第二章函数与极限

第二章函数与极限第二章函数与极限n元线性方程组与矩阵1函数的概念与性质1n元线性方程组与矩阵1极限2n元线性方程组与矩阵1函数的连续性3第二章函数与极限1.了解初等函数的概念，会建立简单的经济函数关系；2.掌握函数极限的运算法则，会求函数的极限；3.会求函数的连续区间和间断点。1学习目标★第二章函数与极限【经济问题2-1】若投资可行，总投资相当于多少万元？一位营销主管，年薪4万元。欲将自己名下一处价值15万元的商住房出售，建一家便利商店，自己经营。并做了一个预期的年度损益表（单位：元）：销售收益120000减：售出货物的成本50000各种税费与门面租金30000净利润40000而他的一位经济学朋友从经营便利店的机会成本的角度,建议他用商住房作为抵押向银行申请贷款，可得到的贷款，将这笔贷款进行再次投资，并且又将投资作为抵押品向银行贷款，得到相当于新抵押品的贷款，如此反复扩大再投资……。试问:若投资可行，总投资相当于多少万元？第一节函数的概念与性质一、函数的概念xy其中变量称为自变量，变量称为，内，任意取一个数和定义2·1设在某一变化过程中有两个变量xyxDyfyx如果当变量在实数的某一范围值时，变量按照某种对应法则与之对应，则称是函数，，的有惟一确定的值因变量。)(xfyDx，记作第一节函数的概念与性质其中变量、称为自变量，变量称为因变量。、在平面的某一范围、果当变量、和，如在某一变化过程中有三个变量xyzxyDDyxP),(zyx,推广：内，对于每个点，变量按照一定的法则总有唯一确定的是变量的二元函数，值和它对应，则称xyz),(yxfz)(Pfz（或记为）记为第一节函数的概念与性质)42ln(31)(xxxf04203xx23xx)3,2(解：因为，即，。225)(xxf例1求下列函数的定义域。⑴⑵所以函数定义域为0252x55x]5,5[D解：因为根据偶次根式的性质有，解得所以此函数定义域为。，第一节函数的概念与性质)(00xx，0x邻域的概念：的0x为点邻域，简称点的邻域。为正数，称为邻域的半径。我们称开区间第一节函数的概念与性质在不同的范围内用不同的解析式表示的函数030)(2xxxxf注意，分段函数的定义域为各段自变量取值分段函数：成为分段函数。如:集合的并集。第一节函数的概念与性质]2,1(35343)34(,11)1(,23121)21(2fff解（1）函数的定义域为,（2）)1(21,310,01,1)(2xxxxxxxf)2()34(),1(),21(fff例2设分段函数求此函数的定义域并作出草图；求的值。yx2211-1-1-2-2（二）函数的单调性第一节函数的概念与性质二、函数的性质（一）函数的奇偶性（三）函数的周期性（四）函数的有界性yfxDMxDfxMfxD在集合存在一个正数，对于所有的，恒有，则称函数在上是有界的。定义2·5设函数上有定义，如果第一节函数的概念与性质轴的直线)(xfyxMyMy有界函数的图像必介于两条平行于和之间（如图所示）。第一节函数的概念与性质)]([xfyu（一）基本初等函数（二）复合函数yx数，称为的复合函数，其中叫中间变量。三、初等函数是通过变量与之对应，则的函数yu)(ufyux)(xuxuyyux，又是函数，如果对于自变量的取值，通过有惟一的构成定义2·6设的的函记作第一节函数的概念与性质uysin45xu和复合而成的。是由)45sin(xy解函数)45sin(xy例3指出复合函数是由哪些简单函数复合而成的。由基本初等函数经有限次四则运算或有限次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数叫初等函数。不是初等函数分析:不满足有限次运算也不是初等函数分析:不能用一个解析式子表示第一节函数的概念与性质321xxxy0ln0,3xxxyx（三）初等函数第一节函数的概念与性质)(PQQDD)0,0(babPaQD)0,0,0(2cbacPbPaQD)0,0(baaeQbPD四、经济函数模型需求函数的几种类型：1.线性需求函数2.二次需求函数3.指数需求函数需求函数：（一）需求函数与供给函数模型第一节函数的概念与性质0Q0PQPPQDPQS)(PQQSS供给函数：dPcQS)0;0(dc线性供给函数当市场的需求量与供给量持平时，称为供需平衡。此时的价格称为供需平衡价格或均衡价格，记为0P0Q；需求量称为均衡量，记为。例4市场调查显示，某商品当售价为每件70元时，市场需求量为1万件，若该商品每件降低3元时，需求量将增加0.3万件，试求该商品的需求函数。解设调整后的价格为，则由题意知第一节函数的概念与性质PPPQD1.083.03701（二）成本函数、收入函数和利润函数模型总成本函数，第一节函数的概念与性质)()(10QCCQC0)0(CCPQQR)(总收入函数)()()(QCQRQL总利润函数QQC)(1QQCQCQQCC)()(10_平均成本其中称为平均可变成本。例5已知某垄断者的成本函数为，产品得到需求函数为，求:（1）当生产100个该产品时的总成本和平均成本;（2）求收益函数与利润函数。解（1）由题意，产量为100个时的总成本为产量为100个时的平均成本为（2）由题意，收益函数为利润函数为第一节函数的概念与性质1042QQCQP5.0909610101004100)100(2C1.961009610100)100()100(_CCQQQQPQQR5.090)5.090()(10945.1)()()(2QQQCQRQL一、极限概念（一）数列极限定义2·8对于数列，如果当无限增大时，无限趋近于一个确定的常数，则称常数为数列第二节极限AxnnlimnxnnxAAnx的极限，记作01limnn11limnnn；如:第二节极限设S代表投资与再投资的总和，代表每次的投资na1007015nnan解:【经济问题2-1】，（1，2，3，……）或再投资（贷款）。于是nkknaS10000701]701[15n0050[170]nnnSSlim]701[50lim00nn50因此若投资可行，总投资相当于50万元。设（万元）第二节极限（二）函数极限limxfxAlimxfxA同理可定义：limxfxAlimlimxxfxfxA的充要条件是定义2·9如果当自变量取正值并无限增大时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称常数xfxAfxx为函数当时的极限。AlimxfxA记作第二节极限01lim2xx01lim2xx01lim2xxx21fxx当时，无限趋近于0;21fxxx时，也无限趋向于0.当x21fxx当时，无限趋近于0；21fxx第二节极限)1(lim20xx例：＝1为函数当时的极限，数，则称常数（但)时，函数(点可以除外），如果当自变量yfx0x0xx0x0xxfxAAfx0xx在点的某邻域内有定义无限趋近于无限趋近于一个确定的常定义2·12设函数0limxxfxA记作：第二节极限第二节极限为函数在处的左极限，，则称常数时，函数无限趋近于一个确定的常数定义2·13设函数在点左侧的某邻域内点可以除外），如果当从左侧无限yfx0xxfxA趋近于有定义（0x0x0xAfx0x0limxxfxA记作:第二节极限为函数在处的右极限，，则称常数时，函数无限趋近于一个确定的常数定义2·14设函数在点右侧的某邻域内点可以除外），如果当从右侧无限yfx0xxfxA趋近于有定义（0x0x0xAfx0x0limxxfxA记作:第二节极限解这是一个分段函数，且是其分段点。0x1)1(lim)(lim00xxfxx1)1(lim)(lim00xxfxx0limxxfxA00limlimxxxxfxfxA定理2·2的充要条件是0,10,00,1)(xxxxxxf)(lim0xfx例6设，试判断是否存在。的左极限和右极限都存在但不相等，所以)(xf)(lim0xfx因为不存在。二、无穷小量与无穷大量（一）无穷小量的定义某一变化过程中，以零为极限的变量称为在此变化过程中的无穷小量，简称无穷小。第二节极限01lim0nn0limxxe0)1(lim21xx如:第二节极限（二）无穷小量的性质：性质1有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量。性质2有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量。性质3常数与无穷小量的乘积仍是无穷小量。第二节极限xxxsinlim例7求解因为，，01limxx1|sin|x0sinlimxxx由性质2知。例如，变量，当时是无穷大量；当时就不是无穷大量。（三）无穷大量定义2·16在某一变化过程中，绝对值无限增大的变量称为在此变化过程中的无穷大量，简称无穷大。记作第二节极限limfx1x0x1x3．无穷小量阶的比较定义2·17设，是同一变化过程中的两个无穷小量，且（为常数）（1）如果，则称是比高阶的无穷小；（2）如果，则称是同阶的无穷小，特别地，如果，则称是等价的无穷小。第二节极限limCC0C0C1C三、极限的四则运算定理2·5设当自变量在同一变化过程中，及都存在，则第二节极限xlimfxlimgxlimlimlimfxfxgxgxlim0gx⑶（其中）。limlimlimfxgxfxgx⑴；limlimlimfxgxfxgx⑵；第二节极限例8求.)13(lim21xxx31lim3limlim)13(lim112121xxxxxxxx解011limxxx例9求.000011111111limlimlimlim2111111xxxxxxxxxxxxxx解第二节极限101010100,lim.,nnnmmxmnmaxaxaanmbxbxbbnm322321lim25xxxxx例10求3x2233233213210limlim0152522xxxxxxxxxxx解将分子、分母同除以,然后再求极限，得第二节极限0sinlim1xxx0sinlim1四、两个重要极限（括号代表同一变量）（一）00型第二节极限050sin55sin55limlim2252xxxxxx201coslimxxx22222200002sinsinsin1cos111222limlimlimlim22222xxxxxxxxxxxx0sin5lim2xxx例11求解例12求解第二节极限（括号代表同一变量）（二）21lim1xex1lim1e1型第二节极限解例14求解例13求3)11(limxxxeexxxxxxxx1)11(lim)11(lim)11(lim3352lim1xxx10521022lim1lim1xxxxexx