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新东方在线[]2010考研数学网络课堂电子教材系列高等数学2010考研强化班高等数学讲义主讲:汪诚义欢迎使用新东方在线电子教材考研强化班高等数学讲义(一至三章)第一章函数、极限、连续§1.1函数(甲)内容要点一、函数的概念1.函数的定义2.分段函数3.反函数4.隐函数二、基本初等函数的概念、性质和图象三、复合函数与初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数1.用极限表示的函数(1))(limxfynn,例221()lim1nnnxfxxx(2)),(limxtfyxt,例sinsinsin()limsinxtxtxtfxx2.用变上、下限积分表示的函数(1)xadttfy)(其中)(tf连续,则)(xfdxdy(2))()(21)(xxdttfy其中)(),(21xx可导,)(tf连续,则2211[()]()[()]()dyfxxfxxdx五、函数的几种性质新东方在线[]2010考研数学网络课堂电子教材系列高等数学1.有界性:设函数)(xfy在X内有定义,若存在正数M,使Xx都有Mxf)(,则称)(xf在X上是有界的。2.奇偶性:设区间X关于原点对称,若对Xx,都有)()(xfxf,则称)(xf在X上是奇函数。若对Xx,都有()()fxfx,则称)(xf在X上是偶函数,奇函数的图象关于原点对称;偶函数图像关于y轴对称。重要公式0,()2(),0fafxdxaafxdxf当为奇函数当为偶函数3.单调性:设)(xf在X上有定义,若对任意XxXx21,,21xx都有)()(21xfxf)]()([21xfxf则称)(xf在X上是单调增加的[单调减少的];若对任意1xX,2,xX12xx都有1212()()[()()]fxfxfxfx,则称)(xf在X上是单调不减[单调不增](注意:有些书上把这里单调增加称为严格单调增加;把这里单调不减称为单调增加。)若在(,)ab内,()0,()()0,()fxfxfxfx则单调增加则单调减少4.周期性:设)(xf在X上有定义,如果存在常数0T,使得任意Xx,XTx,都有)()(xfTxf,则称)(xf是周期函数,称T为)(xf的周期。由此可见,周期函数有无穷多个周期,一般我们把其中最小正周期称为周期。例2()sin(0)fxx常数周期=(乙)典型例题一、定义域与值域例1设)(xf的定义域为],[aa(0a)求)1(2xf的定义域解:要求axa12,则axa112,当1a时,10a,21xa,则ax1当10a时,01a,axa11也即axa11或axa11新东方在线[]2010考研数学网络课堂电子教材系列高等数学例2求,xxxxxxxfy的值域2,)2(122,52,3)(23并求它的反函数。解:2x,1183y,33yx,22x,357yx,yx5,2x,1)2(12xy,yx12,所以)(xfy的值域为),11(]7,3[)1,(反函数321,15,373,11yyxyyyy二、求复合函数有关表达式例1设21)(xxxf,求[(())]()nfffxfxn重复合解:2222222111/1)(1)()]([)(xxxxxxxfxfxffxf,若21)(kxxxfk,则222221)1(111/1)(1)()(xkxkxxkxxxfxfxfkkk根据数学归纳法可知,对正整数n,21)(nxxxfn例2已知()xxfexe,且0)1(f,求)(xf解:令tex,txln,因此ln()()xtfeftt,221ln11()(1)lnln122xxtfxfdttxt(1)0f,∴xxf2ln21)(新东方在线[]2010考研数学网络课堂电子教材系列高等数学三、有关四种性质例1设()()Fxfx,则下列结论正确的是[](A)若)(xf为奇函数,则)(xF为偶函数(B)若)(xf为偶函数,则)(xF为奇函数(C)若)(xf为周期函数,则)(xF为周期函数(D)若)(xf为单调函数,则)(xF为单调函数例2求dxxxeexxIxx1125)]1ln()([解xxeexf)(1是奇函数,)()(11xfeexfxx)1ln()(22xxxf是奇函数,1)1(ln)1ln()(22222xxxxxxxf)()1ln(1ln22xfxx因此)1ln()(2xxeexxx是奇函数于是1061167220dxxdxxI例3设)(),(xgxf是恒大于零的可导函数,且()()()()0fxgxfxgx,则当bxa时,下列结论成立的是[](A))()()()(xgbfbgxf(B))()()()(xgafagxf(C))()()()(bgbfxgxf(D))()()()(agafxgxf思考题:两个周期函数之和是否为周期函数例1.()sincos23xxfx例2.()sinsin2fxxx四、函数方程例1.设)(xf在),0[上可导,0)0(f,反函数为)(xg,且)(02)(xfxexdttg,求)(xf。新东方在线[]2010考研数学网络课堂电子教材系列高等数学解:两边对x求导得2[()]()2xxgfxfxxexe,于是()(2)xxfxxxe,故()(2)xfxxe,Cexxfx)1()(,由0)0(f,得1C,则1)1()(xexxf。例2设)(xf满足xxfxf)31(sin31)(sin,求)(xf解:令)(sin)(xfxg,则xxgxg)31(31)(,xxgxg22231)31(31)31(31,2233411111()()33333gxgxx,……xxgxgnnnnn)1(21131)31(31)31(31,各式相加,得]91911[)31(31)(1nnnxxgxg1)(xg,∴0)31(31limxgnnn899111]91911[lim1nn因此xxg89)(,于是kxarcxf289sin)(或9(21)sin8karcx(k为整数)思考题设ab均为常数,求方程22sin()ln[()()1]sin()ln[()()1]0xbxbxbxaxaxa的一个解。§1.2极限(甲)内容要点一、极限的概念与基本性质1.极限的概念新东方在线[]2010考研数学网络课堂电子教材系列高等数学(1)数列的极限Axnnlim(2)函数的极限lim()xfxA;lim()xfxA;lim()xfxAAxfxx)(lim0;Axfxx)(lim0;Axfxx)(lim02.极限的基本性质定理1(极限的唯一性)设Axf)(lim,Bxf)(lim,则A=B定理2(极限的不等式性质)设Axf)(lim,Bxg)(lim若x变化一定以后,总有)()(xgxf,则BA反之,BA,则x变化一定以后,有)()(xgxf(注:当0)(xg,0B情形也称为极限的保号性)定理3(极限的局部有界性)设Axf)(lim则当x变化一定以后,)(xf是有界的。定理4设Axf)(lim,Bxg)(lim则(1)BAxgxf)]()([lim(2)BAxgxf)]()([lim(3)BAxgxf)]()([lim(4))0()()(limBBAxgxf(5)BxgAxf)()]([lim)0(A二、无穷小量1.无穷小量定义:若0)(limxf,则称)(xf为无穷小(注:无穷小与x的变化过程有关,01limxx,当x时x1为无穷小,而0xx或其它时,x1不是无穷小)2.无穷大量定义:任给M0,当x变化一定以后,总有Mxf)(,则称)(xf为无穷大,记以)(limxf。新东方在线[]2010考研数学网络课堂电子教材系列高等数学3.无穷小量与无穷大量的关系:在x的同一个变化过程中,若)(xf为无穷大量,则)(1xf为无穷小量,若)(xf为无穷小量,且0)(xf,则)(1xf为无穷大量。4.无穷小量与极限的关系:lim()()()fxAfxAx,其中lim()0x5.两个无穷小量的比较设0)(limxf,0)(limxg,且lxgxf)()(lim(1)0l,称)(xf是比)(xg高阶的无穷小量,记以()[()]fxogx称)(xg是比)(xf低阶的无穷小量(2)0l,称)(xf与)(xg是同阶无穷小量。(3)1l,称)(xf与)(xg是等阶无穷小量,记以)(~)(xgxf6.常见的等价无穷小量,当0x时xx~sin,xx~tan,xxarc~sin,xxarc~tan,221~cos1xx,xex~1,xx~)1ln(,(1)1~xx。7.无穷小量的重要性质有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。三、求极限的方法1.利用极限的四则运算和幂指数运算法则2.两个准则准则1:单调有界数列极限一定存在(1)若nnxx1(n为正整数)又mxn(n为正整数),则Axnnlim存在,且mA(2)若nnxx1(n为正整数)又nxM(n为正整数),则Axnnlim存在,且AM准则2:夹逼定理设)()()(xhxfxg。若Axg)(lim,Axh)(lim,则Axf)(lim3.两个重要公式公式1:1sinlim0xxx新东方在线[]2010考研数学网络课堂电子教材系列高等数学公式2:ennn)11(lim;euuu)11(lim;evvv10)1(lim4.用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换5.用泰勒公式(比用等价无穷小量更深刻)当0x时,21()2!!nxnxxexoxn例:23333001()112!3!limlim3!6xxxxxeoxxx352121sin(1)()3!5!(21)!nnnxxxxxoxn2422cos1(1)()2!4!(2)!nnnxxxxoxn231ln(1)(1)()23nnnxxxxxoxn352121tan(1)()3521nnnxxxarcxxoxn2(1)(1)[(1)](1)1()2!!nnnxxxxoxn6.洛必达法则第一层次,直接用洛必达法则法则1:(00型)设(1)0)(lim,0)(limxgxf(2)x变化过程中,()fx,()gx皆存在(3)()lim()fxAgx(或)则Axgxf)()(lim(或)(注:如果()lim()fxgx不存在且不是无穷大量情形,则不能得出()lim()fxgx不存在且不是无穷大量情形)法则2:(型)设(1)lim(),lim()fxgx新东方在线[]2010考研数学网络课堂电子教材系列高等数学(2)x变化过程中,()fx,()gx皆存在(3)()l
本文标题:新东方考研数学微积分1-3章
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