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1题型五圆的综合题针对演练1.如图,AB是⊙O的弦,AB=4,过圆心O的直线垂直AB于点D,交⊙O于点C和点E,连接AC、BC、OB,cos∠ACB=13,延长OE到点F,使EF=2OE.(1)求证:∠BOE=∠ACB;(2)求⊙O的半径;(3)求证:BF是⊙O的切线.第1题图2.如图,AB为⊙O的直径,点C为圆外一点,连接AC、BC,分别与⊙O相交于点D、点E,且ADDE,过点D作DF⊥BC于点F,连接BD、DE、AE.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)试判断△DEC的形状,并说明理由;(3)若⊙O的半径为5,AC=12,求sin∠EAB的值.第2题图233.(2016长沙9分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC为⊙O的直径,过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB,DC,DF.(1)求∠CDE的度数;(2)求证:DF是⊙O的切线;(3)若AC=25DE,求tan∠ABD的值.第3题图4.(2016德州10分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AE平分∠BAC交⊙O于点E,交BC于点D,过点E作直线l∥BC.(1)判断直线l与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F,求证:BE=EF;(3)在(2)的条件下,若DE=4,DF=3,求AF的长.第4题图45.(2015永州)如图,已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC,直径AD交BC于点E,F是OE上的一点,使CF∥BD.(1)求证:BE=CE;(2)试判断四边形BFCD的形状,并说明理由;(3)若BC=8,AD=10,求CD的长.第5题图6.(2015省卷24,9分)⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,过BC的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D,连接AG,CP,PB.(1)如图①,若D是线段OP的中点,求∠BAC的度数;(2)如图②,在DG上取一点K,使DK=DP,连接CK,求证:四边形AGKC是平行四边形;(3)如图③,取CP的中点E,连接ED并延长ED交AB于点H,连接PH,求证:PH⊥AB.第6题图57.(2017原创)如图,AB切⊙O于点B,AD交⊙O于点C和点D,点E为DC的中点,连接OE交CD于点F,连接BE交CD于点G.(1)求证:AB=AG;(2)若DG=DE,求证:GB2=GC·GA;(3)在(2)的条件下,若tanD=34,EG=10,求⊙O的半径.第7题图8.(2015达州)在△ABC的外接圆⊙O中,△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D,F为AD上一点,且AFBC,连接DF,并延长DF交BA的延长线于点E.(1)判断DB与DA的数量关系,并说明理由;(2)求证:△BCD≌△AFD;(3)若∠ACM=120°,⊙O的半径为5,DC=6,求DE的长.6第8题图9.如图,AB为⊙O的直径,P是BA延长线上一点,PC切⊙O于点C,CG是⊙O的弦,CG⊥AB,垂足为点D.(1)求证:△ACD∽△ABC;(2)求证:∠PCA=∠ABC;(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E,交CG于点F,连接BE,若sinP=35,CF=5,求BE的长.第9题图710.(2016大庆9分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M,若H是AC的中点,连接MH.(1)求证:MH为⊙O的切线;(2)若MH=32,tan∠ABC=34,求⊙O的半径;(3)在(2)的条件下分别过点A、B作⊙O的切线,两切线交于点D,AD与⊙O相切于N点,过N点作NQ⊥BC,垂足为E,且交⊙O于Q点,求线段NQ的长度.第10题图11.如图,△ABC为⊙O的内接三角形,P为BC延长线上一点,∠PAC=∠B,AD为⊙O的直径,过C作CG⊥AD交AD于E,交AB于F,交⊙O于G.(1)判断直线PA与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)求证:AG2=AF·AB;(3)若⊙O的直径为10,AC=25,AB=45,求△AFG的面积.第11题图812.(2016鄂州10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AO是△ABC的角平分线,以O为圆心,OC为半径作⊙O.(1)求证:AB是⊙O的切线;(2)已知AO交⊙O于点E,延长AO交⊙O于点D,tanD=12,求AEAC的值;(3)在(2)的条件下,设⊙O的半径为3,求AB的长.第12题图【答案】1.(1)证明:如解图,连接OA,9第1题解图∵CE⊥AB,∴AD=BD=2,AEBE,∴∠ACE=∠BCE,∠AOE=∠BOE,又∵∠AOB=2∠ACB,∴∠BOE=∠ACB;(2)解:∵cos∠ACB=13,∴cos∠BOD=13,在Rt△BOD中,设OD=x,则OB=3x,∵OD2+BD2=OB2,∴x2+22=(3x)2,解得x=22,∴OB=3x=322,即⊙O的半径为322;(3)证明:∵FE=2OE,∴OF=3OE=922,∴OBOF=13,∵ODOB=13,∴OBOF=ODOB,∵∠BOF=∠DOB,∴△OBF∽△ODB,∴∠OBF=∠ODB=90°,即OB⊥BF,∵OB是⊙O的半径,∴BF是⊙O的切线.2.(1)证明:如解图,连接DO,交AE于点G,则DO=BO,10第2题解图∴∠ABD=∠ODB,∵ADDE,∴∠ABD=∠EBD,∴∠ODB=∠EBD,∴DO∥BC,∴∠ODF=∠CFD,∵DF⊥BC,∴∠CFD=90°,∴∠ODF=90°,即OD⊥DF,又∵OD为⊙O的半径,∴DF是⊙O的切线;(2)解:△DEC是等腰三角形,理由如下:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=∠CDB=90°,又∵BD=BD,∠ABD=∠EBD,∴△ABD≌△CBD(ASA),∴AD=CD.∵ADDE,∴AD=DE,∴CD=DE,∴△DEC是等腰三角形;(3)解:由(2)可知AD=12AC=6,∵ADDE,∴OD⊥AE,∠ABD=∠DAE,∴sin∠DAE=DGAD.在Rt△ADB中,sin∠ABD=ADAB=610,∴DG6=610,∴DG=3.6,∴OG=OD-DG=1.4,11∴在Rt△AGO中,sin∠EAB=OGOA=1.45=725.3.(1)解:∵AC为⊙O的直径,∴∠ADC=90°,∴∠CDE=90°;………………………………………………(2分)第3题解图(2)证明:如解图,连接OD,∵∠CDE=90°,F为CE中点,∴DF=12CE=CF,∴∠FDC=∠FCD.又∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD,∴∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠FCD,∴∠ODF=∠OCF,∵EC⊥AC,∴∠OCF=90°,∴∠ODF=90°,即OD⊥DF,又∵OD为⊙O的半径,∴DF为⊙O的切线;…………………………………………(5分)(3)解:在△ACD与△ECA中,∵∠ADC=∠ACE=90°,∠EAC=∠CAD,∴△ACD∽△AEC,∴ACAE=ADAC∴AC2=AD·AE,又∵AC=25DE,∴20DE2=(AE-DE)·AE∴AE=5DE,∴AD=4DE,∵在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2,∴CD=2DE,又∵在⊙O中,∠ABD=∠ACD,∴tan∠ABD=tan∠ACD=ADCD=2.…………………………(9分)4.(1)解:直线l与⊙O相切.理由如下:如解图,连接OE、OB、OC.12第4题解图∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE,∴BECE,∴∠BOE=∠COE,又∵OB=OC,∴OE⊥BC,∵l∥BC,∴OE⊥l,又∵OE为⊙O的半径,∴直线l与⊙O相切;…………………………………………(3分)(2)证明:∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF,又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE,∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF.又∵∠EBF=∠CBE+∠CBF,∠EFB=∠BAE+∠ABF,∴∠EBF=∠EFB,∴BE=EF;……………………………………………………(6分)(3)解:∵BE=EF,DE=4,DF=3,∴BE=EF=DE+DF=7,∵BECE,∴∠DBE=∠BAE,∵∠DEB=∠BEA,∴△BED∽△AEB,∴DEBE=BEAE,即47=7AE,解得AE=494,…………………………………………………(9分)∴AF=AE-EF=494-7=214.………………………………(10分)5.(1)证明:∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD=∠ACD=90°,在Rt△ABD和Rt△ACD中,AB=ACAD=AD,∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),13∴∠BAD=∠CAD,∵AB=AC,∴AD垂直平分BC,∴BE=CE;(2)解:四边形BFCD是菱形.理由如下:∵AD是⊙O的直径,AB=AC,∴AD⊥BC,BE=CE,∵CF∥BD,∴∠FCE=∠DBE,在△BED和△CEF中,∠DBE=∠FCEBE=CE∠BED=∠CEF=90°,∴△BED≌△CEF(ASA),∴BD=CF,∴四边形BFCD是平行四边形,∵∠BAD=∠CAD,∴BD=CD,∴四边形BFCD是菱形;(3)解:∵AD是⊙O的直径,AD⊥BC,BE=CE,∴∠ECD=∠CAE,∵∠AEC=∠DEC=90°,∴Rt△CDE∽Rt△ACE,∴DECE=CEAE,∴CE2=DE·AE,设DE=x,则AE=AD-DE=10-x,∵BC=8,∴CE=12BC=4,∴42=x(10-x),解得x=2或x=8(舍去),在Rt△CED中,CD=CE2+DE2=42+22=25.6.(1)解:∵点P为BC的中点,PG为⊙O的直径,∴BP=PC,PG⊥BC,CD=BD,∴∠ODB=90°,∵D为OP的中点,∴OD=12OP=12OB,∴∠OBD=30°,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,14∴∠BAC=60°;………………………………………………(3分)(2)证明:由(1)知,CD=BD,在△PDB和△KDC中,BD=CD∠BDP=∠CDKDP=DK,∴△PDB≌△KDC(SAS),∴BP=CK,∠BPO=∠CKD,∵∠AOG=∠BOP,∴AG=BP,∴AG=CK,∵OP=OB,∴∠OBP=∠BPO,又∵∠G=∠OBP,∴∠G=∠BPO=∠CKD,∴AG∥CK,∴四边形AGKC是平行四边形;……………………………(6分)(3)证明:∵CE=PE,CD=BD,∴DE∥PB,即DH∥PB,∵∠G=∠BPO,∴PB∥AG,∴DH∥AG,∴∠OAG=∠OHD,∠G=∠ODH.∵OA=OG,∴∠OAG=∠G,∴∠ODH=∠OHD,∴OD=OH,在△OBD和△OPH中,OD=OH∠DOB=∠HOPOB=OP,∴△OBD≌△OPH(SAS),∴∠OHP=∠ODB=90°,∴PH⊥AB.……………………………………………………(9分)7.(1)证明:如解图,连接OB,第7题解图∵AB为⊙O的切线,∴OB⊥AB,∴∠ABG+∠OBG=90°,∵点E为DC的中点,15∴OE⊥CD,∴∠OEG+∠FGE=90°,又∵OB=OE,∴∠OBG=∠OEG,∴∠ABG=∠FGE,∵∠BGA=∠FGE,∴∠ABG=∠BGA,∴AB=AG;(2)证明:如解图,连接BC,∵DG=DE,∴∠DGE=∠DEG,由(1)得∠ABG=∠BGA,又∵∠BGA=∠DGE,∴∠A=∠GDE,∵∠GBC=∠GDE,∴∠GBC=∠A,∵∠BGC=∠AGB,∴△GBC∽△GAB,∴GBGA=GCGB,∴GB2=GC·GA;(3)解:如解图,连接OD,∵在Rt△DEF中,tan∠EDF=EFDF=34,∴设EF=3x,则DF=4x,由勾股定理得DE=5x,∵DG=DE,∴DG=5x,∴GF=DG-DF=x.在Rt△EFG中,由勾股定理得GF2+EF2=EG2,即x2+(3x)2=(10)2,解得x=1,设⊙O半径为r,在Rt△ODF中,OD=r,OF=r-3,DF=4,由勾股定理得OF2+FD2=OD2,即(r-3)2+42=r2,解得r=256,∴⊙O的半径为256.8.(1)解:DB=DA.理由如下:∵CD平分∠
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