专题五---函数与导数

201303滨州市高三数学教学研讨会专题发言材料专题五函数与导数邹平县第一中学高三数学组2013年3月26日函数是中学数学最重要的主干知识之一；导数是研究函数的有力工具，函数与导数是高中数学的核心内容。函数的观点及其思想方法贯穿于整个高中数学教学的全过程。高考对函数的考查更多的是与导数的结合，发挥导数的工具性作用，利用导数研究函数的性质、证明不等式等问题。在高考中函数知识占有极其重要的地位，是高考的热点内容。一、函数与导数在高考中的地位和作用二、山东省近四年考查函数与导数的知识点的分布情况09年10年11年12年文科理科文科理科文科理科文科理科函数概念基本初等函数函数的性质T7T12T14T10T14T16T3T5T4T14T3T16T3T5T10T16T3T12T15T3T8T12函数的图像T6T6T11T11T10T9T10T9函数的实际应用T21T8T21T21导数的几何意义导数的应用T21T21T22T4T22T22定积分T7T15分数合计31分30分32分33分31分36分33分38分从数表中不难看出，在高考试题中，这部分内容在选择、填空、解答中均有体现，而且所占的比例比较大。在试题中所占分值大约为30---38分．一般为2-3个选择题，1个填空题，1个解答题。试题坚持对基础知识，思想方法的考查。重点考查了高中数学的主体内容，兼顾考查新课标的新增内容。在此基础上，突出了对考生数学思维能力及应用意识的考查。总体表现为：三、高考命题特点1.整体稳定：主要考查函数的性质与图像，函数的零点，导数的应用，定积分的计算，函数应用题，导数的综合应用。2.突出通性通法和思想方法的考查。数形结合的思想，方程的思想，分类讨论的思想等在高考中每年都有考查。而且数形结合思想每年还专门有一道新函数的大致图象问题。3.注重数学的应用意识和创新。函数与导数在小题中主要考查函数的性质，而且对函数的单一性质的考查极少，一般一道题涉及的函数性质在两个或两个以上，对性质的考查也更加灵活。此外，由于函数的工具性以及它与数学其他知识的密切联系，决定了函数的思想，函数与方程，不等式、数列、实际应用题的数学建模与问题解决等都可以作为考查函数的题目，这也注定函数成为学生应对高考的一个难点。四、高考命题分析1.对函数的定义域的考查主要体现在：①通过小题单独进行考查，如12年文科的第3题，题目一般属于容易题。②是在解答题中需要学生先关注函数的定义域。对于该考点不仅要求学生记住一些常用函数定义域的要求，同时还要准确地求解不等式或不等式组。一）:函数的概念---主要考点之一：函数的定义域、值域2.对于函数的值域在小题的考查中近几年没有体现，但在解答题中经常作为单独的一问，或与恒成立问题相结合.这部分需注意：①求值域的常用方法。②定义域对值域的制约作用③遇到字母或参数区间要有分类讨论的意识④与恒成立问题结合时要注意解决的常用思想（能分参先分参在转换为最值问题）。五﹑二轮复习计划结合近几年高考中主要涉及到的知识点，在二轮复习中主要分为以下几个方面进行。以分段函数为载体，考查求函数值、函数性质的研究，解不等式等问题，前几年几乎作为必考题,近一两年热度有所降低。也应适当重视.对于分段函数的复习学生需要注意的是：1.求函数值应注意自变量所在范围及其相应的解析式。2.求函数最值应注意比较各段函数最值的大小。3.在各段上单调性相同的分段函数在整个定义域上不一定是单调函数。因此，特别要注意每相邻两段联结间的单调性。一）:函数的概念---主要考点之二：分段函数五﹑二轮复习计划函数的性质是每年的必考内容，多以选择题和填空题出现，一般是多个性质结合着考查，内容灵活多样，考查的载体以抽象函数，或给出部分的函数式求另外部分的函数值（很少求式)。难度一般在中等以上.要求学生要深刻理解函数的性质。掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象,善于运用数形结合的方法.二）：函数的图象与性质---主要考点之一：函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）五﹑二轮复习计划2、函数奇偶性判断及其图像性质：强调①奇偶性判断注意变形应用；②奇偶函数图像对称性特征，③f(0)=0的合理应用。3、利用函数的性质解题时需注意：①当牵扯函数各种性质时一般都会把函数图像画出来，在图像中刻画它的各种性质。画图像时要注意关键点，如图像的端点，顶点，函数交点等②熟练记忆函数周期性、对称性、单调性、奇偶性的常见结论，解题时灵活应用。m例：（1）已知函数若，则实数的取值范围是．（2）已知函数，若在区间上单调递增，则取值范围?32239124,1,()1,1,xxxxfxxx2(21)(2)fmfm32()(,)fxaxxaxaxR()fx[0,)a五﹑二轮复习计划1、单调性的判断方法及应用①熟记常用函数的单调性；例如一次函数、二次函数、反比例函数；指、对、幂函数、函数的单调性以及单调性的性质。②抽象函数单调性的判断一般用定义；③复合函数单调性的规则“同增异减”；④会用导数研究单调性。（注意定义域的限制）⑤单调性的正用与逆用。)0(kxkxy函数图像作为直观认识函数数量关系、变化特征、函数性质有着不可比拟的优势，成为数形结合的典型示范区。而且函数的图像也是高考命题的必考内容，此类题目很好的考查了数形结合的解题思想.考查形式主要有:1.是识图题:以选择题为主，通过图像考查性质，排除法与特值验证法是解决它的有效手段。(近几年高考多以这种类型出现）2.是用图题:利用图像的直观性解题.二）：函数的图像与性质---主要考点之二：函数的图像对函数图像的掌握有以下三方面的要求：①.会画出各种简单函数的图像及掌握函数图像的变换②.能依据函数的图像判断函数的性质。③.能用数形结合的思想以图辅助解题。五﹑二轮复习计划近几年高考试题中指、对、幂函数图象及性质也是重点考查的内容之一。（多以选择题或填空题的形式出现）主要考查的方向：1.指、对、幂函数的图象与性质（图象的变化规律以识图，用图为主要考查目标）。2计算与求值，比较大小。3.解简单指数、对数不等式（与集合结合）4.利用图像求函数零点、求参数范围的问题等等。三）：基本初等函数---主要考点之一：指、对、幂函数的图像与性质五﹑二轮复习计划三）：基本初等函数---主要考点之二：二次函数二次函数主要考查其图像、性质及应用，尤其是二次函数、二次方程、二次不等式的综合应用。对于二次函数很少单独考查，一般都是与其他函数相结合。如用导数研究含参函数的单调性（用三个二次间的关系解含参不等式）、恒成立问题常涉及二次函数的最值问题（注意①开口方向②对称轴与区间的位置关系）。所以对二次函数的复习不容忽视。五﹑二轮复习计划对基本函数与函数性质的复习要全面而突出重点，并注重横向联系。历年来高考中考查对函数知识的应用。既着眼于知识点的新颖巧妙组合，又关注对数学思想方法的考查。试题多数围绕函数的概念、性质、图像等方面命题。围绕二次函数，分段函数，指、对、幂函数等几个基本函数来进行，故在复习中，应该全面夯实基础，突出对上面重点内容的复习。四）：函数与方程及函数的实际应用1.考查具体函数的零点的取值区间和零点个数问题；由函数零点情况求解参数的范围。研究零点和方程根的问题属于重点、难点。要对函数进行分类讨论或数形结合解答，属于中高档题。近几年属于热点，如09年14题，理科的16题；11年16题；12年16题都考查了函数的零点问题。五﹑二轮复习计划对于二分法求相应方程的近似解虽然不属热点，但是考试考到的可能性还是有的。2.函数的实际应用问题：山东近几年文理科解答题主要以函数应用题或导数的综合应用形式出现。在近几年的解答题中这两类问题间隔出现。2007年山东理科20题考查了解三角形的应用题；2009年山东理科解决垃圾处理的函数导数题目；2011年21题考查组合体体积和函数导数的综合，应用题的考查趋势是必然的。除函数、三角、概率等常规考查热点外，还应强调数列、圆锥曲线等。对于应用题主要设置的问题如：求解析式，定义域，最值等。在应用题中求最值主要体现的思想方法：让学生加以重视。以对这类函数的性质应的单调性进行求解。所应用若取不到等号应转换到成立的条件，求最值，但要注意等号类型，利用基本不等式化归到xkxykxkxy)0(③基本不等式①应用二次函数图像及性质求最值或配方法求最值②用导数求函数的最值。五﹑二轮复习计划这是高考的必考内容，一般命制一个大题或一大一小两个题，主要考点：1.导数的几何意义，可与解析几何的知识交汇命题，多以小题形式考查；有时也出现在解答题中。2.利用导数研究函数的性质(单调性,极值与最值等问题)。3.构造函数证明不等式；4.考查利用导数与函数相结合的实际应用题.5.对定积分的考查主要①求定积分②曲边平面图形的面积。例如10年的T7、12年的T15五﹑二轮复习计划五）：导数的应用函数与导数的综合应用是高考考查的重点，对于文科多以三次函数为载体进行考查，但近年来有向以对数函数为载体方向发展的趋势。对于理科则主要以指、对、幂函数、分式函数为载体，考查讨论单调性，求函数的极值、最值等综合问题。将导数、不等式与含参问题有机的融合在一起,仍是一个重要的命题思路,并且很可能仍然是今后命题的热点。对分类讨论的要求比较高，经常作为压轴题出现。讨论含参函数的单调性经常作为解答题中的一问或是求解问题中必不可少的过程，对于这类问题大多数情况下是归结为：含参不等式解集的讨论。主要原则：①是否二次（一次）②是否有根③是否等根④根是否在定义域里。（先特殊再一般)五﹑二轮复习计划六、二轮复习建议通过以上的分析在二轮复习中有如下几点建议：（1）要抓好函数与导数这部分内容基础题型和常用的思想方法，把基础题做稳做熟，再复杂的问题经过分解后都是由基本题型复合而成的．（2）在解答题中前面问题通常不是太难，主要是函数与导数有关的概念与方法，但非常重要，往往是后面问题的知识准备或方法上的提示。所以前面问题要做好做准，再看前后是否有联系，然后选择适当的途径解决问题。（3）对一些比较定型的问题要归纳出一般的方法，如数形结合解决一些方程、不等式的问题，用分离变量的方法解决恒成立、存在性的问题。（4）鼓励学生做好题后的反思，尤其对于做错的问题一定要分析清楚错的原因。如分类的标准、特殊情形等，在以后的解题中有意识避免类似错误。七、典型试题：1、【潍坊模拟】已知函数，则的零点叙述正确的是（）A.当a=0时，函数有两个零点B.函数必有一个零点是正数C.当时，函数有两个零点D.当时，函数有一个零点1xfxxeaxfxfxfxfx0a0a2、【山东省实验中学模拟】已知函数，，有下列4个命题：)(xfyRx①若，则的图象关于直线对称；)21()21(xfxf)(xf1x②与的图象关于直线对称；)2(xf)2(xf2x③若为偶函数，且，则的图象关于直线对称；)(xf)()2(xfxf)(xf2x④若为奇函数，且，,则的图象关于直线对称.)(xf)(xf1x)2()(xfxf其中正确命题的个数为（）.A.1个B.2个C.3个D.4个3、【济南市模考】定义在R上的函数满足，当时，单调递增，如果，且，则的值A．恒小于0B.恒大于0C.可能为0D.可正可负fx4fxfx2xfx421xx12220xx12fxfx2cossin)(xxxxxf)1()(lnfxf),0.(eA),1.(eB),1.(eeC),1()1,1.(eeD4、【烟台模拟】函数，不等式的解集（）5、【淄博模考】设函数是定义在R上的函数，其中的导函数满足对于恒成立，则（）B．C．D．A．A.6、【实验模拟】函数在处有极值，则=()B.C.D.11或18111817或187、【山东师大附中模拟】已知函数的导函数为，且满足，则在点处的切线方程为8、【荷泽一中模拟】设，下列关系式成立的是()BCDAek为正实数),若对于任意ay在点