高中数学函数最值问题的常见求解方法

一、配方法例１：当01x时，求函数xxy4322的最大值和最小值．解析：34)322(32xy，当01x时，1221x．显然由二次函数的性质可得1miny，34maxy．二、判别式法对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值．例２：已知0124422xxxyy，求y的最值．解析：由已知，变形得0)1()12(2422yxyx，Rx，则0，即有0)1(16)12(422yy故45y．因此45maxy，无最小值．例3：若x、Ry且满足：0222yxxyyx，则maxx=miny=解析：由已知，变形得：0)()12(22xxyxy，Ry，则0，即有0)(4)12(22xxx，于是018x，即81x．即81maxx．同理，0)()12(22yyxyx，Rx，则0，即有0)(4)12(22yyy，于是018y，即81y．即81miny．注意：关于x、y的有交叉项的二元二次方程，通常用此法例4：已知函数1134522xxxy，求y的最值．解析：函数式变形为：0)1(34)5(2yyxy，Rx，由已知得05y，0)1)(5(4)34(2yy，即：0762yy，即：71y．因此7maxy，1miny．例5：已知函数)(12Rxxbaxy的值域为]4,1[，求常数ba,解析：01222byaxyxbaxyyxxbaxy∵Rx∴0)(4)(2byya，即04422abyy由题意：0430)4)(1(]4,1[2yyyyy0161242yy所以124b，162a，即3b，4a注意：判别式求函数的值域或已知值域求参数，把转化为关于x的二次函数0),(yxF，通过方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域或参数的值.形如22221121cxbxacxbxay(1a、2a不同时为0)，常用此法求得例6：在20x条件下，求2)sin1()sin1(sinxxxy的最大值．解析：设xtsin，因0(x，)2，故10t，则2)1()1(ttty即0)12()1(2ytyty因为10t，故01y，于是0)1(4)12(2yyy即81y将81y代入方程得0[31t，]1，所以81maxy注意：因0仅为方程0)12()1(2ytyty有实根0[t，]1的必要条件，因此，必须将81y代入方程中检验，看等号是否可取．三、代换法(一)局部换元法例7：求函数422xpxy的最值．解析：令42xt，则2t，函数tptxpxy4422当8p时，424ptpty，当4pt时取等号当8p时，令212tt，则)4()4(221121tpttptyy＝)(21tt)(41221ttttp＝)41)((2121ttptt，因为212tt，8p，即有0)41)((212121ttpttyy，所以tpty4在[2，)内递增．故2242ppy所以当8p时，42minpy，无最大值；当8p时，2minpy，无最大值．例8：求函数xxy21的最值．解析：设xt21(0t)，则由原式得11)1(212ty当且仅当1t即0x时取等号．故1maxy，无最小值．例9：已知20a,求函数))(cos(sinaxaxy的最值．解析：2)cos(sincossinaxxaxxy令txxcossin则22t且21cossin2txx，于是]1)[(2122aaty当2t时，2122maxaay；当at时，)1(212minay．注意：若函数含有xxcossin和xxcossin，可考虑用换元法解．(二)三角代换法(有时也称参数方程法)例10：已知x、yR，4122yx．求22yxyxu的最值．解析：设costx，sinty，(t为参数)因4122yx，故412t)2sin211()sinsincos(cos2222ttu故当42t且12sin时，6maxu；当12t且12sin时，21maxu．例11：实数x、y适合：545422yxyx，设22yxS，则max1S+min1S=____解析：令cosSx，sinSy，则5sincos54SS2sin2545cossin545S当12sin时，3102545maxy；当12sin时，13102545miny．所以58101310311minmaxSS．例12：求函数xxay)(22(ax||)的最值．解析：令cosax，则cossincossin2322aaay又令cossin2t，则222242cos2sinsin21cossint274)3cos2sinsin(213222932932t即有33932932aya所以3max932ay，3min932ay注意：利用重要不等式时，要满足“一正二定三相等”例13：已知x、yR且xyx62322，求yx的最值．解析：化xyx62322为123)1(22yx，得参数方程为sin26cos1yx)sin(2101sin26cos1yx故2101)(maxyx，2101)(minyx．(三)均值换元法例14：已知1ba，求证：44ba的最小值为81．解析：由于本题中a、b的取值范围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为１，我们可以令ta21，tb21，(Rt)，则222222222244)21()21(2])21()21[(2)(ttttbababa2222)41(2)221(tt)281()4241(4242tttt81238142tt∴44ba的最小值为81．在0t即21ba时取等号四、三角函数有界法对于Rx，总有1|sin|x，1|cos|x例15：求函数xxy2cos22sin的最值．解析：1)42sin(212cos2sincos22sin2xxxxxy因为1|)42sin(|x，故当1)42sin(x时，12maxy；当1)42sin(x时，12miny．五、均值不等式法例16：在任意三角形内求一点，使它到三边之积为最大．解析：设三角形的三边长分别为a、b、c，面积为S，三角形内一点P到三边的距离分别为x、y、zSczbyax2(定值)3)3(czbyaxczbyax即abcSxyz2783(czbyax时取等号)因此，当此点为三角形的重心时(这时PAB、PBC、PAC面积相等)，它到三边之积为最大．例17：有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？解析：依题意，矩形盒子底边长为)230(xcm，底边宽为)214(xcm，高为xcm．盒子容积xxxxxxxV)7)(15(4)214)(230(＝(显然：015x、07x、0x)设xbxbaxaabV)7)(15(40(a，)0b要用均值不等式．则xbxbaxaba71501解得：41a，43b，3x．从而576)43421)(4415(364xxxV故矩形盒子的最大容积为5763cm．也可：令bxxaxaabV)7)(15(4或bxaxaxabV)7)(15(4注意：均值不等式应用时，要注意等号成立的条件(一正二定三相等)，当条件不满足时要灵活运用拆项、凑项、凑系数、平方等技巧凑配系数，适当时可以用待定系数法来求．例18：已知1sinsinsin222(、、均为锐角)，那么coscoscos的最大值等于__________解析：因、、均为锐角，所以coscoscos222coscoscos962)3sin1sin1sin1()3coscoscos(32223222当且仅当31sinsinsin222时取等号，故coscoscos的最大值为962．例19：求函数xbxay22cossin的最小值(a、bR)．解析：xbxay22sinsinxxabbaxbbxaa2222cottan2tancotabba2当且仅当xbtgxactg22即baxtg2时，函数y取得最小值abba2六、单调性法(一)利用若干次“”(或“”)求函数的最值例20：求函数xxycos1sin1在0(，)2内的最小值．解析：222sin22cossin2cossincossincos1sin1xxxxxxxxxy当4x时，xxcossin，12sinx．上式中的两个“”中的等号同时成立，所以22y是“精确的”不等式．因而22miny另：此题还可用换元xxtcossin以及函数单调性来判断(二)形如xbaxy的函数的最值(1)0a，0b时，函数在(，ab］内递增，在ab[，)0内递减，在0(，ab］内递减，在ab[，)内递增．(2)0a，0b时，函数在(，ab］内递减，在ab[，)0内递增，在0(，ab］内递增，在ab[，)内递减．(3)0a，0b时，函数在(，)0内递减，在0(，)内递减．(4)0a，0b时，函数在(，)0内递增，在0(，)内递增．例21：求函数xxxxy2222cossin161cossin4的最值．解析：函数xxxxy2222cossin161cossin4xx2sin412sin22令xt2sin2，则0[t，]1，于是tty41在0(，]21内递减，在21[，]1内递增．所以当21t，即81cossin22xx时，1miny；无最大值．例22：求函数xxxysin1cossin22的最大值．解析：y)1sin2()1(sin1sin2)1(sin1sin1sin2sin22xxxxxxx令tx1sin，则20t，函数tty2在0(，)内递增．所以在0(，]2内也是递增的．当2t，即1sinx时，1maxy．七、平方开方法例23：已知a、b是不相等的正数，求函数xbxay22sincosxbxa22cossin的最值．解析：因a、b是不相等的正数，xcos与xsin不能同时为０，故0y．abxbabay2sin4)(2222当12sin2x时，)(2max2bay，)(2maxbay当02sin2x时，abbay2min2，baymin八、数形结合法有些代数和三角问题，若能借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，化难为易的功效．例24：求函数6cos31sin4xxy的最值．解析：将函数式变形为)2(cos3)41(sin4xxy，只