数值计算方法复习题

fuxiti例1证明方程1－x－sinx＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根要迭代多少次？证明令f(x)＝1－x－sinx，∵f(0)=10，f(1)=－sin10∴f(x)=1－x－sinx=0在[0，1]有根.又f(x)=1－cosx0(x[0.1]),故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限＝0.5×10－4，有只要取n＝14.例4选择填空题1.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若满足，则方程f(x)=0在区间[a,b]一定有实根.答案：f(a)f(b)0解答：因为f(x)在区间[a,b]上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f(c)=0，故f(x)=0一定有根.2.用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程(x)=0表成x=(x),则f(x)=0的根是()(A)y=x与y=(x)的交点(B)y=x与y=(x)交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=(x)与x轴交点的横坐标答案：(B)解答：把f(x)=0表成x=(x),满足x=(x)的x是方程的解，它正是y=x与y=(x)的交点的横坐标.3.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是()(A)(B)(C)(D)答案：(A)解答：在(A)中故迭代发散.在(B)中，故迭代收敛.在(C)中，，故迭代收敛.在(D)中，类似证明，迭代收敛.例3填空选择题：1.用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为。解答1.选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到是应填写的内容。一、解答下列问题：1)数值计算中，最基础的五个误差概念（术语）是,,,,.2)分别用2.718281，2.718282作数e的近似值，它们的有效位数分别有位，位;又取73.13（三位有效数字），则73.13.3）为减少乘除法运算次数，应将算式32)1(7)1(51318xxxy改写成4）为减少舍入误差的影响，应将算式9910改写成5）递推公式,2,1,110210nyyynn如果取41.120y作计算，则计算到10y时，误差有这个计算公式数值稳定不稳定？1）绝对误差，相对误差，有效数字，截断误差，舍入误差。2）6，7，210213）11xu;18)3)57((uuuy3)991014)41.121010或41.121010210102110二、解答下列线性代数方程组问题：1)解线性代数方程组bAx（nnRA非奇异）的关键思想是首先把方程组约化为和，然后分别通过过程或过程很容易求得方程组的解.2）用“列主元Gauss消元法”将下列方程组：20111.031045321321xxx化为上三角方程组的两个步骤211.03010451321再用“回代过程”可计算解：1）上三角方程组，下三角方程组，回代，前推2）255.2112.101045，96.14.1255.2010452.15/)]4.1(1024[2)5.2/()]4.1(52[4.1)4.1/(96.1123xxx四、设一元方程0133xx，欲求其正根，试问：1)方程的正根有几个？(个)2)方程的正根的有根区间是3）给出在有根区间收敛的不动点迭代公式：4）给出求有根区间上的Newton迭代公式：1)12)[1,2]3)3113kkxx,,......1,0k4)3313231kkkkkxxxxx,,......1,0k五、1332aA，当a满足条件时，A可作LU分解；当a满足条件时，必有分解式TLLA，其中L为对角线元素为正的下三角阵。7;2aa一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．近似值210450.0的误差限为（）。A．0.5B.0.05C．0.005D.0.0005.3.若实方阵A满足（）时，则存在唯一单位下三角阵L和上三角阵R，使LRA。A.0detAB.某个0detkAC.)1,1(0detnkAkD.),,1(0detnkAk例1.近似值0.45的误差限为（）。A0.5B0.05C0.005D0.0005.解因210450.00.45，它为具有3位有效数字的近似数，其误差限为1231021101021。或3,2pm，其误差限为13210211021所以答案为B.例2..已知4142135.12x，求414.1x的误差限和相对误差限。解：（绝对）误差限：0005.00003.00002135.0241.1x所以（绝对）误差限为0003.0，也可以取0005.0。一般地，我们取误差限为某位数的半个单位，即取0005.0。相对误差限：rxxxx0002.000015.0414.14142135.1414.1)(所以，相对误差限0002.0r例3.已知,1415926.3*x求近似值142.3x的误差限，准确数字或有效数字。解由,00041.01415926.3142.3x误差限为31021因为4,3,1pmpm，所以由定义知x是具有4位有效数字的近似值，准确到310位的近似数。注意：当只给出近似数x时，则x必为四舍五入得到的有效数，则可直接求出误差限和有效数字。例4.已知近似数,635.0,2864.1ba求bab,2的误差限和准确数位。解因41021）（a，31021）（b2310211021635.022bbbbbbbb所以,102122b2b准确到210位。,102110211021)()()(234babababa准确到210位。注意：函数运算的误差概念，特别是其中的符号。例1证明计算)0(aa的切线法迭代公式为：,1,0),(211nxaxxnnn并用它求2的近似值（求出1x即可）解（1）因计算a等于求02ax正根，axxf2)(，xxf2)(代入切线法迭代公式得)(21221nnnnnnxaxxxxx,1,0n(2)设2)(2xxf，因,0121)1(2f025.1)5.1(2f所以5.1,12*x在5.1,1上02)(xxf02)(xf由0)()(0xfxf，选5.10x用上面导出的迭代公式计算得4167.11217)2(21001xxx例1用列主元消元法的方程组53368435532321321321xxxxxxxxx注意：每次消元时主元的选取是各列中系数最大的。解第1列主元为3，交换第1、2方程位置后消元得，331351313168433232321xxxxxxx第2列主35，元为交换第2、3方程位置后消元得5252331356843332321xxxxxx回代解得2,2,1123xxx例2．将矩阵A进行三角分解（Doolittle分解,Crout分解,LDU分解）其中1332222224A说明：一般进行矩阵的三角分解采用紧凑格式。即应用矩阵乘法和矩阵相等原则进行矩阵的三角分解（或代入公式求得相应元素）。在分解时注意矩阵乘法、矩阵求逆等代数运算。解：9,2;1,121,21;2,2,43322123132321321232312212222113131112121131312121111rrrlalrlarrlaraalaalararar则矩阵的Doolittle分解为911224122112111332222224因为对角阵914D，则111212111RDU所以矩阵的LDU分解为11121211914122112111332222224矩阵的Crout分解为111212119221241332222224例3用紧凑格式求解方程组5481332222224321xxx注意：消元过程是解方程组bLY，和回代过程是解方程组YRX。解：（1）将矩阵进行三角分解，由上例得：矩阵的三角分解为911224122112111332222224（2）解方程组9,0,8,321yyybLY（3）解方程组1,1,2,321xxxYRX所以TX)1,1,2(一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．近似值210450.0的误差限为（）。A．0.5B.0.05C．0.005D.0.0005.3.若实方阵A满足（）时，则存在唯一单位下三角阵L和上三角阵R，使LRA。A.0detAB.某个0detkAC.)1,1(0detnkAkD.),,1(0detnkAk1．B．3.C.例4选择填空题1.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若满足，则方程f(x)=0在区间[a,b]一定有实根.答案：f(a)f(b)0解答：因为f(x)在区间[a,b]上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f(c)=0，故f(x)=0一定有根.2.用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程(x)=0表成x=(x),则f(x)=0的根是()(A)y=x与y=(x)的交点(B)y=x与y=(x)交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=(x)与x轴交点的横坐标答案：(B)解答：把f(x)=0表成x=(x),满足x=(x)的x是方程的解，它正是y=x与y=(x)的交点的横坐标.3.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是()(A)(B)(C)(D)答案：(A)解答：在(A)中故迭代发散.在(B)中，故迭代收敛.在(C)中，，故迭代收敛.在(D)中，类似证明，迭代收敛例1用顺序消去法解线性方程组解顺序消元于是有同解方程组：例3填空选择题：1.用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为。解答1.选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到是应填写的内容。1).设*2.40315x是真值2.40194x的近似值，则*x有位有效数字。2).**xx的相对误差约是的相对误差的倍。3).求方程()xfx根的牛顿迭代格式是。1）3；2）12；3）1()1()nnnnnxfxxxfx1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有＿＿＿＿＿＿＿收敛2、迭代过程（k=1,2,…）收敛的充要条件是＿＿＿3、已知数e=2.718281828...,取近似值x=2.7182,那麽x具