配方法与正定二次型

教学目的掌握二次型及标准型定义，掌握二次型的矩阵表达式，理解合同矩阵定义与性质，理解二次型化成标准型的基本原理和方法，会用配方法化二次型为标准型作业重点二次型化成标准型练习册第39页－41页第10题至第13题难点同上讲授方法讲练结合讲授内容主线对称矩阵对角化方法－二次型及矩阵形式－标准型、合同矩阵与性质－化标准型的基本方法－练习－配方法练习时间安排复习对称矩阵对角化方法：15分钟；二次型概念：15分钟；合同矩阵及性质：30分钟；二次型化标准型方法：35分钟；机动：5分钟班级：时间：年月日；星期第十五讲：配方法与正定二次型第十五讲：配方法与正定二次型本次课讲完大纲规定全部内容，下次课进行全书总结并讲授一套模拟训练题本次上课交作业P49—P50,T20可暂不做，课堂上讲第十五讲：配方法与正定二次型23223212145)2(2xxxxxx232223223232121452]2)2(2[xxxxxxxxxx23322223218442xxxxxxx2323322223219])2(22[2xxxxxxxx232322321922xxxxxx解:31212322214245xxxxxxxf例1化二次型31212322214245xxxxxxxf成标准型，并求所用的变换矩阵.一、配方法化标准型1002121025211P)0(P标准型为:2322219yyyf令32112xxxy3222xxy33xy33yx3222121yyx32112521yyyx即第十五讲：配方法与正定二次型第十五讲：配方法与正定二次型例2化二次型32312123222162252xxxxxxxxxf成标准型，并求所用的变换矩阵.解32232231212165222xxxxxxxxxf2321xxx3223222xxxx322322652xxxx322322232144xxxxxxx23223212xxxxx令3211xxxy3222xxy33xy即33yx3222yyx3211yyyx就把f化成标准形2221yyf所用变换矩阵为,100210111P（|P|=1≠0）第十五讲：配方法与正定二次型二、正定二次型的概念定理11设有实二次型,fAxxT它的秩为r，有两个实可逆变换Cyx及Pzx使02222211irrkykykykf02222211irrzzzf及则中正数的个数与中正数的个数相等.rkkk,,,21r,,,21这个定理称为惯性定理.1.惯性定理：第十五讲：配方法与正定二次型称为负惯性指数负（含零）系数的个数称为正惯性指数，记为标准化后正系数的个数p第十五讲：配方法与正定二次型该定理说明了：（1）二次型的标准形不是唯一的，但标准形中所含的项数是确定的（即是二次型的秩）。（2）在限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数（即正惯性指数）是不变的，同理，负惯性指数也不变（3）在二次型标准化的各类变换中，通过练习已知，一种典型的变换是正交变换，变换后标准型的系数恰好是特征值。根据惯性定理，所有特征值中，正特征值的个数等于正惯性指数，负（含零）特征值个数等于负惯性指数2.正定二次型的定义：定义9设有实二次型,AxxxfT如果对任何，0x都有xf0（显然f(0)=0），则称f为正定二次型，并称对称矩阵A是正定的；如果对任何，0x都有0xf则称为负定二次型,并称对称矩阵A是负定的.三、正定二次型的判定方法：1.标准型系数法：定理12实二次型f正定的充分必要条件是：它的标AxxT准形的n个系数全为正.第十五讲：配方法与正定二次型推论对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正分析：由于二次型可合同为标准型，标准型的系数即组成了对角矩阵，主对角线的元素是由特征值构成的，所以特征值即标准型系数，由以上定理即可得出结论。3.主子式判定方法：（1）什么是主子式阶行列式、、开始，依次计算的沿主对角线，从na211122211211aaaa,nnnnnnaaaaaaaaa2122221112111111aa阶主子式分别称为n,2,12.特征值判定方法第十五讲：配方法与正定二次型（2）主子式判定定理定理13对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正，即,011a,022211211aaaa,;0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa例4:判断二次型是否正定312123222144756xxxxxxxf解:702052226A0611a03452260162702052226所以正定第十五讲：配方法与正定二次型。，使得矩阵是存在可逆为正定的充分必要条件证明对称矩阵,4.UUAUAT第十五讲：配方法与正定二次型TnnTnTTTinPPPPPPAPPPPAAPPAPPnidiagPA1111121:..,,2,1,0),,,(即使得：，矩阵，与对角交矩阵对称且正定，则存在正必要性：设第十五讲：配方法与正定二次型为正定二次型即即可逆，，为可逆矩阵，充分性：设AxxffqUxUxqqqqqxfqqqqxUUxUxUxUxAxxxfUUAUTnTnnnnnTTTTT0,0,0,00)(,,)()()(222212111结论成立。则：令.,111UUAPUPPTTnTnn4.负定判定方法：对称矩阵A为负定的充分必要条件是：A的奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即.21,01212222111211,n,,raaaaaaaaarrnnrrr这个定理称为霍尔维茨定理.例5判别二次型的正定性.xzxyzyxf44465222解,402062225A;0511a622522211211aaaa;026A,080所以f为负定的.第十五讲：配方法与正定二次型例6设二次型是正定的,则322123222122xtxxxxxxft().解:120211012ttA0221A0111122A02112021101223tttA22t第十五讲：配方法与正定二次型第十五讲：配方法与正定二次型。则：设即：使得：正交，在的特征值全为正。且存正定，证：（－)1,,1(),,,(..)(.1)1111111111nndiagdiagPAPAPPAPPPAA正定。特征值均为正，即。为：的相同，的特征值与相似，与111111.,,2,1,01,01,,1AniAAiin也为正定矩阵。阶正定矩阵，则均为与）（也正定；与正定，则）试证：（)(21.25*1BAnBAAAA第十五讲：配方法与正定二次型.,,1,.,11*1*11111**niAAAAAAPAPAPAAPAAAEAAAi特征值相同，为：相似。与，即：即：定。的特征值均为正，即正正定*.,,1,0,0,0,AniAAAii,)()(;,,,22521BxxAxxxBAxxfBxxfAxxfTTTTT则）证：设（正定。正定，、BAxfxfxfBxxxfAxxxfxBATT.0)()()(0)(,0)(,2121.,1,1,163363.151ApAT求特征向量为对应的。特征值，，的特征值为阶实对称矩阵设解设,,36321由于实对称矩阵对于不同特征值对应的特征向量互相正交,则对应于的特征向量满足方程:32,32pp,0,xTp1即,,,0111321xxx.0321xxx得基础解系.101,01132PP1212101121101],[],[,01111113321pp正交化第十五讲：配方法与正定二次型36033662233662233,366666,02222,333333321PP正交矩阵将正交向量单位化并得6203262332623326136033662233662233＝P第十五讲：配方法与正定二次型626602323323232660312632931263293123616266023233232323000300066203262332623323611TPPPPA411141114144363636144363636144361第十五讲：配方法与正定二次型PAAPPAAPPAA对角化求出的即将础解非对称，求三个无关基明，不具体求解：提示：只对本题进行说求设,,.,340430241.17110010011005,5,1,0340430241321EA110210211,122,111,0010)5(,0)5(,0)(321PpppxEAxEAxEA得到求出各一个基础解分别解第十五讲：配方法与正定二次型10010010010010010011001001530005305445)1(1331110210413)5(00050001110210211,PPAAPP11021041331,0,1102102111PPP求出第十五讲：配方法与正定二次型第十五讲：配方法与正定二次型,1;,11.,,1.2022221nTTTTTTyyyyxyyPyPyxxEPPPyxPAxAxxf即且：则：为证：令对角化正交变换的最大特征值。时的最大值为方阵在证明：二次型.,),,2,1(),,2,1(.)()(12122221121221211222221112222211＝）（则中即特征值中的最大者为设的特征值为其中yyyyyyyyyyfniAniyyyPyfxfnnnniinn第十五讲：配方法与正定二次型时的一个值在为二项式，即且则取1001],[)()(1,0,0,1,1122