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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 项目/工程管理 > 2.5等比数列前n项和公式的推导及性质
细节决定成败态度决定一切复习:等比数列{an}an+1an=q(定值)(1)等比数列:(2)通项公式:an=a1•qn-1(4)重要性质:n-man=am•qm+n=p+qan•aq•am=ap注:以上m,n,p,q均为自然数成等比数列(3)bGa,,)0(,2ababG).0,0(1qa引入:印度国际象棋发明者的故事(西萨)引入新课它是以1为首项公比是2的等比数列,64S236312222.分析:由于每格的麦粒数都是前一格的2倍,共有64格每格所放的麦粒数依次为:麦粒的总数为:23631,2,2,2,,2.64S236312222.(1)请同学们考虑如何求出这个和?642S23632(12222).642S即23636422222.(2)64642SS23463(122222)…2346364(222222)230-1=1073741823646421S这种求和的方法,就是错位相减法!191.841018446744073709551615如果1000粒麦粒重为40克,那么这些麦粒的总质量就是7300多亿吨。根据统计资料显示,全世界小麦的年产量约为6亿吨,就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦,国王无论如何是不能实现发明者的要求的。如何求等比数列的Sn:nnnaaaaaS132111212111nnnqaqaqaqaaSnnnqaqaqaqaqaqS11131211①②①—②,得nnqaaSq1100)1(nnqaaSq11)1(错位相减法qqaaqqaaSnnn11111:1时q1.使用公式求和时,需注意对和的情况加以讨论;1q1q2.推导公式的方法:错位相减法。注意:显然,当q=1时,1naSn,11111qqaaqqannnS,1na(q=1).(q≠1).{等比数列的前n项和表述为:)1()1(1)1(11qnaqqqaSnn已知a1、n、q时已知a1、an、q时)1()1(111qnaqqqaaSnn等比数列的前n项和公式知三求二(1)等比数列前n项和公式:等比数列前n项和公式你了解多少?Sn={1-q(q=1)(q=1)qaan11naSn={1-q(q=1)(q=1))1(1nqa1na(2)等比数列前n项和公式的应用:1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提;2.在使用公式时,要根据题意,适当选择公式。利用“错位相减法”推导(3)两个等比数列前n项和公式中任知其三可以求其二:例1、求下列等比数列前8项的和,81,41,21)1(0,2431,27)2(91qaa解:时所以当8n256255211211218nS:,2431,2791可得由aa)2(8272431q)1(因为21,211qa可得:又由,0q31q时于是当8n811640)31(1311278nS:a2n量中,求满足下列条件的、在等比数列例nnsaanq和求.21,5,2)2(1nqsaann和求.341,512,1)3(1nsaa求,2)1(31解:21,5,2)2(1anq得:代入qqasqaannnn11,11182214415qaa2311221212121555s可得代入将qqaannnnSSaa111341,512,1)3(2.1)512(1341qqq解得:10)2(1512,111nqaannn解得:所以因为112)1(231qqaa即nnaSqn222211,所以,,,时,数列为常数列当nqqannnSq)1(11)1(1])1(1[21)1(1时,当说明:选择适当的公式。并且要根据具体题意,中,只知三可求二,在五个变量nnSanqa,,,,12.1.作为第一要素来考虑。的取值,应把它意在利用公式,一定要注q•1.数列{2n-1}的前99项和为()•A.2100-1B.1-2100•C.299-1D.1-299解析:a1=1,q=2,∴S99=1×1-2991-2=299-1.答案:C•2.在等比数列{an}中,已知a1=3,an=96,Sn=189,则n的值为()•A.4B.5•C.6D.7解析:an=a1·qn-1=96=3·qn-1,∴qn-1=32,Sn=a1-anq1-q=3-96q1-q=189,1-32q1-q=63.解得q=2.∴n=6.答案:C•3.已知等比数列{an}中,an0,n=1,2,3,…,a2=2,a4=8,则前5项和S5的值为________.解析:易求得q=2,a1=1.∴S5=1-251-2=31.答案:31•4.在等比数列{an}中,已知a1+a2+…+an=2n-1,则a12+a22+…+an2等于________.解析:设等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=2n-1.易知等比数列{an}的公比q=2,首项a1=1,∴an=2n-1,于是an2=4n-1,∴a12+a22+…+an2=1+4+42+…+4n-1=13(4n-1)答案:13(4n-1)•5.设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,求公比q的值.解析:①当q=1时,S3=3a1=3a3,符合题目条件;②当q≠1时,a11-q31-q=3a1q2,因为a1≠0,所以1-q3=3q2(1-q),因为q≠1,所以1-q≠0,化简得1+q+q2=3q2,解得q=-12或q=1(舍)综上,q的值为1或-12.[题后感悟]错位相减法一般来说,如果数列{an}是等差数列,公差为d;数列{bn}是等比数列,公比为q,则求数列{anbn}的前n项和就可以运用错位相减法.4.求和:1+322+423+…+n2n-1+n+12n.解析:设Sn=22+322+423+…+n+12n,①则12Sn=222+323+424+…+n+12n+1.②由①-②,得12Sn=22+322-222+423-323+…+n+12n-n2n-n+12n+1=22+122+123+…+12n-n+12n+1=12+121-12n1-12-n+12n+1=12+1-12n-n+12n+1=32-n+32n+1,∴Sn=3-n+32n.解:当x=1时,Sn=1+2+3+…+n=nn+12;当x≠1时,xSn=x2+2x3+3x4+…+(n-1)xn+nxn+1,∴(1-x)Sn=x+x2+x3+…+xn-nxn+1,∴(1-x)Sn=x1-xn1-x-nxn+1,∴Sn=x1-x2[nxn+1-(n+1)xn+1],∴Sn=nn+12x=1,x1-x2[nxn+1-n+1xn+1]x≠1..3求和:)0(3232xnxxxxSnnLL•在运用错位相减法求数列的和时,要注意以下四个问题:•(1)注意对q的讨论,在前面的讨论中,我们已知q是等比数列{bn}的公比,所以q≠0,但求和Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1时,就应分x=0、x=1和x≠0且x≠1三种情况讨论.•(2)注意相消的规律.•(3)注意相消后式子(1-q)Sn的构成,以及其中成等比数列的一部分的和的项数.•(4)应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提条件.如果不能确定公比q是否为1,应分两种情况讨论,这在以前高考中经常考查.1.已知数列前n项和sn=2n-1,则此数列的奇数项的前n项的和是.2.设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3分别求出{an}及{bn}的前10项的和S10及T10。3.设{an}为等比数列,Tn=na1+(n一1)a2+…+2an-1+an,已知T1=1,T2=4.(1)求数列{an}的首项和公比;(2)求数列{Tn}的通项公式.练习:.4已知数列的首项na,2,1,12,3211naaaannn(1)证明:数列是等比数列(2)求数列的前n项和11nanannS
本文标题:2.5等比数列前n项和公式的推导及性质
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