第28讲-本构方程

金属塑性变形理论Theoryofmetalplasticdeformation第二十八讲LessonTwenty-Eight张贵杰ZhangGuijieTel：0315-2592155E-Mail：[e-mail]河北理工大学金属材料与加工工程系DepartmentofMetalMaterialandProcessEngineeringHebeiPolytechnicUniversity,Tangshan063009Lesson282020/2/162第十二章变形力学方程主要内容MainContent力平衡微分方程屈服条件应力应变关系方程等效应力、等效应变平面变形和轴对称变形Lesson282020/2/16312.3应力应变关系方程塑性变形时应力与应变的关系称为本构关系，其数学表达式称为本构方程或物理方程。zxyzxyzyxijijf,,,,,Lesson282020/2/16412.3.1弹性变形时的应力应变关系弹性变形的特点应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与全量应变主轴重合弹性变形是可逆的，与应变历史（加载过程无关），应力与应变之间存在统一的单值关系弹性变形时，应力张量使物体产生体积变化，泊松比小于0.5Lesson282020/2/165虎克定律广义虎克定律E：弹性模量v：泊松比xyxyG21yzyzG21zxzxG21EG2zyxxE1xzyyE1yxzzE1剪切模量)1(2EGLesson282020/2/166zyxxE1由xzyxxE1mxEE31mE21mxE1则xmmxEE31mmE21而xmxmxGE211即Lesson282020/2/167同理ymymyGE211zmymzGE211所以广义虎克定律可写成求和约定的形式ijmijijEG2121jijiij,0,1克罗内克儿记号Lesson282020/2/168弹性变形的比列及差比形式Gzxzxyzyzxyxyzzyyxx21Gzxzxyzyzxyxyxzxzzyzyyxyx21Lesson282020/2/169广义虎克定律的矩阵形式zxyzxyzyxzxyzxyzyxE)1(000000)1(000000)1(0000001000100011Lesson282020/2/161012.3.2塑性变形时的应力应变关系塑性变形的特点体积不变，泊松比v=0.5应力、应变为非线性关系全量应变与应力主轴不一定重合塑性变化不可逆——无单值一一对应关系——与加载路径有关对于应变硬化材料，卸载后的屈服应力比初始屈服应力高Lesson282020/2/1611应变增量与小变形及大变形的关系应变增量与小变形数值大小处于同一数量级，都属于无穷小量；大变形是对应变增量进行积分获得的dddLesson282020/2/1612塑性变形时应力与应变的关系增量理论Prantl—Reuss理论Levy—Mises理论全量理论Hencky小变形理论Lesson282020/2/1613Prantl—Reuss理论基本观点应力与应变的位向关系塑性应变增量主轴与应力主轴一致应力与应变的分配关系在任意加载瞬间，塑性应变增量各分量与该瞬时相应的各偏差应力分量成比例Lesson282020/2/1614数学表达式dddddddzxpzxyzpyzxypxyzpzypyxpx或ijpijddLesson282020/2/1615对P—R理论的解释应变增量主轴与应力主轴重合的含义：若在某一方向加载，则在该方向必产生应力与应变增量分配关系的含义：把塑性应变增量与应力在数学上联系起来是一个非零非负的瞬时比例系数，时，表示弹性变形，时，无实际情况与其对应。11dd0d0dLesson282020/2/1616Prantl—Reuss方程总的应变增量是弹性与塑性变形增量之和，即pijeijijdddddEdGijijmij)2121(pmijpijeijpijeijijdddddd而0pzpypxpmddddmijijddd又Lesson282020/2/1617ddGdijijij21该式称为Prantl—Reuss方程，建立了偏差变形增量与偏差应力之间的关系Lesson282020/2/1618适用范围该理论适用于弹塑性问题，即塑性变形很小，与弹性变形处于同数量级，而不能忽略弹性变形。Lesson282020/2/1619Levy—Mises理论基本观点应力与应变的位向关系应变增量主轴与应力主轴一致应力与应变的分配关系在任意加载瞬间，应变增量各分量与该瞬时相应的各偏差应力分量成比例塑性Lesson282020/2/1620数学表达式dddddddzxzxyzyzxyxyzzyyxx或ijijddLesson282020/2/1621对L—M理论的说明与Prantl—Reuss理论相比，Levy—Mises理论只适用于大塑性变形问题；又称为Levy—Mises流动法则；同样用于应变速率ijijijijddtddtdLesson282020/2/1622)(mxxxddd))(31(zyxxd)(2132zyxd)(2132xzyydd)(2132yxzzddxyxyddyzyzddzxzxddLesson282020/2/1623全量理论全量理论建立了全应变与应力的关系。其中比较由影响的是Hencky小变形理论。Lesson282020/2/1624加载条件简单加载在加载过程中，应力张量各分量按同样的比例增加，也称为比例加载。即。例：0ijijc150001000050ij2c300002000010ij已知，，则简单加载的特点：加载过程中，应力主轴不动。复杂加载：加载过程中各应力分量之间无规律可循。Lesson282020/2/1625Hencky小变形理论基本观点应力与应变的位向关系塑性应变主轴与应力主轴一致。应力与应变的分配关系在任意加载瞬间，塑性应变各分量与该瞬时相应的各偏差应力分量成比例。Lesson282020/2/1626数学表达式zxpzxyzpyzxypxyzpzypyxpx或ijpijLesson282020/2/1627总的变形ijijmijpijeijijEG)2121(Lesson282020/2/1628小变形理论用于大变形对于大塑性变形，仅用于简单加载条件，此时应力与应变主轴在加载过程中不变，并用对数变形计算主应变。取主轴时：1122332121221221221或Lesson282020/2/1629因此131332322121Lesson282020/2/1630课后作业Homework习题集P16习题49、17习题51、52