核辐射探测-第七章2

第七章辐射探测中的概率统计问题统计性是微观世界的属性之一。放射性原子核的衰变、辐射微观粒子的探测、辐射探测器接受入射粒子并产生输出信号等都是一个随机过程。这些粒子数、输出信号的电荷量、信号出现的时刻等是一个涨落的随机变量，这样辐射测量所得到的数据也都是涨落的，要从这些数据推导出结论，就必须用概率论与数理统计的方法处理。1、可用于检验一台核计数装置的功能和状态是否正常；计数统计学的意义可归结为两个方面：2、在处理只有一次或极为有限的测量中，可用计数统计学来预测其固有的统计不确定性，从而估计该单次测量应有的精密度。7.1概率论基础知识随机试验：随机事件：随机变量：一定条件下的每次观察。每次随机试验的各种结果。样本：Nix,...x,...x,x,x321N次测量中随机变量的取值构成代表随机事件的数量)(limAPNNAN概率：描述在某种随机试验的各个随机事件出现的可能性。出现事件A的次数总试验次数事件A发生的概率实验的平均值：NxxNiie1随机变量可分为两种离散型随机变量可取值是有限个或“可列个”分立的数值。该类型随机变量用表示，其可取值用表示。ix连续型随机变量可取值是整个数轴或某一区间内的所有数值。连续型随机变量及其可取值则用和表示。Xx有一类特殊的随机试验，其试验结果只有两个，非此即彼。它的随机变量的可取值只有两个：“0”和“1”。这类随机试验称为“伯努利试验”。把正事件（即随机变量取“1”）发生的概率定义为p，则正事件不发生（即随机变量取“0”）的概率为q=1-p。1.随机变量的分布函数与数字表征要确知某一随机变量，就需要不仅知道这随机变量的所有各个可取值，而且还要知道与各可取值相应的概率。概率论中，用概率函数和分布函数来描述随机变量的这一特性。(1)随机变量的一般特征及定义连续型随机变量X离散型随机变量可取值Nix...x...x,x21X分布函数iixPxFxXPxF概率函数iixPxf概率密度函数dxxXxPxf相互关系ixiixfxFdxxfxFx归一性ixixf11dxxf(2)随机变量的数字表征对服从任一种分布的随机变量，有两个最重要的数字特征。数学期望值：E（简称期望值，在物理中也称平均值，常用xm表示），它表示随机变量取值的平均位置。均方偏差：D（简称方差），它表示随机变量的取值相对于期望值的离散程度。其开根值称均方根偏差，常用表示。即：2D数学期望值（平均值）对离散型随机变量iNixxfE或1对连续型随机变量XdxxfxXE将若干次实验中随机变量所取的数值加在一起，再用实验次数除后，得到算术平均值。当实验次数无限增加时，算术平均值将无限的接近数学期望。均方偏差（方差）对离散型随机变量：对连续型随机变量：X或NiixfExD12dxxfXExXD2方差的意义：代表了随机变量各个可取值相对于平均值的离散程度。方差小则代表随机变量在各次实验中所取得的数值越集中的分布在平均值附近，方差大则表示分布得越分散。均方根偏差对离散型随机变量：对连续型随机变量：XDXDX相对均方偏差对离散型随机变量：对连续型随机变量：X22ED22XEXDX相对均方根偏差对离散型随机变量：对连续型随机变量：XEXEXX方差或均方根偏差代表了随机变量可取值相对于平均值的离散程度；相对方差或相对均方根偏差则代表了测量精度。(3)一些相似概念区分(A)误差(error)和偏差(deviation)偏差：eiixx误差：)(ExiiN次测量平均值真值当真值未知的情况下，一般以偏差代替误差。(B)准确度——精密度——精确度测量值与被测对象真值的一致程度。一次测量的可重复性或可靠性。准确度：精密度：可用测量的平均值与真值的差描述。可用测量的均方偏差描述。精确度：表示测量结果与真值的一致程度。精密度测量的精密度是指在进行某一量的测量时，各次测量的数据大小彼此接近的程度，它是偶然误差的反映。测量精密度高，说明各测量数据比较接近和集中。但由于系统误差情况不确定，故测量精密度高不一定测量准确度就高。打靶的精密度、准确度和精确度示意图(a)精密度高、但准确度和精确度都差；(b)准确度好、精密度和精确度差；(c)精密度、准确度和精确度都好。(C)系统误差——偶然误差系统误差：在同一条件下，多次测量同一物理量，测量值误差的大小和符号保持恒定。产生原因：仪器本身不精确、或实验方法粗略、或实验原理不完善而产生的。特点：在多次重做同一实验时，误差总是同样地偏大或偏小，不会出现这几次偏大而另几次偏小的情况。要减小系统误差，必须提高测量仪器的精度，改进实验方法，设计在原理上更为完善的实验。偶然误差：在同一条件下，多次测量同一物理量，测量值误差的大小和符号随机变化。也叫随机误差。2）是绝对存在且不可避免的。产生原因：由各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理量的影响而产生的。特点：1）有时偏大有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同；可以多进行几次测量来减小偶然误差。各次测得的数值的平均值就比一次测得的数值更接近于真实值。在核辐射测量中，偶然误差是一项主要的误差，产生的原因有两个：一是核事件的随机性产生的统计误差；二是测量仪器在正常工作条件下的测量误差。统计误差是一种特殊的偶然误差，是由微观世界的随机性所决定的。系统误差影响系统的准确度，偶然误差影响系统的精确度。2.几种常用的统计模型(1)二项式分布二项式分布是支配偶然事件的最通用的概率分布，广泛应用于所有概率p恒定的过程。设一随机试验条件组为：作次独立试验，每次试验中要么发生事件，要么不发生，且事件发生的概率为，不发生的概率为。定义随机变量为按上述条件组试验后，事件总共发生的次数。可取值为0，1，2，...，是离散型随机变量。0NAApp1A0N二项式分布的概率函数：0NAk在一组个独立试验中，事件成功次的概率为：kNkkNqpCkP00000!!()!NkkNpqkNk可见，二项式分布的概率函数是由双参数N0和p决定的。二项式分布随机变量的数学期望和方差:数学期望0000NNkEkPkNp方差kPEkDNNk0020pEpqN10例子：具有N0个放射性原子核的放射源在t时间内的衰变总数，服从二项式分布。原子核衰变服从指数规律，即teNtN0)(那么在（0－t）时间内，发生衰变的原子核数为：)1()()(00teNtNNtN所以对于原子核衰变，其数学期望为：方差：)1(0teNEtteeND)1(0也就是说原子核在t时间内发生衰变的概率为：不发生衰变的概率为：teNtNp1)(0tepq1例子2：具有1010个放射性原子核的放射源,每个核在1s的衰变概率为10-9，求1s内有5个核衰变的概率和求有10个核衰变的概率。(2)泊松分布泊松分布是在N0很大、概率p很小的条件下，二项式分布在数学上的直接简化，是二项式分布的一种极限情况。对二项式分布，当N0很大，但p1，即m＝N0p为不大的常数时，服从二项式分布的随机变量就可服从泊松分布。在二项式分布中，当N0很大，且λt1时，则有：p=1－e-λt1这样，=N0pN0。这意味着N与和N0相比足够小，可得到NkkNNNNkNN1...21!!000000eepkNkNkNp000)1(NN代入：000!!()!NkkNpqkNkkNkkNqpCkP00mnPnE0数学期望方差mnPEnD20泊松分布随机变量的数学期望和方差此时，随机变量可取全部正整数，为离散型随机变量，其概率函数为：mkekmkP!泊松分布随机变量的特点(A)的取值为全部正整数。mDE(B)(C)当m较小时其概率函数非对称，当m较大时其概率函数趋于对称。(D)相互独立的服从泊松分布的随机变量之和，仍遵守泊松分布。例子：如果放射性原子核的个数N0非常大，同时测量时间t比半衰期小的多，即在t内可不考虑放射原子核总数N0的改变，则在t内放射源衰变数就可用泊松分布作为其概率函数。所以对于原子核衰变，其数学期望为：方差：tNeNEt00)1(tNeeNDtt00)1(例子2：具有1010个放射性原子核的放射源,每个核在1s的衰变概率为10-9，求1s内有5个核衰变的概率和求有10个核衰变的概率。(3)高斯分布高斯分布又称正态分布，当泊松分布中的m1(例如20)时，泊松分布就可简化为高斯分布。对高斯分布，随机变量X取值范围为(－～＋)，为连续型随机变量。其概率密度函数为：222exp21mxxf高斯分布随机变量的数学期望和方差数学期望方差mdxxfxxE22dxxfxExxDδ是deltaσ是sigma对于核衰变，可以证明单位时间发生衰变的核数服从泊松分布。其特点为：2m这一关系在高斯分布也是成立的。可以证明：mdnnpmn22m此式表明，仅有统计涨落时，m一般情况下，m高斯分布连续对称，可以方便的计算测量值出现在区间内的概率，即：Zm令：ZmXZmPdxeZmXZmPZmZmmx222)(21mxzdxdz1ZzZZzdzedzeZmXZmP0222221221可由高斯函数数值积分表查得。)(Z置信区间和置信度随机变量的均方根偏差σ表示它的离散情况。对于遵守泊松分布和高斯分布（正态分布）的随机变量脉冲计数N在[m-σ,m+σ]区间的概率为：P{m-σNm+σ}=0.683对于泊松分布σ＝m1/2，所以上式化为P{m-m1/2Nm+m1/2}=0.683把这个概率称做“置信度”或置信概率；(m-σ，m+σ)称为置信区间。2）当某次实验测得值Ni，则Ni值与真平均值m的差异在±m1/2（即±σ）之内的概率是68.3%。3）当得到随机变量的一个测得值Ni后，就可以断定真值（即数学期望值）就在Ni±σ范围内的概率是68.3%。P{m-m1/2Nm+m1/2}=0.6831）这表明，在每次试验中随机变量N的数值落在（m-m1/2,m+m1/2）区间内的概率为68.3%。],[ZmZm表示置信区间为Z)(2Z该置信区间的置信度为：例如：当Z＝1时，置信区间为该置信区间的置信度为%3.68)1(2当Z＝2时，置信区间为2该置信区间的置信度为%5.95)2(2例1：具有1010个放射性原子核的放射源,每个核在1s的衰变概率为10-9，求1s内有5个核衰变的概率和求有10个核衰变的概率。例2时间t内放射源平均放出100个粒子。试求：1）在相同时间内108个粒子的概率；2）出现绝对偏差值大于6的概率。解：1）2）2）22(108100)2100101(108)0.032NNWNe，1061000.6100.60.22571941061(0.60.6)120.6120.22570.55aWNWa做变量置换：查表例3设放射性衰变核数平均值为，求其观测值落在、、，范围内的概率。解：所求概率NNN2NN3NN()()()()2()WNkNNNkNWkakkkk