电磁场与微波技术 第2章

第2章电磁场的基本理论电磁场中的基本物理量和基本实验定律2.1静电场2.2恒定电场2.3恒定磁场2.4时变电磁场2.5电磁场基本理论分静电场、恒定电场、恒定磁场和时变电磁场四部分。其中静电场、恒定电场和恒定磁场是静态场，它们只是空间位置的函数，不随时间变化，这时电场和磁场虽然可以共处一个空间，但它们却是相互无关、各自独立存在的；时变电磁场既是空间的函数，也是时间的函数，这时变化的电场可以产生磁场，变化的磁场可以产生电场，电场与磁场不再独立，它们同时存在，形成统一的电磁场。2.1电磁场中的基本物理量和基本实验定律2.1.1电荷及电荷密度电量的单位是C（库仑），基本电荷带的电量为Ce1910602.1e1.体电荷分布连续分布于一个体积之内的电荷，称为体电荷。体电荷密度定义为(2.1)q0limr2.面电荷分布连续分布于一个几何曲面上的电荷，称为面电荷。设面积元内有的带电量，则面电荷密度定义为(2.3)SqSSqSS0limr3.线电荷分布连续分布于一条线上的电荷，称为线电荷。设线元内有的带电量，则线电荷密度定义为(2.4)lqllqll0limr4.点电荷分布当某一电荷量被想象地集中在一个几何点上时，这样的电荷称为点电荷。2.1.2电流及电流密度电荷的宏观定向运动称为电流。1.体电流分布电荷在某一体积内定向运动所形成的电流为体电流。表示为(2.6)SiS0limnJ2.面电流分布电流在厚度可以忽略的薄层内流动所形成的电流称为面电流。表示为(2.8)lilS0limnJ图2.1面电流密度3.线电流分布电荷在一个横截面可以忽略的细线中流动所形成的电流称为线电流。若长度元中流过的线电流为，则称为电流元。ldIldI2.1.3库仑定律和电场强度一个基本的实验现象是两个带电体之间有相互作用力。带电体之间没有相互接触，却有相互作用力，是因为带电体在周围的空间产生了电场，带电体之间的相互作用力是通过电场传递的。也就是说，一个带电体在周围产生的电场对另一个带电体有作用力。假设在电场中引入一个足够小的试验电荷，则试验电荷必然受到作用力F。我们将电场强度定义为(2.9)0q000limqqFEE的单位是V/m（伏[特]/米）。库仑于1785年从实验中总结出，受到的作用力为(2.10)2q1q2021124RqqReF式中，F/mF/m（法[拉]/米），称为真空中的介电常数；如图2.2所示。式（2.10）称为库仑定律。（2.11）91201036110854.8204RqReE图2.2两个点电荷之间的相互作用力(2.13)(2.14)(2.15)r-rr-rrrerE302044ddRRSSSSRSRSr-rr-rrrerE302044ddllllRlRlr-rr-rrrerE302044dd例2.1无界真空中，有限长直线上均匀分布着线密度为的电荷，如图2.4所示，求线外任意点的电场强度。解llcos4cossin4sin2020RzEERzEElzlrdddddd图2.3q点电荷的电场12002100sinsin44coscoscos44sin212121rrEErrEEllzzllrrdddd例2.2一个均匀带电的环形薄圆盘，内半径为a，外半径为b，电荷面密度为常数，如图2.5所示，求环形薄圆盘轴线上任一点的电场强度。解SddrrrzrzzSbarz202/32204eeE图2.5例2.2用图2/1222/1220112bzazzzSzeE实验结果表明，在真空中两个通有恒定电流的回路之间有相互作用力。1820年~1825年间，安培从实验中总结出这个作用力的规律，称为安培力定律，该实验定律用图2.6和说明。设有两个电流回路C1和C2，分别通有电流I1和I2，则回路C1对回路的作用力为2.1.4安培力定律和磁感应强度(2.17a)式中，H/m（亨[利]/米），称为真空中的磁导率。21211220124CCRRIIeFlldd70104图2.6两电流回路间的相互作用力B1为回路C1中的电流在电流元所在点产生的磁场，称为磁感应强度或磁通密度，表示为(2.18)211212CCFdF22ldI1211014CRRIelBd磁感应强度Ｂ的单位为T（特斯拉）或Wb/m2（韦[伯]/米2）。2.2静电场2.2.1真空中静电场的基本方程静电场基本方程的积分形式为(2.20)(2.21)0qSSEd0CldE图2.8立体角SSRSRSqRqRqdddd02020444eSSeSElRlRqlldd204eE图2.9电场的线积分微分形式：0E0E例2.4利用高斯定理求无限长线电荷在任意点P产生的电场强度。解由静电场的高斯定理有l0qSSEd上式等号左边为rElrSrESrESrESrESrErrrrrrrrrzzrrzzrrS200侧面侧面侧面下底面上底面ddddddeee-eeeSE高斯面S内的总电荷为于是有(2.28)lql0/2lrElrlrrrElr02例2.5利用高斯定理求电场强度。已知电荷分布于一个半径为a的球形区域内，电荷体密度为。解用高斯定理求解电场，高斯面S为半径为r的同心球面。当时2201arar所以(2.29)rErSrESrErSrSrrrS24dddeeSE2530222053441arrrrarqrdd0230053arrrEr当时所以(2.30)arrErrS24SEd30222015841arrarqadd02030152rarEr电位函数，定义为(2.31)(2.33)EPPPAAAzyxzyxA,,,,ldE2.2.2电位函数当电荷分布已知时，可以求出任一点的电位函数。对于点电荷，其周围的电位为(2.36)qCRqRRqRqPPRRRRR02020444ddle例2.7求电偶极子的电位分布。解一对等值异号的电荷相距一个小的距离，称为电偶极子，如图2.11所示。l210122010444rrrrqrqrq图2.11电偶极子(2.40a)电偶极子的电场为(2.41)204cosrql30304sin4cos2rqlrqlreeE现在我们来推导电位的微分方程。(2.42)式(2.43)称为电位函数的泊松方程。对于的区域，式(2.43)为(2.44)式(2.44)称为电位函数的拉普拉斯方程。0002在直角坐标中，拉普拉斯算子表示为(2.45)2222222zyxzyxzyxzyxzyxeeeeee例2.8平行板电容器由两块面积为S、距离为d的平行导体组成，极板间为空气，板间加电压为U，如图2.12所示。求极板间的电位和电场分布。图2.12电容器的截面图解忽略电场的边缘效应，极板间电位的拉普拉斯方程为其通解为。又因为,0222zdd21CzCz00zUdz所以、。即(2.48)(2.49)平行板电容器极板间电位是线性的，电场是匀强的。dUC102CzdUzdUzeE2.2.3电介质中的高斯定理及边界条件1.电介质中的高斯定理(2.53)为束缚面电荷密度；令(2.54)nSPePPP图2.13电介质的极化为束缚体电荷密度。(2.57)称D为电位移矢量或电通密度。在介质中高斯定理成为(2.59)(2.60)PED0qSSDdD2.边界条件(2.61)SSDSDSSnnd21SDSDDnn21图2.14分界面上电位移法向边界条件(2.64)(2.65)Snn2211021l-llEEECd图2.15分界面上电场切向边界条件(2.67)(2.68)(2.69)tt21EE2121221121tantantnntEEEE例2.9平行板电容器的长和宽为a和b，距离为，极板间一半填充介电常数为的介质，一半为空气，板间加电压为U，如图2.16所示。求极板间的电场分布和电容器的电容。图2.16例2.9用图(2.70)dUababqSS0212121dabUqC202.2.4静电场的能量(2.71)10整个空间dddeW整个空间d12eW(2.74)静电能量的体密度为(2.76)dDE21eW221Ewe例2.10同轴线内导体半径为a，外导体内半径为，内外导体间填充介电常数为的介质，外加电压为U，如图2.17所示。求同轴线单位长度内储存的电能。图2.17同轴线rlr2eEabrUrlneEabUrrabrUWbaeln2ln21222dabUClln2221CUWe2.2.5直角坐标中的分离变量法本节介绍在直角坐标系解拉普拉斯方程的分离变量法。采用分离变量法的前提是：问题所给出的边界面与一个坐标系的坐标面平行或相合，或分段地与坐标面平行或相合。(2.79)将用三个未知函数的乘积表示为(2.80)02222222zyx)()()(zhygxf的解为(2.86)或(2.87)或(2.88)或(2.89))(xfxkBxkAxfxxcossin)(xBxAxfxxcoshsinh)(11xxxxeBeAxf22)(33)(BxAxf例2.11求如图2.18所示一个长方体内的电位分布。已知面的电位为，其它各面的电位为0。czU图2.18长方体内的电位02222222zyx)()()(zhygxf(2.90)1sin)(nnxanAxf),3,2,1(sin)(1myamBygmmzbmanybmxanBAnmmn2211sinhsinsin(2.92)cbmanzbmanybmxannmUnm22225,3,15,3,12sinhsinhsinsin16例2.12如图2.19所示，无限长金属槽，两平行侧壁相距为a，高度向上方无限延伸，两侧壁的电位为零0，槽底的电位为U。求槽内电位分布。图2.19例2.12图)()(ygxf1sin)(nnxanAxf1)(nyanneByg(2.93)yannnnexanBAsin1yannexannU