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§3线性方程组的解★齐次线性方程组有非零解的充要条件★非齐次线性方程组有解的充要条件★线性方程组的求解下页关闭线性方程组的是否有解可借助于矩阵的秩。本节给出线性方程组的是否有解的判定定理利用系数矩阵A和增广矩阵B的秩,可方便地讨论线性方程组AX=b的解。定理2n元齐次线性方程组0XAnm有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)n。证先证必要性。设方程组AX=0有非零解,要证R(A)n。用反证法。设R(A)=n,则在A中有一个n阶非零子式,nD从而由克拉默定理知nD所对应的n个方程组只有零解,这与原方程组有非零解矛盾,因此R(A)=n不能成立,即R(A)n。上页下页返回再证充分性。设R(A)=rn,则A的行阶梯形矩阵只含r个非零行,知量。即可得方程组的一个非零解。特别地,当A为n阶方阵,即m=n时,AX=0有非零解=R(A)n=|A|=0.从而知其有n-r个自由未任取一个未知量为1,其余自由未知量为零,上页下页返回故:(1)齐次线性方程组0xAnm的求解步骤:利用初等变换把系数矩阵A化为行最简形矩阵,从而确定矩阵A的秩。若R(A)n,则方程组一定有非零解。由行最简形矩阵对应的同解方程组即可写出通解形式。若R(A)=n,则方程组只有零解。上页下页返回例4求解线性方程组.034,0222,022432143214321xxxxxxxxxxxx解对系数矩阵A施行初等行变换变为行最简形矩阵:341122121221A463046301221~21312rrrr上页下页返回0000342101221)3(~223rrr00003421035201~221rr得与原方程组同解的方程组为:上页下页返回),(,0342,035243432431自由未知量为xxxxxxxx),(,,,342,352434433432431为自由未知量xxxxxxxxxxxx即上页下页返回1034350122214321kkxxxx,,2413kxkx令得通解的向量形式:其中21,kk为任意实数。上页下页返回求解齐次线性方程组.0222,02,02432143214321xxxxxxxxxxxx解212211121211A4300131012112~21312rrrr430030100101~3221rrrr34100301034001)3(~)1(3132rrrrEx.2上页下页返回得与原方程组同解的方程组:)(,,34,3,34444434241为自由未知量xxxxxxxxx,4kx令得向量形式的解:,1343344321kxxxx其中k是任意常数。上页下页返回定理3n元非齐次线性方程组bXAnm有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵B=(A,b)的秩,即R(A)=R(B)。上页下页返回证先证必要性。设方程组AX=b有解,要证R(A)=R(B)。用反证法。设R(A)R(B),则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0=1,再证充分性。设R(A)=R(B),要证方程组有解。r(≤n),把这r行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量,其余n-r个作为自由未知量,并令n-r个自由未知量全取0,即可得方程组的一个解。这与方程组有解矛盾。因此R(A)=R(B)。把B化为行阶梯形矩阵,设R(A)=R(B)=则B的行阶梯形矩阵中含r个非零行,上页下页返回故:(2)非齐次方程组bxAnm的求解步骤:利用初等行变换把增广矩阵B=(Ab)化为行最简形矩阵,从而确定R(A)与R(B),由定理3当R(A)=R(B)=n时,方程组没有自由未知量,只有唯一解。当R(A)=R(B)=rn时,方程组有n-r个自由未知量,此时方程组有无穷多个解。当R(A)R(B)时,方程组无解。在有无穷多解时,根据B的行最简形矩阵写出通解形式。判别方程组是否有解?上页下页返回例5求解非齐次线性方程组.xxxx,xxxx,xxxx32222353132432143214321解对增广矩阵B施行初等行变换,322122351311321B上页下页返回3221223513113211045010450113212~31312rrrr200001045011321~23rr得R(A)=2,R(B)=3,从而方程组无解。上页下页返回例6求解非齐次线性方程组.xxxx,xxxx,xxxx0895443313432143214321解对增广矩阵B施行初等行变换,089514431311311B上页下页返回176401764011321~31312rrrr089514431311311,000004147231045432301)41(~21213rrrrr上页下页返回得R(A)=R(B)=24,方程组有无穷多解,其中含有2个自由未知量,同时可得同解方程组:.xx,xx,xxx,xxx4433432431414723454323上页下页返回可得通解的形式为:,,2413kxkx令.004145104743012323214321kkxxxx上页下页返回求解非齐次线性方程组.2132130432143214321xxxx,xxxx,xxxx解对增广矩阵B施行初等行变换,2132111311101111BEx.3上页下页返回21321113111011112121001420001111~1312rrrr000002121002110112~23231rrrrr得R(A)=R(B)=24,故方程组有无穷多解,且得同解方程组是:上页下页返回,xx,xx,xx,xxx44432242121221,,2412kxkx令故通解的向量形式为:02102112010011214321kkxxxx上页下页返回例7.xxx,xxx,xxx223321321321设问取何值时,方程组有唯一解、无解或有无穷多解?并在有无穷多解时,求通解。解对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形矩阵211211311B上页下页返回211211311)1(3)1)(2(000110211~23131213rrrrrrrr,12)1(时且当R(A)=R(B)=3,有唯一解;23,21321xxx方程组上页下页返回,2)2(时当R(A)=2,R(B)=3,组无解;方程)1(3)1)(2(000110211上页下页返回,1)3(时当,000000002111~BR(A)=R(B)=1,解形式为),(,,,2323322321任意取值xxxxxxxxx从而方程组有无穷多解,且通上页下页返回,,2312kxkx令写成向量的形式:,00210101121321kkxxx,,,23322321xxxxxxx上页下页返回问取何值时,,332263132321321321xxx,xxx,xxx设方程组有唯一解、无解或有无穷多解?并在有无穷多解时,求通解。解对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形矩阵33226311321B2310131013212~1312rrrrEx.5上页下页返回2310131013211000131013012~2123rrrr,1,01时即当R(A)=R(B)=23,有无穷多解,此时000013101301~B原方程组的同解方程组是方程组,1,01时即当R(A)=2,R(B)=3,方程组无解。上页下页返回)(,,13,133333231任意取值xxxxxxx,3kx令得通解为:.011133321kxxx上页返回
本文标题:线性方程组的解
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