案例111运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程

11973年，美国芝加哥大学教授FischerBlack&MyronScholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年，RobertC.Merton独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。在本章中，我们将循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（下文简称B-S-M模型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。2我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化规律。在了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来复制期权，并以此为依据给期权定价。在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思想。3市场有效理论与随机过程1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息。1、弱式效率市场假说2、半强式效率市场假说3、强式效率市场假说根据众多学者的实证研究，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。一般认为，弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程（MarkovStochasticProcess）是内在一致的。因此我们可以用数学来刻画股票的这种特征。有效市场三个层次4布朗运动（BrownianMotion）起源于英国植物学家布郎对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。对于标准布朗运动来说：设代表一个小的时间间隔长度，代表变量z在时间内的变化，遵循标准布朗运动的具有两种特征：特征1：和的关系满足：=其中，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值。特征2：对于任何两个不同时间间隔，的值相互独立。ttzzzttzzt5bdzadtdx将标准布郎运动扩展我们将得到普通布郎运动，令漂移率为a，方差率为b2，我们就可得到变量x的普通布朗运动：标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移率为0，方差为1的普通布郎运动。6普通布朗运动的离差形式为，显然，Δx也具有正态分布特征，其均值为，标准差为，方差为tbtaxtatbtb21、显然，遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程，其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a。第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为aT，标准差为，方差为b2T。Tb7普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就可以得到这就是伊藤过程（ItoProcess）。其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。dztxbdttxadx),(),(8在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。9案例11.1运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程假设变量S服从其中μ和σ都为常数，则lnS遵循怎样的随机过程？由于μ和σ是常数，S显然服从，的伊藤过程，我们可以运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程。令，则代入式我们就可得到所遵循的随机过程为由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续复利收益率服从期望值，方差为的正态分布。dSSdtSdz(,)aStS(,)bStSSGln0,1,1222tGSSGSSGbdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222SGln2ln()2dGdSdtdz2()2dt2dt**随机微积分与非随机微积分的差别lndSdSS10一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、方差率为S2的伊藤过程（即几何布朗运动）来表示：2dSSdtSdz之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个：一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布，这与实际较为吻合。11从案例11.1我们已经知道，如果股票价格服从几何布朗运动，则有从自然对数的定义域可知，S不能为负数。另外从上式可以看出，股票价格的对数服从普通布朗运动，因为它具有恒定的漂移率和恒定的方差率。由前文的分析可知，当一个变量服从普通布朗运动时，其在任意时间长度T-t内的变化值都服从均值为、方差为的正态分布。也就是说，2ln()2dGdSdtdz2/22bdzadtdxaTt22bTt]),)([(~lnln22tTtTSST12由上一页的推导可知证券价格对数服从正态分布。如果一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态分布。这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布的特性，以及符号的定义，我们可以得到和)()(tTTSeSE]1[)var()()(222tTtTTeeSS实际上就是股票价格在T－t期间的连续复利收益率，则T－t期间年化的连续复利收益率可以表示为，从式（11.9）可知随机变量服从正态分布SSTlnlnlnlnTSSTt22~[(),]Tt13:1、几何布朗运动中的期望收益率。2、根据资本资产定价原理，取决于该证券的系统性风险、无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素，因此其决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率是无关的。3、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收益率则是算术平均的结果。2/2141、证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准差2、一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。在计算中，一般来说时间距离计算时越近越好；时间窗口太短也不好；一般来说采用交易天数计算波动率而不采用日历天数。:15当股票价格服从几何布朗运动时，由于衍生证券价格G是标的证券价格S和时间t的函数G(S,t)，根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：比较（11.1）和（11.11）可看出，衍生证券价格G和股票价格S都受同一个不确定性来源dz的影响，这点对于以后推导衍生证券的定价公式很重要。SdzSdtdSSdzSGdtSSGtGSSGdG)21(222216假设：1、证券价格遵循几何布朗运动，即和为常数；2、允许卖空标的证券；3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的；4、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；5、存在无风险套利机会；6、证券交易是连续的，价格变动也是连续的；7、衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。17由于证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：其在一个小的时间间隔中，S的变化值为：在一个小的时间间隔中，f的变化值为：zStSSSdzSfdtSSftfSSfdf)21(2222zSSftSSftfSSff)21(2222设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，根据伊藤引理可得：SdzSdtdSStf18为了消除风险源，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。令代表该投资组合的价值，则：zSfffSx在时间后，该投资组合的价值变化为：ffSSt代入和可得fStSSftf)21(222219tSSftf)21(2222中不含任何风险源，因此组合必须获得无风险收益，即tr代入上式可得tSSffrtSSftf)()21(2222化简为rfSfSSfrStf222221**这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。20观察布莱克－舒尔斯微分方程，我们可以发现，受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。尽管这只是一个人为的假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。在风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。21假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。风险中性定价原理的应用22为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于(11－0.5)元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着：11－0.5=9=0.25因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。23假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为：由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此：这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。元19.225.225.01.0e元31.019.225.010ff24从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的概率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。例如，在风险中性世界中，无风险利率为10%，则股票上升的概率P可以通过下式来求：0.10.2510[119(1)]ePPP=62.66%。25又如，如果在现实世界中股票的预期收益率为15%，则股票的上升概率可以通过下式来求：0.150.2510[119(1)]ePPP=69.11%。可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率，而股票的预期收益率决定了股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，从而无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于0.31元。26在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为：)]0,[max(XSET其中，表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价格c等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即：)]0,[max()(XSEecTtTrE27对右边求值是一种积分过程，结果为：其中，)()(2)(1dNXedSNctTrtTdtTt