《二次函数的图象和性质》课件

5.4二次函数的图象和性质知识回顾，问题引入1.什么是二次函数？一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的二次函数.2.在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？…………-24-11010124合作学习，探究一画二次函数y=x2的图象（1）观察y=x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：xy·····(2)在直角坐标系中描点（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象y=x2（1）这个函数的图象形状是怎样的？（2）图象与x轴的交点坐标是什么？（3）y随x的变化而怎样变化？（1）图象是一条抛物线；（2）有交点，坐标为（0,0）；（3）当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；（4）当x=0时，y的值最大，y最大值=0；（5）是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0），如（1，1）和（-1，1）等.（4）x取何值时，y的值最小？是多少？（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点.二次函数y=x2的图象是一条抛物线，开口方向：向上对称轴：y轴顶点：对称轴与抛物线的交点，它是图象的最低点.坐标为（0,0）二次函数y=-x2的图象也是一条抛物线，它与二次函数y=x2的图象关于x轴对称二次函数y=-x2的图象是什么形状？它与二次函数y=x2的图象有什么关系？图象开口方向对称轴顶点坐标y=x2y=-x2向上向下y轴（0，0）抛物线增减性：y=x2:x＞0时，y随x的增大而减小x＜0时，y随x的增大而增大y=-x2:x＞0时，y随x的增大而增大x＜0时，y随x的增大而减小最值：y=x2:x=0时，y最小值=0y=-x2:x=0时，y最大值=0在图2-4中画出二次函数y=3x2的图象，并思考下列问题：（1）图象：___________开口方向：____对称轴：___顶点坐标：_________（2）它与y=x2的图象的相同点：_____________________________；不同点：______________________.抛物线向上y轴（0，0）形状、开口方向、对称轴、顶点坐标开口大小相同：形状开口方向对称轴顶点坐标不同：开口大小︱a︱越大，开口越小在图2-4中画出y=x2的图象，它与y=x2，y=3x2的图象有什么相同和不同？13想一想函数y=ax2（a＞0）的图象性质图象：开口方向：______,对称轴：______顶点坐标：_______.向上y轴（0，0）增减性：x＜0时，y随x的增大而减小x＞0时，y随x的增大而增大最值：当x=0时，y取得最小值y最小值=0函数y=ax2（a＜0）的图象性质图象：开口方向：______，对称轴：_____顶点坐标：________.向下y轴（0,0）增减性：x＜0时，y随x的增大而增大x＞0时，y随x的增大而减小最值：当x=0时，y取得最大值y最大值=01.二次函数y=-x2中，当y=-16时，x=_________.2.已知函数y=ax2的图象过点（3，9），和（2，t）（1）求a和t的值；（2）试判断这个函数的图象是否过点（-3，9）.过点（-3,9）a=1,t=44±能力小测试：画出二次函数y=2x2+1的图象y=2x2+1y=2x2合作学习，探究二y=2x2+1的图象：由y=2x2的图象向上平移1个单位得到开口方向：向上对称轴：y轴顶点坐标：（0，1）二次函数y=2x2+1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？它与二次函数y=2x2的图象有什么关系？y=2x2y=2x2+1y=2x2-1的图象：由y=2x2的图象向下平移1个单位得到开口方向：向上对称轴：y轴顶点坐标：（0,-1）二次函数y=2x2-1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？它与二次函数y=2x2的图象有什么关系？y=2x2y=2x2-1函数y=ax2+c（a＞0）的图象性质平移：由y=ax2向上或向下平移︱c︱个单位得到开口方向：对称轴：顶点坐标：向上y轴（0，c）增减性：x＜0时，y随x的增大而减小x＞0时，y随x的增大而增大最值：当x=0时，y取得最小值y最小值=c函数y=ax2+c（a＜0）的性质平移：由y=ax2向上或向下平移︱c︱个单位得到开口方向：对称轴：顶点坐标：向下y轴（0，c）增减性：x＜0时，y随x的增大而增大x＞0时，y随x的增大而减小最值：当x=0时，y取得最大值y最大值=c1.二次函数y=3x2-的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？画图看一看.2.二次函数y=-2x2-的图象与二次函数y=-2x2+的图象有什么关系?121212随堂练习y=3x2y=3x2-1.y=3x2-的图象：由y=3x2的图象向下平移个单位得到开口方向：向上对称轴：y轴顶点坐标：（0，-）121212122.y=-2x2-的图象：由y=-2x2+的图象向下平移1个单位得到y=-2x2+y=-2x2-1212121232032501818882021882281832对于同一个y值，这两个函数对应的x值相差1（在对称轴同侧）合作学习，探究三画出二次函数y=2(x-1)2的图象（1）完成下表：观察上表，你能发现2(x-1)2与2x2的值有什么关系？x-4-3-2-1012342x22(x-1)2（2）画函数出y=2(x-1)2的图象y=2x2y=2(x-1)2y=2(x-1)2的图象：由y=2x2的图象向右平移1个单位得到；开口方向：向上；对称轴：直线x=1；顶点坐标：（1,0）；x＜1时，y随x的增大而减小，x＞1时，y随x的增大而增大.二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？y=2(x+1)2的图象：由y=2x2的图象向左平移1个单位得到.类似地，你能发现二次函数y=2(x+1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗？y=2(x+1)2y=2x2对于二次函数y=-3(x+2)2：（1）它的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？（2）当x取哪些值时，y的随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？随堂练习：（1）y=-3(x+2)2的图象：由y=-3x2的图象向左平移2个单位得到；它是轴对称图形；开口方向：向下；对称轴：直线x=-2；顶点坐标：（0,-2）.(2)x＜-2时，y随x的增大而增大，x＞-2时，y随x的增大而减小.由二次函数y=2x2的图象，你能得到二次函数y=2x2-，y=2(x+3)2，y=2(x+3)2-的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流.1212y=2x2y=2x2-12y=2(x+3)2-12y=2(x+3)2y=2x2-的图象：由y=2x2的图象向下平移个单位得到.y=2(x+3)2的图象：由y=2x2的图象向左平移3个单位得到.y=2(x+3)2-的图象：由y=2x2的图象向左平移3个单位，再向下平移个单位得到（也可由y=2x2的图象向下平移个单位，再向左平移3个单位得到）.1212121212形状、开口大小、开口方向相同，只是位置不同.抛物线y=a(x-h)2+k可由抛物线y=ax2沿x轴方向平移︱h︱个单位（h＞0时，向右平移，h＜0时，向左平移），再沿y轴方向平移︱k︱个单位（k＞0时，向上平移，k＜0时，向下平移）得到.二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象有什么关系？二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线.开口方向对称轴顶点坐标y=a(x-h)2+k向上（a＞0）向下（a＜0）y轴（h，k）增减性：a＞0时，x＞h，y随x的增大而减小x＜h，y随x的增大而增大a＜0时，x＞h，y随x的增大而增大x＜h，y随x的增大而减小最值：a＞0时，x=h，y最小值=ka＜0时，x=h，y最大值=k例题讲解例1试讨论二次函数的性质.()yx25322解：由表达式可知，它有以下性质：（1）图象是抛物线，开口向下；（2）对称轴为直线x=-3；（3）顶点是图象的最高点，坐标为（-3，-2）；（4）当x-3时，函数值随x的增大而增大；当x-3时，函数随x的增大而减小.随堂练习：1.已知函数y=-3(x-2)2+4，当x=___时，函数取最大值为____.2.已知抛物线y=-(x+1)2-3，当x_______时，y随x的增大而减小.3.怎样平移抛物线y=3x2，便可得到抛物线y=3(x-2)2+2？24＞-1由抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位或先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到.学习了二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质之后，现在你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗？化成y=a(x-h)2+k的形式！合作学习，探究四求二次函数y=2x2-8x+7的图象的对称轴和顶点坐标.解y=2x2-8x+7=2(x2-4x)+7=2(x2-4x+4)-8+7=2(x-2)2-1∴二次函数y=2x2-8x+7的图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标为（2，-1）.解（1）y=3x2-6x+7=3(x-1)2+4对称轴：直线x=1顶点坐标：（1，4）（2）y=2x2-12x+8=2(x-3)2-10对称轴：直线x=3顶点坐标：（3，-10）求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：（1）y=3x2-6x+7；（2）y=2x2-12x+8.∴二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=-,顶点坐标为（-，）.解y=ax2+bx+c=a(x2+x)+c=a[x2+2·x+()2-()2]+c=a(x+)2+求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标ba2ba2ba2ba2ba2ba2ba244acba-244acba-二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线.开口方向对称轴顶点坐标y=ax2+bx+c向上（a＞0）向下（a＜0）直线x=-（-，）2ba2ba244acba增减性：a＞0时，x＞-，y随x的增大而减小x＜-，y随x的增大而增大a＜0时，x＞-，y随x的增大而增大x＜-，y随x的增大而减小最值：a＞0时，x=-，y最小值=a＜0时，x=-，y最大值=2ba2ba2ba2ba2ba2ba244acba-244acba-解（1）y=2x2-12x+3=2(x-3)2-15对称轴：直线x=3顶点坐标：（3，-15）（2）y=-5x2+80x-319=-5(x-8)2+1对称轴：直线x=8顶点坐标：（8，1）随堂练习：（1）y=2x2-12x+3；（2）y=-5x2+80x-319；（3）y=2(x-)(x-2)；（4）y=3(2x+1)(2-x).12（3）y=2(x-)(x-2)=2(x-)2-对称轴：直线x=顶点坐标：（4）y=3(2x+1)(2-x)=-6(x-)2+对称轴：直线x=顶点坐标：545948,-()3437548(,)12549834758回顾本课学习了哪些知识？课堂小结