba由此得两向量夹角余弦的坐标表示式可知两向量垂直的充要条件为例1已知(1,1,4),(1,2,2).ab求(1)ba;(2)a与b的夹角;(3)a在b上的投影.解ba)1(2)4()2(111.9222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa,21ajbbabPr||)3(.3||Prbbaajb.43例2证明向量c与向量acbbca)()(垂直.证:因为cacbbca])()[(])()[(cacbcbca])[(cacabc0cacbbca])()[(所以设O为一根杠杆L的支点,有一力F作用于这杠杆上P点处.力F与OP的夹角为,力F对支点O的力矩是一向量M,它的模||||||FOQMsin||||FOPM的方向垂直于OP与F所决定的平面,指向符合右手系。实例二、两向量的向量积LPQO向量a与b的向量积为bac(其中为a与b的夹角)定义c的方向既垂直于a,又垂直于b,指向符合右手系。向量积也称为“叉积”、“外积”。1、关于向量积的说明:.0)1(aa)0sin0(ba)2(//.0ba)0,0(ba)(,0ba,0||a,0||b,0sin0,或)(0sin.0sin||||||baba证ba//ba//或02、向量积符合下列运算规律:(1).abba(2)分配律:.)(cbcacba(3)若为数:).()()(bababa,kajaiaazyxkbjbibbzyx设ba)(kajaiazyx)(kbjbibzyx,kji,0kkjjii,jik,ikj,kij.jki,ijk3、向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式ba//zzyyxxbababa由上式可推出:补充||ba表示以a和b为邻边的平行四边形的面积。abbac练习求与kjia423,kjib2都垂直的单位向量.解zyxzyxbbbaaakjibac211423kji,510kj,55510||22c||0ccc.5152kj作业P23习题8-21(1)、(3),3,4,9第三节平面及其方程xyzo如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的法线向量.法线向量的特征:垂直于平面内的任一向量.已知设平面上的任一点为),,(zyxMnMM0必有一、平面的点法式方程0000(,,),(,,),nABCMxyz00,MMn0)()()(000zzCyyBxxA平面的点法式方程平面上的点都满足上方程,不在平面上的点都不满足上方程.其中法向量),,,(CBAn已知点0000(,,),MMxxyyzz例1求过三点)4,1,2(A、)2,3,1(B和)3,2,0(C的平面方程.解),6,4,3(AB),1,3,2(AC取ACABn),1,9,14(所求平面方程为,0)4()1(9)2(14zyx化简得.015914zyx练习1求过点)1,1,1(,且垂直于平面7zyx和051223zyx的平面方程.),1,1,1(1n),12,2,3(2n取法向量21nnn),5,15,10(,0)1(5)1(15)1(10zyx化简得.0632zyx所求平面方程为解由平面的点法式方程0)()()(000zzCyyBxxA0)(000CzByAxCzByAx平面的一般方程法向量).,,(CBAn二、平面的一般方程,0)1(D平面通过坐标原点;,0)2(A,0,0DD平面通过轴;平面平行于轴;,0)3(BA平面平行于坐标面;类似地可讨论情形.0,0CBCA0,0CB类似地可讨论情形.平面一般方程的几种特殊情况:例2设平面过原点及点)2,3,6(,且与平面824zyx垂直,求此平面方程.设平面为,0DCzByAx由平面过原点知,0D由平面过点)2,3,6(知0236CBA),2,1,4(n024CBA,32CBA.0322zyx所求平面方程为解例3设平面与zyx,,三轴分别交于)0,0,(aP、)0,,0(bQ、),0,0(cR(其中0a,0b,0c),求此平面方程.设平面为,0DCzByAx将三点坐标代入得,0,0,0DcCDbBDaA,aDA,bDB.cDC解,aDA,bDB,cDC将代入所设方程得平面的截距式方程x轴上截距y轴上截距z轴上截距设平面为,1czbyaxxyzo,1V,12131abc由所求平面与已知平面平行得611161cba(向量平行的充要条件)解练习2求平行于平面0566zyx而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程。练习2求平行于平面0566zyx而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程。,61161cba化简得令tcba61161,61ta,1tb,61tcttt61161611代入体积式,61t,1,6,1cba.666zyx所求平面方程为定义(通常取锐角)11n2两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,0:11111DzCyBxA,0:22222DzCyBxA),,,(1111CBAn),,,(2222CBAn三、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面的特殊位置关系:21)1(0212121CCBBAA21)2(//212121CCBBAA21nn21nn//例4研究以下各组里两平面的位置关系:013,012)1(zyzyx01224,012)2(zyxzyx02224,012)3(zyxzyx解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos601cos两平面相交,夹角.601arccos)2(),1,1,2(1n),2,2,4(2n,212142两平面平行21)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行但不重合.)3(,21214221)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行两平面重合.例5设),,(0000zyxP是平面ByAx0DCz外一点,求0P到平面的距离.),,(1111zyxP|Pr|01PPjdn1PN解1010Pr,oonjPPPPn10010101(,,),PPxxyyzz222222222,,,oABCnABCABCABC1010ProonjPPPPn0101012222222220
本文标题:高等数学-第八章-空间解析几何与向量代数
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