杨辉三角探究

研究性课题:杨辉三角研究性课题:杨辉三角(数学第三册第71页)杨辉简介杨辉(约公元13世纪中叶至后半叶)字谦光,钱塘(今浙江杭州)人,是中国南宋末年的数学家、数学教育家.著作甚多,他编著的数学书共五种二十一卷,著有《详解九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、等.“杨辉三角”出现在他编著的《详解九章算法》一书中,杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右,杨辉是一位杰出的数学教育家、重视数学的普及．杨辉简介古代杨辉三角一一一二一一三一三一四一六四一五一十十五六一一六一十五二十十五杨辉三角第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561············第n–1行1······1第n行1······1······11nC21nC11rnCrnC121nnC1nC2nCrnC1nnC2nnC杨辉三角一般的杨辉三角基本性质.111rnrnrnrnrnCCCCCn，杨辉三角的第n行就是二项式(a+b)n展开式的系数即(a+b)nnnnrrnrnnnnnbCbaCbaCaC110二项式定理的证明试用数学归纳法证明二项式定理:nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110)((1)当n=1时,左边=a+b,右边=babaCaC1111101∴当n=1时等式成立(2)假设当n=k时等式成立,即当n=k+1时kkkrrkrkkkkkkbCbaCbaCaCba110)()()()(1bababakk))((110babCbaCbaCaCkkkrrkrkkkkkbaCabCbaCbaCaCkkkkkrrkrkkkkk011110111kkkkkkrrkrkbCabCbaC证明:二项式定理的证明续110110)()(rrkrkrkkkkkkbaCCbaCCaC,)(11kkkkkkkkbCabCC(2)假设当n=k时等式成立,即当n=k+1时kkkrrkrkkkkkkbCbaCbaCaCba110)()()()(1bababakk))((110babCbaCbaCaCkkkrrkrkkkkkbaCabCbaCbaCaCkkkkkrrkrkkkkk011110111kkkkkkrrkrkbCabCbaC利用,1111101010，，，，rkrkrkkkkkkCCCCCCCC,1111kkkkkkkkkkCCCCC，二项式定理的证明续利用110110)()(rrkrkrkkkkkkbaCCbaCCaC,)(11kkkkkkkkbCabCC,1111101010，，，，rkrkrkkkkkkCCCCCCCC,1111kkkkkkkkkkCCCCC，这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知对于任意正整数n,等式都成立.111111011)(rrkrkkkkkkbaCbaCaCba,1111kkkkkkbCabC得到杨辉三角研究1杨辉三角之探究1第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561第7行172135352171············杨辉三角的第1,3,7,15,···行,即第2k–1行(k∈Z+)的各个数字有什么特点？各个数字均是奇数第1行11第3行1331第7行172135352171杨辉三角研究2杨辉三角之探究2第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561第7行172135352171············在杨辉三角的5行中,除去两端的数字1以外,行数5整除其余的所有数,你能找出具有类似性质的三行吗?这时行数P是什么样的数?第2行121第3行1331第7行172135352171P是素数杨辉三角研究3杨辉三角之探究3计算杨辉三角中各行数字的和,我们有第0行1第1行1+1=,第2行1+2+1=,第3行1+3+3+1=,第4行1+4+6+4+1=,第5行1+5+10+10+5+1=,第6行1+6+15+20+15+6+1=,············第n行+++···++···++=,0nC1nCrnC1nnC2nCnnC242n8163264即(a+b)n的展开式的各个二项式系数等于.2n杨辉三角研究4杨辉三角之探究4杨辉三角中与腰平行的第m条斜线(从右上到左下)上前n个数字的和,与第m+1条斜线上的第n个数有什么关系?第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561第7行172135352171············+++10相等关系一般有)(1121rnCCCCCrnrnrrrrrr证明公式)(1121rnCCCCCrnrnrrrrrr试用数学归纳法证明:(1)当n=2时,r=1,左边=右边=∴当n=2时等式成立(2)假设当n=k时等式成立,即当n=k+1时111112CC122112CC1121rkrkrrrrrrCCCCCrkrkrrrrrrCCCCC121111rkrkrkCCC这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知对于任意正整数n,等式都成立.证明:杨辉三角研究5杨辉三角之探究5杨辉三角中试写出斜行直线上数字的和,有什么规律?第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561第7行172135352171第7行18285670562881从第3个数起,任一个数是前2个数字的和,是斐波那契数列.有趣现象···················如图,在一块木版上钉一些正六棱柱形的小木块,在它们中间留下一些通道,从上面的漏斗直通到下面的长方形框子,前面用一块玻璃挡住.把小弹子倒在漏斗里,它会通过中间的一个通道落到第二层(有几个竖直通道就算第几层)的六棱柱上面,以后,落到第二层中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里边去.再以后,它又落到下一层的三个通道之一里边去······依此类推,最终落到最下边的长方形框子中.假设我们总共在木版上做了n+1层通道,在顶上的漏斗里一共放了颗弹子,让它们自由落下,落到下边的n+1个长方形框子里,那么落在每个长方形框子中的弹子数目(按照可能的情形来计算)会是多少?你能用学习过的排列组合与概率的知识解析这一现象吗?·nnnrnnnCCCC211121····················································································································································································································································································································网站建设