量子力学复习习题

共5页第1页一、选择题（每小题3分，共15分）1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA.黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B.黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：BA.Ψ代表微观粒子的几率密度；B.Ψ归一化后，代表微观粒子出现的几率密度；C.Ψ一定是实数；D.Ψ一定不连续。3．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：AA.一定也是该方程的一个解；B.一定不是该方程的解；C.Ψ与一定等价；D.无任何结论。4．与空间平移对称性相对应的是：BA.能量守恒；B.动量守恒；C.角动量守恒；D.宇称守恒。5．如果算符A、B对易，且A=A，则：BA.一定不是B的本征态；B.一定是B的本征态；C.一定是B的本征态；D.∣Ψ∣一定是B的本征态。1、量子力学只适应于CA．宏观物体B．微观物体C．宏观物体和微观物体D．高速物体2、算符F的表象是指CA．算符F是厄密算符B．算符F的本征态构成正交归一的完备集C．算符F是幺正算符D．算符F的本征值是实数3、中心力场中体系守恒量有BA．只有能量B．能量和角动量C．只有角动量D．动量和角动量4、Pauli算符的x分量的平方2的本征值为（B）A0B1CiD2i5、证明电子具有自旋的实验是AA．史特恩—盖拉赫实验B．电子的双缝实验C．黑体辐射实验D．光电效应实验1、量子力学只适应于CA．宏观物体B．微观物体C．宏观物体和微观物体D．高速物体2、在与时间有关的微扰理论问题中，体系的哈密顿算符由两部分组成，即0HtHH，，其中0H和H，应满足的条件是（B）A0H与时间无关，H，与时间无关B0H与时间无关，H，与时间有关C0H与时间有关，H，与时间有关D0H与时间有关，H，与时间无关3、自旋量子数S的值为（D）A1/4B3/4C/2D1/25、证明电子具有自旋的实验是AA．史特恩—盖拉赫实验B．电子的双缝实验C．黑体辐射实验D．光电效应实验共5页第2页二、简答（每小题5分，共15分）1.什么叫光电效应？光的照射下，金属中的电子吸收光能而逸出金属表面的现象。这些逸出的电子被称为光电子用来解释光电效应的爱因斯坦公式：221mvAh2.解释态叠加原理3.厄密算符的定义？1.解释光电效应的两个典型特点？①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。2.波函数的物理意义某时刻t在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。按照这种解释，描写粒子的波是几率波。1.爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E=hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程2.设),(tpC为归一化的动量表象下的波函数，写出dptpC2),(的物理意义3.厄密算符的定义⒎定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定态波函数：描述定态的波函数称为定态波函数。。⒐定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。⑵粒子几率流密度不随时间改变。⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变⒉厄密算符的定义：如果算符Fˆ满足下列等式ˆ，则称Fˆ为厄密算符。式中ψ和φ为任意波函数，x代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。⒊厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。三、填空题（每空2分，共20分）1.微观粒子具有波粒二象性。2．德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率、波长之间的关系，其表达式为：E=hv,p=h/λ。3．量子力学中力学量用厄米算符表示。4．坐标的x分量算符和动量的x分量算符xp的对易关系为：,xpi5．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数(x)所描写的状态时，测量某力学量F所得的数值，必定是算符Fˆ的本征值。6．定态波函数的形式为：tEinnextx)(),(。7．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是__反对称的__,玻色子体系的波函数是_对称的_。8．每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为：2。1、波函数满足的三个基本条件是：__单值_；__连续性__；_有限性_。2、设粒子的波函数为),(tr，则相应的概率密度=_____________。3、若两个力学量算符ˆF和ˆG的对易关系为ˆˆˆ[,]FGik，则ˆF和ˆG的测不准关系式是。4、7.对易关系2ˆˆ[,]zLL，ˆˆ[,]yzLL，ˆˆ[,]xLy。5、满足泡利不相容原理的全同粒子是_____________子；不满足泡利不相容原理的全同粒子是___________子。1、索末非提出的广义量子化条件是共5页第3页2、一粒子有波函数由1,,2ipxxtcptedp描写，则,cpt=4、粒子在势场U(r)中运动，则粒子的哈密顿算符为5、量子力学中，态和力学量的具体表示方式称为____表象____。6、Pauli算符yz的反对易关系式是7、满足泡利不相容原理的全同粒子是_____________子；不满足泡利不相容原理的全同粒子是___________子。四、证明题（每题10分，共20分）1．利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：xyLiLLˆ]ˆˆ[z，yzLiLLˆ]ˆˆ[x，证明：2、由Schrödinger方程证明几率守恒：其中几率密度几率流密度证明：考虑Schrödinger方程及其共轭式：在空间闭区域τ中将上式积分，则有：zyxLiLLˆ]ˆ,ˆ[2|),(|),(),(),(trtrtrtr22(,)[()](,)2irtVrrtt0Jt][2iJ]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[zxyzyxpxpzpzpyLL]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[zxyzxzpxpzpzpxpzpy]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[zyxyzzxzpxpzpzpzpxpypzpy]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[zyxzpxpzpzpyyzzyzxxzppxzpxpzppzypzpyˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[yzxzppxzpzpyˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[yzyzxzxzppxzppzxpzpyppyzˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[yxpixpiyˆ)(ˆ)(]ˆˆ[xypypxizLiˆ22[](1)2iVt22[](2)2iVt(1)(2)将式得：][2222titi][22）（tidddtdi][22）（共5页第4页2、证明axaxaxanAn,0),(sin式中的归一化常数是aA12、证明在定态中，几率流与时间无关。五、计算题（每题10分共30分）1、一粒子在一维势场,0,()0,0,xUxxaxa中运动，求粒子的能级和对应的波函数。1、求在一维势场,0,xaxaUx中运动的粒子的能级。解：对于宽度为２ａ的对称一维无限深方势肼,0,xaxaUx在阱内体系满足的定态薛定谔方程是2222dEmdxxa为方便起见，引入符号1222mE则上式可简写为2220,dxadx它的解是：sincosAxBx，xa将0a代入上式有：,1,2,3....2nan同时综合式得2222,8nnEnma正整数2、设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021YrRYrRr求氢原子能量E、角动量平方L2、角动量Z分量LZ的可能值及这些可能值出现的几率。2、一维运动粒子的状态是0,00,)(xxAxexx当当其中0，求：(1)粒子动量的几率分布函数；(2)粒子的平均动量。3、某量子体系Hamilton量的矩阵形式为：设c1，应用微扰论求H本征值到二级近似。解：c1，可取0级和微扰Hamilton量分别为：2000301cccHdiddtd][2）（dJdtrdtd),(0JtcccHH0000002000300010共5页第5页H0是对角矩阵，是HamiltonH0在自身表象中的形式。所以能量的0级近似为：E1(0)=1E2(0)=3E3(0)=-2由非简并微扰公式得能量一级修正：能量二级修正为：二级近似下能量本征值为：3、设一体系未受微扰作用时有三个能级：0012,EE，现在受到微扰/ˆH的作用，微扰矩阵元为/abHba，a和b都是实数，用微扰公式求能量12,EE至二级修正值。)0()0(2)2()1(||knknnknnnnEEHEHEcHEHEHE33)1(322)1(211)1(100221)0(3)0(1231)0(2)0(1221)0()0(121)2(1||||||cEEHEEHEEHEkknk221)0(3)0(2232)0(1)0(2212)0()0(222)2(2||||||cEEHEEHEEHEkknk0||||||)0(2)0(3223)0(1)0(3213)0()0(323)2(3EEHEEHEEHEkknkcEcEcE231322122211