13.二分法求函数近似零点

教学目标：教学重点：用二分法求方程的近似解教学难点：二分法求方程近似解的算法掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借助计算机或计算器求方程的近似解；理解二分法求方程近似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系；培养学生利用现代信息技术和计算工具的能力；培养学生探究问题的能力与合作交流的精神，以及辩证思维的能力；鼓励学生大胆探索，激发学生学习数学的兴趣，培养学生探寻和欣赏数学美，形成正确的数学观.用二分法求方程的近似解中学电视台“幸运52”录制现场有奖竞猜问题情境(提出问题)请同学们猜一猜某物品的价格问题1．能否求解以下几个方程(1)2x=4-x(2)x2-2x-1=0(3)x3+3x-1=0问题2．不解方程,能否求出方程(2)的近似解？指出：用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解，但此法不能运用于解另外两个方程.学生活动意义建构(体验数学、感知数学)由图可知：方程x2-2x-1=0的一个根x1在区间(2,3)内，另一个根x2在区间(-1,0)内．xy1203y=x2-2x-1-1画出y=x2-2x-1的图象(如图)结论：借助函数f(x)=x2-2x-1的图象，我们发现f(2)=-10,f(3)=20，这表明此函数图象在区间(2,3)上穿过x轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有惟一解.问题3．不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解（精确到0.1）?思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？由于2.375与2.4375的近似值都为2.4,停止操作,所求近似解为2.4。数离形时少直观，形离数时难入微！2-3+xy1203y=x2-2x-1-12-3+2.5+2.25--2.375-2-3+2.25-2.5+2.375-2.4375+2-2.5+3+232.52-3+2.5+2.25-22.52.25由于2.375与2.4375的近似值都为2.4,停止操作,所求近似解为2.4。1．简述上述求方程近似解的过程x1∈(2,3)∵f(2)0,f(3)0x1∈(2,2.5)∴f(2)0,f(2.5)0x1∈(2.25,2.5)∴f(2.25)0,f(2.5)0x1∈(2.375,2.5)∴f(2.375)0,f(2.5)0x1∈(2.375,2.4375)∴f(2.375)0,f(2.4375)0∵f(2.5)=0.250∵f(2.25)=-0.43750∵f(2.375)=-0.23510∵f(2.4375)=0.1050通过自己的语言表达，有助于对概念、方法的理解!∵2.375与2.4375的近似值都是2.4,∴x1≈2.4解：设f(x)=x2-2x-1，x1为其正的零点对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的方法叫做二分法．数学理论(建立数学)问题5：二分法实质是什么？用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近思想逐步缩小零点所在的区间。问题4．如何描述二分法？例题：利用计算器，求方程2x=4-x的近似解（精确到0.1）怎样找到它的解所在的区间呢？在同一坐标系内画函数y=2x与y=4-x的图象（如图）能否不画图确定根所在的区间？方程有一个解x0∈(0,4)如果画得很准确，可得x0∈(1,2)数学运用(应用数学)解：设函数f(x)=2x+x-4则f(x)在R上是增函数∵f(0)=-30,f(2)=20∴f(x)在(0,2)内有惟一零点，∴方程2x+x-4=0在(0,2)内有惟一解x0.由f(1)=-10,f(2)=20得：x0∈(1,2)由f(1.5)=0.330,f(1)=-10得：x0∈(1,1.5)由f(1.25)=-0.370,f(1.5)0得：x0∈(1.25,1.5)由f(1.375)=-0.0310,f(1.5)0得：x0∈(1.375,1.5)由f(1.4375)=0.1460,f(1.375)0得：x0∈(1.375,1.4375)∵1.375与1.4375的近似值都是1.4,∴x0≈1.4问题6：能否给出二分法求解方程f(x)=0(或g(x)=h(x))近似解的基本步骤？1．利用y＝f(x)的图象，或函数赋值法(即验证f(a)•f(b)＜0)，判断近似解所在的区间(a,b).；2．“二分”解所在的区间，即取区间(a,b)的中点21bax3．计算f(x1)：(1)若f(x1)＝0，则x0＝x1；(2)若f(a)•f(x1)＜0，则令b＝x1(此时x0∈(a,x1));(3)若f(a)•f(x1)＜0，则令a＝x1(此时x0∈(x1,b)).；4．判断是否达到给定的精确度，若达到，则得出近似解；若未达到，则重复步骤2～4．练习1：求方程x3+3x-1=0的一个近似解(精确到0.01)画y=x3+3x-1的图象比较困难，变形为x3=1-3x，画两个函数的图象如何？知识拓展介绍如何利用excel来帮助研究方程的近似解？xy10y=1-3xy=x31有惟一解x0∈(0,1)excel练习2:下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是（）Cxy0xy0xy0xy0问题7:根据练习2，请思考利用二分法求函数零点的条件是什么？1.函数y=f(x)在[a,b]上连续不断．2.y=f(x)满足f(a)f(b)0，则在(a,b)内必有零点.思考题从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查几个接点？123456789101112131415回顾反思(理解数学)课堂小结1.理解二分法是一种求方程近似解的常用方法．2.能借助计算机(器)用二分法求方程的近似解，体会程序化的思想即算法思想．3.进一步认识数学来源于生活，又应用于生活．4.感悟重要的数学思想：等价转化、函数与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼近的思想.