有关函数最值问题及十二种解法

.word范文本稿件适合高三高考复习用有关函数最值问题的十二种解题方法与策略贵州省龙里中学高级教师洪其强（551200）一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)fxy的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)fxy化为在给定区间上求一元函数的最值问题。例1、已知x、yR且223260xyx，求222xy的值域。解：由223260xyx得222360yxx，即02x。2222392262()22xyxxx当32x时，222xy取得最大值92；当0x时，222xy取得最小值0。即222xy的值域为90,2二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()fx出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0来求出()fx的最值。例2、求函数22()1xfxxx的最值。解：由22()1xfxxx得2()()2()0fxxfxxfx，因为xR，所以0，即22()24()0fxfx，解得22()3fx。因此()fx的最大值是23，最小值是－2。三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。例3、求2()234xxfx在区间1,0内的最值。解：配方得2224()2343(2)33xxxfx1,0x，所以1212x，从而当223x即22log3x时，()fx取得最大值43；当21x即.word范文0x时()fx取得最小值1。四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为()sincosfxaxbx(a、b均为常数），则可用辅助角公式22sincossin(arctan)baxbxabxa来求函数()fx的最值。例4、求函数1sin()2cosxfxx的值域。解：由1sin()2cosxfxx化为sin()cos12()0xfxxfx，即21()sinarctan()2()1fxxfxfx，从而22()11()fxfx243()4()00()3fxfxfx。因此()fx的值域为40,3。五、三角代换法：例5、求函数2()43fxxxx的值域。解：由22()43(2)1fxxxxxx，令2sinx，其中,22，则()2sincos22sin()4fx，因为,22，所以3,444，从而2sin(),142，因此()1,22fx。六、基本不等式法：运用基本不等式求函数的最值时要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。例6、求函数225()4xfxx的值域。解：22222543()4444xfxxxxx2344x35422。当且仅当22444xx，即0x时，等号成立，所以5(),2fx七、求导法：例7、用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长.word范文0.5m，那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积．解：设容器底面短边长为xm容器容积为ym3，则另一边为(x+0.5)m,高为14.844(0.5)3.224xxhx∵0022.3xx∴0x1.6y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0x1.6)，即y=-2x3+2.2x2+1.6x令y’=-6x2+4.4x+1.6=0,即15x2-11x-4=0，解得x1=1，x2=-154(舍)在(0,16)内只有在x=1处使y’=0,若x接近0或接近1.6m时，y接近0.故当x=1，y最大=1.8当高为3.2-2×1=1.2m时容器最大为1.8m3。八、函数的单调性法：在确定函数在指定区间上的最值时，一定要考虑函数在已知区间上的单调情况。例8、设函数()fx是奇函数，对任意x、yR均有关系()()()fxyfxfy，若x0时，()0fx且(1)2f。求()fx在3,3上的最大值和最小值。解：先确定()fx在3,3上的单调性，设任意1x、23,3x且12xx，则210xx。212121()()()()()0fxfxfxfxfxx即21()()fxfx。()fx在3,3上是减函数。因此()fx的最大值是(3)(3)(21)fff(1)(1)(1)6fff()fx的最小值是(3)3(1)6ff九、利用函数()(0)kfxxkx在区间(,k、,)k上递增，在区间,0)k、(0,k上递减来解例9、求函数2()sinsinfxxx的值域。解：因为sin1,00,1x，易证()fx在1,0或0,1上都是减函数，所以当sin1x时，()fx取得最大值－3；所以当sin1x时，()fx取得最小值3。(),33,fx。.word范文十、数形结合法：数形结合法是解决最值和值域问题的重要方法，在运用中要实现问题的转化，充分利用图形的直观性。1、利用两点的距离公式及点到直线的距离公式是解决某些最值问题的一种重要方法。例10、求函数2610186)(22xxxxxf的最小值。分析：2610186)(22xxxxxf=2222)10()5()30()3(xx表示动点)0,(xP到定点)3,3(A，)1,5(B的距离之和，而A、B两点分别位于X轴的上下两侧，由此连接AB交X轴于一点，易证该点即是所求的P点。解：由题意及分析易得直线AB的方程为2321xy，令0y得3x即所求的P点为（3，0）。此时()fx的最小值是(3)45f。2、利用直线的斜率求最值。例11、求函数1sin()2cosxfxx的值域。解：令1sin()2cosxkfxx，则k可以看成坐标平面内过点(cos,sin)Axx、(2,1)B的直线的斜率。因为(cos,sin)Axx点在圆221XY上运动，因此，当直线BA是此圆的切线时，斜率k取得最值。设过B点的切线方程为1(2)YkX，则有22111kk，解得10k，243k。因此()fx的值域为40,3。3、线性规划法：对于一个线性最值问题，首先应作出约束条件所确定的可行域，则其最值一定在可行域的边界上取到。例12、设x，y满足约束条件：1yx2yx0x，求z＝3x＋2y的最大值。解：画出可行域（见兰色区域），并画出经过可行域的一组平行线223zxy（见红线），如下图所示：.word范文由图可知，当直线223zxy过点A(1,1)时，截距2z最大，即z最大，∴zmax=3×1+2×1=5十一、待定系数法：例13、若实数x、y满足2839,200xyxyzxyxy求的最大值。解：因为实数xy满足230xyxyxy≤8≤9≥≥0,所以设z=x+2y=m(2x+y)+n(x+3y),∴12153235mmnmnn,∴z=51(2x+y)+53(x+3y)≤51×8+53×9=7.即z的最大值为7。十二、万能公式法：对于由同角的正弦和余弦组成的一次分式函数的最值问题，可以通过万能公式把含正弦和余弦的函数化为只含正切的函数来求出。例14、求函数1sin()2cosxfxx的值域。解：令tan2xt（tR），则.word范文2222211sin121()12cos321ttxtttyfxtxtt由于tR，所以用判别式法可解。即由2123tttyt得2(1)2310ytty，从而当1y时，1tR；当1y时，由0得44(1)(31)0yy，解得403y。所以函数1sin()2cosxfxx的值域为40,3。欢迎您的光临，word文档下载后可以修改编辑。双击可以删除页眉页脚。谢谢！单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善