2010――2017年考研数学三真题及答案解析(精心整理)

2010年考研数学三真题与解析一.选择题1.若1])1(1[limxoxeaxx则a=A0B1C2D32.设21,yy是一阶线性非齐次微分方程)()(xqyxpy的两个特解，若常数,使21yy是该方程的解，21yy是该方程对应的齐次方程的解，则A21,21B21,21C31,32D32,323.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(xg若axg)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x取极大值的一个充分条件是A0)(afB0)(afC0)(afD0)(af4设1010)(,)(,ln)(xexhxxgxxf则当x充分大时有Ag(x)h(x)f(x)Bh(x)g(x)f(x)Cf(x)g(x)h(x)Dg(x)f(x)h(x)5设向量组线性表示，，，：，可由向量组sI21r21II,,:，下列命题正确的是：A若向量组I线性无关，则srB若向量组I线性相关，则rsC若向量组II线性无关，则srD若向量组II线性相关，则rs6.设A为4阶实对称矩阵，且02AA，若A的秩为3，则A相似于A0111B0111C0111D01117.设随机变量X的分布函数1,110,210,0)(xexxxFx，则P（X=1)=A0B21C121eD11e8.设)(1xf为标准正态分布概率密度，)(2xf为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若)0,0(0),(0),()(21baxxbfxxafxf为概率密度，则a,b满足：A2a+3b=4B3a+2b=4Ca+b=1Da+b=2二.填空题9.设可导函数y=y(x),由方程xyxtdttxdte020sin2确定，则____________0xdxdy10.设位于曲线)()ln1(12xexxy下方，x轴上方的无界区域为G，则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为____________11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为31p，其中p为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________12.若曲线123bxaxxy有拐点(-1,0),则b=_____________13.设A，B为3阶矩阵，且2,2,31BABA，则_________1BA14.设___________ET,1T)0)(,(N,,122321则计量的简单随机样本。记统是来自总体niiXnXXX三.解答题15.求极限xxxxln11)1(lim16.计算二重积分Ddxdyyx3)(，其中D由曲线21yx与直线围成及0202yxyx。17.求函数u=xy+2yz在约束条件10222zyx下的最大值和最小值。18.（1）比较1010),2,1(ln)1ln(lnndtttdtttnn与的大小，说明理由。（2）记10),2,1()1ln(lnndtttunn,求极限.limnnu19.设f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且)3()2()()0(220ffdxxff（1）证明：存在);0()(),2,0(ff使（2）证明：存在0)(),3,0(f使20.的通解。求方程组、）求（个不同的解。存在已知线性方程组设bAxabAxabA)2(.12.11,110101121.设0431410aaA，正交矩阵Q使得AQQT为对角矩阵，若Q的第一列为T)1,2,1(61，求a、Q.22.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为yxAeyxfyxyx,,),(2222求常数A及条件概率密度).(xyfXY23.箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3个。现从箱中随机地取出2个球，记X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数。（1）求随机变量（X,Y）的概率分布；（2）求Cov（X,Y）.2010年考研数学三之答案与解析答案：CABCADCA9.-110.4211)1(313ppe12.313.314.22三解答题15.解：1ln11ln2lnln)1(lim1lnln1limln1lnlimln)1ln(lim,0ln,,ln11limln)1ln(limlnlnexxxxxxxexexxxxxexexexxxxxxxxxxxxxxxxxx故而当16.解:1514)(3)321(21)3(2)3()33(101210104242232332232yyDDdyyydyyydxxyxdydxdyxyxdxdyyyxxyx原式17.解：55-550,55-,;55,).2,0,22(),2,0,22(),2,5,1(),2,5,1(),2,5,1(),2,5,1(,01002202202)10(2),,,(minmax222222uuuFEuCBuDAFEDCBAzyxFzyFyzxFxyFzyxyzxyzyxFzyx，所以。两点处；在两点处在两处因为在最可能的最值点令设18.0lim,0lnlim)1(111lnln.ln)]1[ln(ln0)1()2(.ln)]1[ln(ln,ln)]1[ln(ln,)1ln(,10)1(10102101010101010nnnnnnnnnnnnnnudtttndttntdttdtttdtttdtttudtttdtttttttttt从而知由因此，当解：19.0)(),3,0(),,0)(,0)(0,30),()()0().0()(),0(2)3()2(.2)3()2()(],3,2[]3,2[)(2)3()2()2().0()(),0(2)()(2)(),(2)(2)0()2(20).0()2()(),20()()()1(2121212020200ffffffffffffffxffffffdxxffdxxffFFFFFdxxfxdttfxFx使得（从而存在），使，（），，（根据罗尔定理，存在且由于故由题设知使存在值定理，间，根据连续函数的介上的最小值与最大值之在介于故由题设知即），使，（，存在根据拉格朗日中值定理则设证：20.解：为任意常数。其中的通解为所以时，当有解，（变换的增广矩阵施以初等行时，对当舍去。所以时，因为当。或于是的一个非零解，故是个不同的解，则的为设kkxbAxBaabAxBaabAbAxbAxbArArAAxbAx,10101321,021230000101012,1)2(.22212300001010111111020111),1-,),,()(11-1,0)1()1(0-2,)1(2212121为所求矩阵。故则有令），，（的一个单位特征向量为属于特征值），，（的一个单位特征向量为属于特征值的特征值为所以的特征多项式由于解得的一个特征向量，于是为），，解：由题设，（QAQQQAAEAaaaAATTT,452,21316103162213161101214;11-1315.4,5,2),4)(5)(2(.2,1,121121043141012112111T22..,1111)(),()(),(.1,)(1,,),()(22222222222222)(222)()(22yeeeexfyxfxyfxAAdxeAdxxfxeAdyeAedyeAdyeAdyyxfxfyxyxyxxyxyxXXYxXxxyxxxyyxyxX时，当从而所以解：因23.解：（1）随机变量（X，Y）的概率分布为：XY01201/52/51/1511/52/150(2).4543231152)(),(.152)(.3215121581520,151}2{,158}1{,52}0{31311320,31}1{,32}0{EYEXXYEYXCovXYEEYYPYPYPEXXPXP所以又所以，因为。所以因为2011年考研数学三试题及解析一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．)(1)已知当0x时，()3sinsin3fxxx与kcx是等价无穷小，则()(A)1,4kc.(B)1,4kc.(C)3,4kc.(D)3,4kc.(2)已知函数()fx在0x处可导，且(0)0f，则23302limxxfxfxx=()(A)20f.(B)0f.(C)0f.(D)0.(3)设nu是数列，则下列命题正确的是()(A)若1nnu收敛，则2121()nnnuu收敛.(B)若2121()nnnuu收敛，则1nnu收敛.(C)若1nnu收敛，则2121()nnnuu收敛.(D)若2121()nnnuu收敛，则1nnu收敛.(4)设40lnsinIxdx，40lncotJxdx，40lncosKxdx，则,,IJK的大小关系是()(A)IJK．(B)IKJ．(C)JIK．(D)KJI．(5)设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P，2100001010P，则A()(A)12PP．(B)112PP．(C)21PP．(D)121PP．(6)设A为43矩阵，123,,是非齐次线性方程组Ax的3个线性无关的解，12,kk为任意常数，则Ax的通解为()(A)23121()2k．(B)23121()2k．(C)23121231()()2kk．(D)23121231()()2kk．(7)设1()Fx，2()Fx为两个分布函数，其相应的概率密度1()fx，2()fx是连续函数，则必为概率密度的是()(A)12()()fxfx．(B)212()()fxFx．(C)12()()fxFx．(D)1221()()()()fxFxfxFx．(8)设总体X服从参数为(0)的泊松分布，12,,,(2)nXXXn为来自总体X的简单随机样本，则对应的统计量111,niiTXn121111niniTXX