拉普拉斯变换的应用及综合举例

1、1§9.4Laplace变换的应用及综合举例三、利用Matlab实现Laplace变换一、求解常微分方程(组)二、综合举例*2一、求解常微分方程(组)步骤得到象函数求解微分方程(组)象函数的代数方程(组)Laplace正变换微分方程(组)的解Laplace逆变换(1)将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)；(2)求解代数方程得到象函数；(3)求Laplace逆变换得到微分方程(组)的解。.)0()0()0()(])([)1(21)(nnnnnffsfssFstf工具3,0)()0()0()(22sYysysYs.)(22ssY对方程两边取Laplace变换，有(2)求Laplace逆变换，得,])([)(tysY解(1)令])([)(1sYty.sint代入初值即得,0)()(22sYsYsP218例9.64对方程两边取Laplace变换，并代入初值得(2)求Laplace逆变换，得,])([)(txsX解(1)令,16)()(3)(3)(23ssXssXsXssXs.)1(!3)(4ssX求解此方程得。

2、])([)(1sXtx.e3tt5对方程组两边取Laplace变换，并代入初值得,])([)(txsX解(1)令,])([)(tysY,11)()(1)(ssYsXssX.12)(2)(31)(ssYsXssY,11)(ssX.11)(ssY求解得整理得,1)()()1(sssYsXs.11)()2()(3sssYssXP229例9.196,])([)(txsX解(1)令,])([)(tysY,11)(ssX.11)(ssY求解得.)()(ettytx(2)求Laplace逆变换，得7对方程组两边取Laplace变换，并代入初值得,])([)(txsX解(1)令,])([)(tysY,)()(e2ssYsssX.2)()(2e3sssYssX求解得.0)(sY,1)(esssX,)1()(tutx.0)(ty(2)求Laplace逆变换，得8)1()1()()1()(tuttuttf,)1()1()()(tuttuttu如图，解,1])。

3、([stu由于,1])([2stut利用线性性质及延迟性质有.111])([e22sssstf11)(tft)()1(tut)1()1(tut)(tf函数可写为二、综合举例P231例9.219对方程两边取Laplace变换，并代入初值有,])([)(txsX解(1)令,11)(3]1)([41)(2ssXssXssXs)3()1(66)(22sssssX.)3(43)1(21)1(472sss(2)求Laplace逆变换，得.432147)(3eeetttttx10对方程两边取Laplace变换有(2)求Laplace逆变换，得,])([)(txsX解(1)令,1)1()1(22)(2)(22sssXssXsXs.]1)1[()1(2)(22sssX.sinettt])([)(1sXtx][e221)1(2sst])([e1121st][e1121stt11,211)()()()(22sssYssXsXssYs.1)()(2)()(2222ssXss。

4、YsXssYs,)1(2)()()1(2sssssXsYs.)1(1)()1()(22sssXsssY整理得对方程组两边取Laplace变换，并代入初值得,])([)(txsX解(1)令,])([)(tysY求解得.)1(1)(2sssY,)1(12)(22ssssX12,])([)(txsX解(1)令,])([)(tysY.)1(1)(2sssY求解得,)1(12)(22ssssX.1)(eetttty,)(ettttx(2)求Laplace逆变换，得,)1(1122ss.)1(11112sss13对方程组两边取Laplace变换，并代入初值得,])([)(txsX解(1)令,])([)(tysY,112)(2)(2123)(2sssYsXssXs.2)(221)(23)(32ssYssYsssX,2)1(23)(2sssX,231)1(21)(3ssssY14,])([)(txsX解(1)令,])([)(tysY。

5、,2)1(23)(2sssX,231)1(21)(3ssssY(2)求Laplace逆变换，得.232121)(2ettyt,223)(ettxt15(2)令,])([)(tfsF.6)(3tatatf(3)求Laplace逆变换，得解(1)由于,d)sin()(sin)(0txxtxfttf因此原方程为.sin)()(ttftatf在方程两边取Laplace变换得]sin[)(][)(tsFtasF,11)(22ssFsa.)(42sasasFP232例9.24(跳过?)16,)()(0tFtxm.0)0()0(xx,)(02FsXms.1)(20smFsX.)(0tmFtx求Laplace逆变换，得物体的运动方程为根据Newton定律有解设物体的运动方程为,)(txx在方程两边取Laplace变换得令,])([)(txsXP230例9.2017,)()(sEssILsIR)()(sLRsEsI.11LRssRE求解此方程得.1)()e(tLRREti。

6、求Laplace逆变换，得设有如图所示的R和L串联电路，在时刻接到直流0t.)(ti例KELR电势E上，求电流由Kirchhoff定律知，)(ti解满足方程.0)0(i,)()(EtiLtiR在方程两边取Laplace变换得令,])([)(tisIP233例9.2518位置处开始运动，的外力为。例质量为m的物体挂在弹簧系数为k的弹簧一端(如图))(tf0x.)(tx若物体自静止平衡求该物体的运动规律，作用在物体上解(1)由Newton定律及Hooke定律有.)()()(txktftxm即物体运动的微分方程为,)()()(tftxktxm.0)0()0(xx(跳过?)19解(1),)()()(tftxktxm.0)0()0(xx对方程组两边取Laplace变换，并代入初值得,])([)(txsX(2)令,])([)(tfsF,)()()(2sFsXksXsm记,20mk,)(1)(20200sFsmsX有当具体给出时，即可以求的运动方程)(tf.)(tx并利用卷积定理有,sin020201][ts。

7、(3)由.)]([sin1])([)(001tftmsXtx20解,sin020201][ts利用卷积定理有.)]([sin1])([)(001tftmsXtx当具体给出时，即可以求的运动方程)(tf.)(tx(3)由此时.sin)(00tmAtx可见，在冲击力的作用下，运动为正弦振动，振幅为,0mA角频率为,0称为该系统的自然频率或固有频率。0设物体在时受到冲击力,)()(tAtf0t例如A为常数。21在数学软件Matlab的符号演算工具箱中，提供了专用函数来进行Laplace变换与Laplace逆变换。(1)F=laplace(f)对函数f(t)进行Laplace变换，三、利用Matlab实现Laplace变换*对并返回结果F(s)。(2)f=ilaplace(F)对函数F(s)进行Laplace逆变换，对并返回结果f(t)。补(跳过?)22解Matlab程序clear;symst;f=t*exp(3*t)*sin(2*t);F=laplace(f)；F=4/((s+3)^2+4)^2*(s+3)输出求函数的Lapla。

8、ce变换。例tttft2sin)(3e即.]4)3[()3(4)(22sssF23解Matlab程序clear;symst;f=sin(t)/t;F=laplace(f);其中，atan为反正切函数。F=atan(1/s)输出求函数的Laplace变换。例tttfsin)(即.arccot1arctan)(sssF24解Matlab程序clear;symss;F=(s^2+2*s+1)/(s^2-2*s+5)/(s-3);f=ilaplace(F);其中，exp为指数函数。f=2*exp(3*t)-exp(t)*cos(2*t)+exp(t)*sin(2*t)输出求函数的Laplace逆变换。例)3()52(12)(22ssssssF即.2sin2cos2)(eee3tttfttt25解Matlab程序clear;symss;F=exp(-s)/(s-1);f=ilaplace(F);求函数的Laplace逆变换。例sssFe11)(f=Heaviside(t-1)*exp(t-1)输出其中，Heaviside为单位阶跃函数.)(tu即。

9、.1,0,1,)1()(11eetttutftt26休息一下……。